专题2.1 等式与不等式（考点清单15个考点梳理+12题型解读）（原卷版）

专题2.1等式与不等式考点清单【清单01】等式的性质（1）等式的两边同时加上一个数或代数式，等式仍然成立.（2）等式的两边同时乘以一个不为零的数或代数式，等式仍然成立.【清单02】恒等式1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立．则称其为恒等式，也称两边恒等.注意：恒等式是进行代数式变形的依据之一.2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd【清单03】方程的解集方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值，一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.【清单04】一元二次方程的解集1.配方法解方程（1）配方（2）一元二次方程的解集：（3）一元二次方程的判别式：Δ=b2-4ac【清单05】一元二次方程根与系数的关系的两根记作x1，x2则【清单06】方程组的解集1.一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集2.方程组的解法：代入消元法、加减消元法.发现：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果讲其中一些未知数看成常数，那么其它未知数往往能用这些未知数表示出来.【清单07】不等式的基本性质性质1：a>b⇔a＋c>b＋c性质2：a>b，c>0⇒ac>bc性质3：a>b，c<0⇒ac<bc性质4：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a（不等式的传递性）性质5：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a推论1：a+b>c⇔a>c-b（移项法则）推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向可加，不等号方向不变.可推广）推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd推论4：a>b>0，n∈N*⇒an>bn（n∈N,n>1）推论5:a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【清单08】证明不等式的方法1.作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，逐步推导最后得到结论的方法.3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.4.分析法：推理形式是“要证（结论）p,只需证明q”，可以表示为p˂=q5.作商法：当明确比较内容均为正时，可利用作商法，一般步骤：①作商；②变形；③与1比较；④结论．【清单09】不等式的重要结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．两个重要不等式若a>b>0，m>0，则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【清单10】不等式的解集与不等式组的解集1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集.【清单11】绝对值不等式1.绝对值的概念：．2.含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．3.常见绝对值不等式的解（1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．4.如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B，即A（a）,B(b)，线段AB的中点M（x）则(1)数轴上两点之间的距离公式:AB=|a-b|(2)数轴上的中点坐标公式:5.拓广：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．【清单12】一元二次不等式的解法1.概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2.形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3.一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.4.一元二次不等式的常见解法（1）因式分解法；（2）配方法；（3）解一元二次不等式的一般步骤①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．②判：计算对应方程的判别式．③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．【清单13】分式不等式的解法1.定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.2.常见类型：eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0⇔f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))⇔f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))⇔f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))【清单14】均值不等式1.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为2.均值不等式：（1）当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．（2）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（3）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab,可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，均值不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大.②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD=，CD=,a≠b时，>a=b时，=【清单15】均值不等式与最值1.已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！2.常用推论：（1）（）（2）（，）；（3）【考点题型一】已知一元二次方程根与系数关系问题【例1】（23-24高一·上海·课堂例题）已知方程的两个根为、，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【变式1-1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则．【变式1-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为，则．【变式1-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）设是方程的两个实数根，则.【变式1-4】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则.【考点题型二】含参数一元二次方程根与系数关系问题【例2】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知关于的一元二次方程.(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；(2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值.【变式2-1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（

）A．17 B．7 C． D．【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为【变式2-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程的两个实根分别为、，且，求实数的值.【变式2-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程.(1)当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值；(2)若该方程有两个异号实根，求实数的取值范围.【考点题型三】不等式性质及其应用【例3】（多选）（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，则【变式3-1】（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）若，则的取值范围是．【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，比较大小：．【变式3-4】（2024高三·全国·专题练习），，则，的大小关系为．【考点题型四】简单不等式（组）的解法【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式．【变式4-1】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高一上·山西·阶段练习）不等式的解集为（

）A． B．C．或} D．或}【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是.【变式4-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式（组）：(1)；(2).【考点题型五】一元二次不等式的解法【例5】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知二次函数满足且，函数(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最值；(3)解关于的不等式.【变式5-1】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知不等式的解集为．(1)求的值；(2)解不等式．【变式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为.(1)求实数，的值；(2)求关于的不等式的解集.【变式5-3】（24-25高一上·湖南永州·期中）设函数，求不等式的解集；【变式5-4】（24-25高一上·山东·期中）已知，关于x的一元二次不等式的解集为.(1)求b，c的值；(2)解关于x的不等式.【考点题型六】由不等式（组）的解（集）求参数（范围）【例6】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为.(1)求b，c的值；(2)若为非负实数，解关于的不等式.【变式6-1】（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）若不等式组的解集是，则m的取值范围（）A． B．C． D．无法确定【变式6-2】（多选）（24-25高一上·四川泸州·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．关于的不等式的解集为D．若，则的最大值为1【变式6-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为.【变式6-4】（22-23高一上·天津滨海新·期中）设函数(1)若不等式的解集为求的值；(2)若求不等式的解集；【考点题型七】不等式的判断与证明【例7】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知，，，且满足，则（

）A． B．C． D．【变式7-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知a>0，，则，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（多选）（24-25高三上·湖南·期中）已知正数满足，则（

）A． B．C． D．【变式7-3】（多选）（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知，，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【变式7-4】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【考点题型八】“配凑法”求最值【例8】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，．(1)求的最小值和的最小值；(2)求的最小值．【变式8-1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式8-2】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知，则有（

）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为 D．最小值为【变式8-3】（24-25高一上·广东·期中）若，则的最小值为．【变式8-4】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的最大值为，取得最大值时的的值为.【考点题型九】“1”的代换求最值【例9】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，.(1)求的最小值；(2)若，求的最小值.【变式9-1】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式9-2】（多选）（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（

）A．有最大值 B．有最大值4C．无最大值 D．有最小值【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值是．【变式9-4】（24-25高一上·广东·期中）已知正数满足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【考点题型十】“和”“积”共存式条件最值问题【例10】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）设正数，满足，则的最小值为．【变式10-1】（24-25高一上·贵州毕节·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（

）A．10 B． C． D．【变式10-2】（24-25高一上·山西·期中）已知，且，则的最小值为（

）A．12 B．10 C．9 D．8【变式10-3】（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式10-4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【考点题型十一】均值不等式的实际应用【例11】（24-25高一上·重庆·阶段练习）“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）．(1)要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围；(2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值．【变式11-1】（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（

）A．24 B．30 C．32 D．36【变式11-2】（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（

）后池水中药品的浓度达到最大．A． B． C． D．【变式11-3】（24-25高一