专题6.2 向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用（考点清单9个考点梳理+14题型解读）（原卷版）

专题6.2向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用【清单01】共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa【清单02】平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．【点拨】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)定理推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．【清单03】直线上向量的坐标对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时，x称为向a的坐标.【清单04】直线上向量的运算与坐标的关系1.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.2.如果u,v是两个实数，x1,x2分别为向量a,b的坐标，那么ua+vb的坐标为ux1+vx2;ua-vb的坐标为ux1-vx2;3.设A(x1)，B(x2)，则数轴上两点之间的距离公式AB=|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|x2--x1|；中点坐标公式【清单05】平面向量的坐标1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a，__有且只有一__对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yi，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【清单06】平面向量上向量的运算与坐标的关系1.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标__λa＝(λx1，λy1)向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)2.向量的模：【清单07】平面直角坐标系中两点距离公式、中点坐标公式设，A,B的中点M（x,y）,则，..【清单08】向量平行的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2＝x2y1__时，a∥b．【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当b≠0时，a＝λb．这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)．即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．【清单09】平面向量线性运算的应用1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．（3）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．【点拨】向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．(2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度．【考点题型一】应用共线向量定理证明点共线【例1】（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.【变式1-1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【变式1-2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（

）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【变式1-3】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【变式1-4】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【考点题型二】应用共线向量定理证明（向量）线平行【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，，(1)求证：；(2)判断三点的位置关系.【变式2-1】（多选）（23-24高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（

）A．，B．，C．，D．，【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：(1)，；(2)，（其中两个非零向量和不共线）；(3)，.【变式2-3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线.【变式2-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量．【考点题型三】有向量共线（平行）求参数【例3】（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（

）A． B．. C．1 D．2【变式3-1】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（

）A． B． C． D．【变式3-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式3-4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（

）A． B． C． D．【考点题型四】用基底表示向量【例4】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（

）

A． B． C． D．【变式4-1】（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（

）A． B． C． D．【变式4-3】（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（

）

A． B．C． D．【变式4-4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，已知在平行四边形中，E，F分别是，边上的中点.若，，试以为一组基表示，【考点题型五】平面向量基本定理的应用【例5】（2024高一·全国·专题练习）如图，在△ΟAB中，，，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示．【变式5-1】（2019·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（

）A． B．C． D．【变式5-2】（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（

）A． B．C． D．【变式5-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、．【变式5-4】（2023·高一课时练习）设,是不平行的向量，且，．(1)证明：,是平面向量的一个基；(2)用,的线性组合表示．【考点题型六】利用平面向量基本定理求参数【例6】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是.【变式6-1】（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，为的中点，为的中点，若，则等于（

）

A． B． C． D．【变式6-2】（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是AB的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【变式6-3】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【变式6-4】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（

）A． B． C． D．【考点题型七】向量的坐标运算【例7】（22-23高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（

）A． B． C． D．【变式7-1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【变式7-2】（22-23高一下·全国·课后作业）已知，则下面说法正确的是（

）A．A点的坐标是 B．B点的坐标是C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是【变式7-3】（17-18高一下·湖南岳阳·期末）已知中，，，对角线、交于点，则的坐标为（

）.A． B． C． D．【变式7-4】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求：(1)；(2).【考点题型八】根据向量的坐标运算求参数【例8】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为.【变式8-1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式8-2】（19-20高一下·北京·期末）已知向量，，若，则实数的值为（

）A．-4 B．4 C．-1 D．1【变式8-3】（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（

）A． B． C． D．【变式8-4】（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是．【考点题型九】向量共线的坐标判断【例9】（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，．(1)求点，的坐标(2)判断与是否共线．【变式9-1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式9-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式9-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（

）．A． B． C． D．【变式9-4】（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有．(填序号)①；②；③；

④.【考点题型十】利用向量共线（平行）求参数【例10】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为.【变式10-1】（21-22高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，．若，则．【变式10-2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知点，，且，则点P的坐标为．【变式10-3】（21-22高三上·陕西延安·阶段练习）已知向量，且，则实数的值为.【变式10-4】（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，．(1)求证：三点共线；(2)试确定的值，使与共线．【考点题型十一】坐标运算与三点共线问题【例11】（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值．【变式11-1】（23-24高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式11-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式11-3】（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为.【变式11-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线．【考点题型十二】向量的线性运算应用--几何【例12】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线）【变式12-1】（19-20高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：.【变式12-2】（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半．【变式12-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：.【变式12-4】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．【考点题型十三】向量的线性运算应用--物理【例13】（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（

）A．越小越费力，越大越省力 B．始终有C．当时， D．当时，【变式13-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（

）A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小 D．