湖南省部分名校2026届高三12月联考2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

高三年级12月检测训练数学试题(试卷满分：150分考试用时：120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合,则AB=A.B.C.D2.已知复数z满足则A.4B.C.2D.3.已知,则的最小值为A.3B.2C.D.14.已知点G为△ABC的重心，若,则A.0B.1C.D.35.已知数列的前n项和为Sn,且满足a1=-5,,若对任意n∈N“,λ≤Sn恒成立，则实数λ的取值范围是A.B.CD.图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位：m)(若在水面下则d为负数),若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t(单位：s)之间的关系为,则φ=A.B.C.D.7.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆O:的切线，交双曲线C的右支于点M,若∠F₁MF₂=,则实数m=A.B.C.2D.8.已知函数,若恰有4个零点，则实数k的取值范围是AB.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据的平均数为,将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据,则新数据与原数据相比A.极差相同B.平均数不同C.方差不同D.中位数相同10.已知函数,则下列说法正确的是AB.不等式的解集为(0,1)C.D.1为函数h(x)的极大值点11.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为1,高为h,该正四棱锥的顶点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内部(包括表面),则下列结论正确的是A.h的取值范围是(0,1]B.若正四棱锥P-ABCD的侧棱长为,则C.当点P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面A₁B₁C₁D₁的中心时，正四棱锥P-ABCD外接球的表面积D.当点P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球球心时，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球与正四棱锥P-ABCD的公共部分的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1,则n的值为_________·13.已知抛物线C:的焦点为F,斜率为1的直线l与抛物线C交于M,N两点，则的值为_____.14.已知，则的最小值为_______·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足(1)求角C的大小；(2)若点D在边AB上，且满足AB=3AD,求的值.16.(本小题满分15分)(1)1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度(相对于原点O,质点向右移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为i,向左移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为).已知质点每次向右移动的概率为p(0<p<1).记X为质点从原点O出发，移动2次后的位置，求满足随机变量X的期望大于0的p的取值范围；(2)1个质点从平面直角坐标系中某点A出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点A的概率.17.(本小题满分15分)如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°,AB=AC,∠A₁AB=∠A₁AC,O是BC的中点.求证：平面BCC₁B₁⊥平面A₁AO;(2)若A₁O⊥底面ABC,且直线AA₁与底面ABC所成角为60°,D是棱BB₁的中点，求平面AC₁D与平面ABC夹角的余弦值.(本小题满分17分)已知椭圆C：的左右焦点分别为F₁(-2,0),F₂(2,0),且椭圆C过点,椭圆的下顶点为E.求椭圆C的方程；(2)过右焦点F₂的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A在点B的上方),与y轴交于点P(点P在点E的下方),Q为点P关于原点的对称点，QB交x轴于点R,设△PBQ,△BF₂Q,△AF₂Q的面积分别为S₁,S₂,S₃.①若直线l的斜率为2,求的值；②是否存在直线l,使Q,R,F₂,A四点共圆?若存在，试判断直线l的条数；若不存在，请说明理由.(本小题满分17分)约翰·卡尔