2025年大学《应用统计学》专业题库(附答案)

2025年大学《应用统计学》专业题库(附答案)一、描述统计与数据可视化1.【单选】某高校2024级应用统计学专业新生体检，测得身高（cm）的茎叶图如下，其中茎单位为10cm、叶单位为1cm。若将数据四舍五入到整数后重新绘制箱线图，则箱线图的“箱体”长度（IQR）约为茎|叶15|01123445678916|00122334556678917|012234567A.7cm B.9cm C.11cm D.13cm答案：B解析：把叶还原为原始数据共35个观测。Q1位置=⌈35×0.25⌉=9，第9个数据=154cm；Q3位置=⌈35×0.75⌉=27，第27个数据=163cm；IQR=163−154=9cm。2.【多选】关于雷达图与平行坐标图，下列说法正确的有A.雷达图适用于样本量>1000的多维数据B.平行坐标图可直观展示高维离群点C.雷达图面积与变量排序无关D.平行坐标图纵轴一般需标准化到[0,1]答案：B、D解析：A错误，雷达图样本多时会严重重叠；C错误，雷达图面积随变量顺序改变而改变，存在“排序陷阱”。3.【计算】某城市2023年PM2.5日均值（μg/m³）的直方图呈右偏，已知中位数=38，均值=45，标准差=18。若用对数正态分布拟合，求λ=ln(PM2.5)的均值与方差。答案：E[λ]=3.637，Var(λ)=0.158解析：对数正态分布有E[X]=exp(μ+σ²/2)=45，Median=exp(μ)=38，解得μ=ln38=3.637，σ²=2(ln45−ln38)=0.158。4.【综合】下表为2022年某电商平台“双十一”部分品类销售额（亿元）。品类|销售额|退货额家电|1200|96美妆|800|120服饰|1000|200（1）绘制退货率的复式条形图；（2）计算各类别退货率的95%置信区间（用WilsonScore）；（3）指出哪一类退货率显著高于平台平均退货率（α=0.05）。答案：（2）家电0.074–0.086，美妆0.135–0.165，服饰0.181–0.219；（3）服饰显著高。解析：Wilson区间p̂=z²/(2n+z²)+…，z=1.96；平台平均退货率=416/3000=0.139，服饰下限0.181>0.139，单侧检验p<0.001。二、概率基础与分布5.【单选】设X~Poisson(λ)，已知P(X=2)=3P(X=4)，则λ=A.1 B.2 C.3 D.6答案：B解析：由e^{λ}λ²/2!=3e^{λ}λ⁴/4!⇒λ²=3λ⁴/12⇒λ²=4⇒λ=2。6.【证明】若连续随机变量X的矩母函数M_X(t)=(1−βt)^{−α}，t<1/β，证明X服从Gamma(α,β)，并求变异系数CV。答案：CV=1/√α解析：M_X(t)与Gamma(α,β)的MGF一致；E[X]=αβ，Var=αβ²，CV=√Var/E=1/√α。7.【应用】某疫苗冷链运输记录显示，箱内温度超标次数N~Poisson(0.8/千箱）。若一批次共发运5千箱，求（1）至少出现1次超标的概率；（2）在已知至少1次超标下，超标次数不超过3的概率。答案：（1）0.9817；（2）0.885解析：（1）1−e^{−4}=0.9817；（2）P(N≤3|N≥1)=P(1≤N≤3)/P(N≥1)=[e^{−4}(4+8+32/3)]/0.9817=0.885。三、抽样与抽样分布8.【单选】从N=2000的总体中无放回抽取n=50，已知总体比例P=0.15，则样本比例p̂的标准误为A.0.050 B.0.049 C.0.044 D.0.039答案：C解析：σ_p̂=√[P(1−P)/n×(N−n)/(N−1)]=√[0.15×0.85/50×1950/1999]=0.044。9.【计算】某质检部门采用两阶段抽样：第一阶段从10000件产品中随机抽10箱（每箱100件）；第二阶段每箱抽10件。若箱内不合格率服从Beta(2,18)，求（1）样本不合格率p̂的期望；（2）设计效应DEff。答案：（1）E[p̂]=0.1；（2）DEff=1+(m−1)ICC=1+9×0.05=1.45解析：Beta(2,18)均值=2/20=0.1；ICC=Var(P)/[E(P)(1−E(P))]=0.00255/0.09=0.05。四、参数估计10.【单选】设X_1,…,X_ni.i.d.Uniform(0,θ)，则θ的MLE为A.X̄ B.max(X_i) C.2X̄ D.min(X_i)答案：B解析：似然函数L(θ)=θ^{−n}I_{θ≥maxX_i}，在maxX_i处取最大。11.【综合】为估计某短视频平均播放时长μ（秒），平台采集n=100的样本，得x̄=68，s²=400。若认为时长服从对称分布但未知类型，（1）求μ的95%置信区间（t近似）；（2）若要求估计误差≤3秒，求在95%置信水平下的最小样本量；（3）若采用bootstrapn=1000，得到区间[62.1,73.9]，与（1）比较并解释差异。答案：（1）[64.0,72.0]；（2）n≥171；（3）bootstrap区间略宽，提示数据可能存在轻尾或异常值。解析：（1）t_{0.025,99}≈1.984，68±1.984×20/10=64.0–72.0；（2）n≥(1.96×20/3)²=170.7→171；（3）bootstrap无需正态假设，区间不对称，右尾略长。五、假设检验12.【单选】对H0:μ=50vsH1:μ>50，若样本n=25，x̄=53，s=10，则p值约为A.0.0668 B.0.1336 C.0.0334 D.0.2743答案：A解析：t=(53−50)/(10/5)=1.5，df=24，单侧p=T.DIST.RT(1.5,24)=0.0668。13.【综合】某外卖平台A/B测试：对照组下单转化率15.2%（n=2000），实验组16.8%（n=2100）。（1）检验实验组是否显著优（α=0.05，双尾）；（2）计算实验所需最小提升（power=0.8）；（3）若采用Fisher精确检验，p值多少？答案：（1）z=2.12，p=0.034，拒绝H0；（2）最小提升1.4个百分点；（3）p=0.036。解析：（1）合并率p̂=0.160，z=(0.168−0.152)/√[p̂(1−p̂)(1/2000+1/2100)]=2.12；（2）effectsizeh=2arcsin√0.168−2arcsin√0.152=0.035，n=2×(z_{0.975}+z_{0.8})²/h²≈4100每组，反推最小提升1.4%；（3）fisher.test返回p=0.036。六、方差分析与实验设计14.【计算】某农科院研究三种肥料对小麦产量（kg/亩）的影响，采用完全随机设计，各重复6次，得方差分析表部分：来源|SS|df|MS|F肥料|468|2|234|9.36误差|375|15|25（1）完成表并给出结论（α=0.05）；（2）若采用LSD多重比较，求临界差值；（3）假设区组设计，每区组3小区，重新计算误差df。答案：（1）F_{0.05}(2,15)=3.68，9.36>3.68，显著；（2）LSD=t_{0.025,15}×√(25×2/6)=2.131×2.89=6.15kg；（3）误差df=(3−1)(5−1)=8。15.【综合】某互联网公司研究“按钮颜色+文案”对点击率的两因素实验，颜色{红,绿}，文案{A,B}，每组合5个用户，结果如下：红A:8%,红B:12%,绿A:10%,绿B:15%。（1）写出固定效应模型；（2）作方差分析表；（3）检验交互效应（α=0.05）；（4）若发现交互显著，给出简单效应分析步骤。答案：（2）交互SS=10，MS=10，F=5，p=0.038，显著。解析：总SS=120，颜色SS=45，文案SS=25，交互SS=10，误差SS=40，df各1/1/1/16；F_{0.05}(1,16)=4.49，5>4.49，故交互显著；步骤：分别在红、绿水平下用t检验比较A、B文案。七、回归与相关16.【单选】若简单线性回归中r=0.6，则解释变量X每增加1个标准差，响应变量Y平均增加A.0.6个标准差 B.0.36个标准差 C.0.6个原始单位 D.无法确定答案：A解析：标准化回归系数即Pearsonr。17.【计算】某城市2020–2023年季度房租Y（元/㎡）与季度编号t（2020Q1=1）数据拟合得Ŷ=35+2.5t−0.06t²。（1）求房租最高季度及对应租金；（2）若2024Q1预测值及95%置信区间（s²=4，n=16，t_{0.025,13}=2.16）；（3）讨论模型残差自相关可能的后果。答案：（1）t=20.8→2025Q1，租金=61元；（2）2024Q1t=17，Ŷ=66.55，CI=[65.1,68.0]；（3）若残差自相关，标准误被低估，置信带偏窄，I类错误增加。18.【综合】多元回归研究大学生月均消费Y（元）与自变量：X1性别（1=男）、X2月生活费（百元）、X3网购频次、X4社团数量。拟合结果：系数|Estimate|SE|t|p截距|210|50|4.2|0.000X1|60|25|2.4|0.018X2|15|3|5.0|0.000X3|8|4|2.0|0.047X4|−5|2|−2.5|0.014（1）检验整体显著性；（2）计算调整R²（R²=0.42，n=120，p=4）；（3）若X2与X3相关系数0.65，判断多重共线性是否严重；（4）给出缓解共线性的两种方案。答案：（2）R²_adj=0.40；（3）VIF_X2=1/(1−0.65²)=1.73<5，不严重；（4）①中心化或标准化；②岭回归。八、非参数与稳健方法19.【单选】两独立样本n1=n2=15，用MannWhitney检验，若秩和W=180，则双侧p值（正态近似）约为A.0.035 B.0.070 C.0.140 D.0.280答案：B解析：μ_W=15×(15+15+1)/2=232.5，σ_W²=15×15×31/12=581.25，z=(180−232.5)/√581.25=−2.18，双侧p=0.070。20.【计算】某股票2023年日收益率的MAD（中位数绝对离差）=0.8%，若假设对称分布，求一致性估计的尺度参数σ̂，并与样本标准差1.2%比较。答案：σ̂=MAD/Φ^{−1}(0.75)=0.8%/0.6745=1.19%，与1.2%接近，提示尾部近似正态。九、时间序列与预测21.【综合】某机场2020–2023年月旅客吞吐量（万人）建立SARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂模型，得θ=0.6，Θ=0.4，残差LjungBoxQ(12)=14.5。（1）写出模型方程；（2）检验残差白噪声（α=0.05）；（3）预测2024年1月吞吐量，已知2023年12月实际420万人，11月400万人，2023年1月380万人。答案：（2）χ²_{0.05}(12)=21.03，14.5<21.03，残差白噪声；（3）预测值=420+0.4×(420−400)+0.6×(420−380)=442万人。解析：SARIMA方程(1−B)(1−B¹²)X_t=(1−0.6B)(1−0.4B¹²)ε_t；预测用最优线性投影。十、多元统计与数据挖掘22.【单选】对n=150、p=6的数据做主成分分析，若前两个特征值分别为3.5、1.2，则累计贡献率为A.58% B.68% C.78% D.88%答案：C解析：(3.5+1.2)/6=0.783。23.【计算】给定协方差矩阵Σ=[[4,2],[2,9]]，求第一主成分方向及方差。答案：方向向量[0.383,0.924]，方差9.472。解析：特征方程|Σ−λI|=0⇒λ₁=9.472，对应特征向量归一化得[0.383,0.924]。24.【综合】某银行信用卡违约预测，采用Logistic回归+LASSO，十折交叉验证选λ_min，得混淆矩阵：预测\实际|不违约|违约不违约|8500|300违约|500|700（1）计算准确率、召回率、F1；（2）若业务要求召回≥0.75，应如何调整阈值？（3）比较ROC下面积AUC=0.84与随机森林AUC=0.87，选哪个模型？答案：（1）准确率=0.92，召回=0.70，F1=0.78；（2）降低阈值至0.3，召回升至0.76，