2025年大学《统计学》专业题库(附答案)

2025年大学《统计学》专业题库(附答案)一、描述统计与数据可视化1.【单选】某校2024级统计学专业新生体检，测得身高（cm）的茎叶图如下，其中茎单位为10cm、叶单位为1cm。若将数据四舍五入到整数后重新绘制箱线图，则箱体下边缘（Q1）最可能落在哪一区间？茎|叶15|23345678916|0112233455678917|012345678918|012A.[160,162)B.[163,165)C.[166,168)D.[169,171)答案：B解析：共43个数据，Q1位置=0.25×43=10.75，取第11个有序值。排序后第11值为163cm，故箱体下边缘≈163cm，选B。2.【多选】关于直方图与条形图，下列说法正确的有A.直方图矩形面积与频数成比例B.条形图矩形之间必须留空隙C.直方图可用于展示连续型变量分布D.条形图纵轴必须从0开始，否则易产生视觉误导答案：ACD解析：B错，条形图矩形之间可不留空隙，例如帕累托图；A、C、D为统计学图形规范。3.【计算】某城市2023年各月份PM2.5浓度（μg/m³）依次为：85,92,78,65,58,52,48,55,68,75,88,95。求其偏度系数（Pearson矩偏度）。答案：0.338解析：均值μ=73.92，标准差σ=15.87，三阶中心矩μ₃=1.35×10³，偏度=μ₃/σ³=0.338，呈右偏。4.【证明】设分组数据共k组，第i组组中值为xᵢ，频数为fᵢ，总频数n=Σfᵢ。试证：分组方差s²=Σfᵢ(xᵢ−x̄)²/(n−1)为总体方差σ²的相合估计（n→∞时）。答案：略解析：利用Slutsky定理与连续映射定理，当n→∞，组距→0，分组方差收敛于总体方差。二、概率论基础5.【单选】设事件A,B满足0<P(A)<1,P(B|A)=P(B|Ā)，则下列一定成立的是A.A,B独立B.A,B互斥C.P(A|B)=P(A)D.P(A∩B)=0答案：A解析：由全概率公式P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|Ā)P(Ā)=P(B|A)，故P(B|A)=P(B)，即独立。6.【计算】某型号电子元件寿命T服从参数λ=0.004h⁻¹的指数分布。已知元件已正常工作200h，求其还能继续工作300h的概率。答案：e⁻¹·²≈0.3012解析：指数分布无记忆性，P(T>500|T>200)=P(T>300)=e^(−0.004×300)=e⁻¹·²。7.【综合】设随机变量X的密度f(x)=k(1−x²),−1≤x≤1。(1)求k；(2)求E(X)；(3)求Var(X)。答案：(1)k=3/4；(2)0；(3)1/5解析：(1)∫f(x)dx=1⇒k=3/4；(2)对称区间奇函数期望0；(3)E(X²)=∫x²f(x)dx=3/4∫x²(1−x²)dx=1/5。8.【证明】若X~N(μ,σ²)，Y=aX+b，a≠0，试证Y~N(aμ+b,a²σ²)。答案：略解析：利用矩母函数M_Y(t)=E[e^{tY}]=e^{tb}M_X(at)=exp{(aμ+b)t+a²σ²t²/2}，为正态分布矩母函数。三、随机向量与极限定理9.【单选】设(X,Y)的联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，则Cov(X,Y)为A.1/36B.1/24C.1/18D.1/12答案：C解析：边缘密度f_X(x)=2(1−x),0≤x≤1，E(X)=1/3，E(Y)=2/3，E(XY)=1/4，Cov=1/4−(1/3)(2/3)=1/18。10.【计算】设X₁,…,Xₙi.i.d.Poisson(λ)，用特征函数法证明样本均值X̄依分布收敛于λ。答案：略解析：φ_{X̄}(t)=[exp{λ(e^{it/n}−1)}]ⁿ→exp{itλ}，即退化在λ，得X̄→pλ，由连续性定理得依分布收敛。11.【综合】某保险合约承担N件独立同质风险，每件索赔额Yᵢ~Exp(θ)。若N~Poisson(λ)，求总索赔S=ΣYᵢ的矩母函数，并指出其分布名称。答案：M_S(t)=exp{λθt/(θ−t)},t<θ，为复合泊松指数分布，亦称为Gamma(λ,θ)的混合。12.【证明】设{Xₙ}为i.i.d.序列，E(X₁)=μ,Var(X₁)=σ²<∞，用LindebergLévyCLT证明√n(X̄ₙ−μ)/σ→dN(0,1)。答案：略解析：验证Lindeberg条件：对任意ε>0，E[X₁²I{|X₁|>ε√n}]→0，由控制收敛定理即得。四、参数估计13.【单选】设X₁,…,Xₙi.i.d.U(0,θ)，则θ的MLE为A.X̄B.max(Xᵢ)C.2X̄D.min(Xᵢ)答案：B解析：似然函数L(θ)=θ⁻ⁿI{maxXᵢ≤θ}，在θ=max(Xᵢ)处取最大值。14.【计算】设X~Bin(n,p)，p的先验为Beta(α,β)，在平方损失下求p的Bayes估计，并指出当α=β=1时的结果。答案：后验为Beta(α+x,β+n−x)，Bayes估计=(α+x)/(α+β+n)；α=β=1时等于(x+1)/(n+2)，为Laplace平滑。15.【综合】某生产线产品重量服从N(μ,σ²)，σ²未知。随机抽取n=16件，测得x̄=502g，s=4g。求μ的95%单侧置信上限。答案：μ≤502+t₀.₀₅(15)·s/√16=502+1.753×1=503.753g解析：使用t分布，t₀.₀₅(15)=1.753。16.【证明】设T为参数θ的无偏估计，若Var(T)达到CramérRao下界，则称T为有效估计。试证指数族分布之自然充分统计量即为有效估计。答案：略解析：指数族密度可写为f(x|θ)=h(x)exp{θT(x)−A(θ)}，得分函数为T(x)−A'(θ)，信息量为A''(θ)，Var(T)=A''(θ)恰等于下界。五、假设检验17.【单选】对正态总体N(μ,σ²)均值做双侧t检验，显著性水平α，当真实均值μ=μ₁≠μ₀时，下列关于功效函数π(μ₁)的说法正确的是A.π随|μ₁−μ₀|增大而减小B.π随n增大而增大C.π随α减小而增大D.π与σ无关答案：B解析：功效=1−β，n增大标准误减小，非中心参数增大，功效提高。18.【计算】某电商平台欲检验新算法是否降低退货率。旧退货率p₀=0.08，抽取n=400单，新算法退货28单。取α=0.05，用近似正态法检验H₀:p≥0.08vsH₁:p<0.08，并求p值。答案：z=(0.07−0.08)/√(0.08×0.92/400)=−0.01/0.0136=−0.735，p值=Φ(−0.735)=0.231>0.05，不拒绝H₀。解析：单侧检验，临界值−1.645，−0.735>−1.645。19.【综合】两独立正态总体，方差未知但相等。样本量n₁=10,n₂=12，x̄₁=105,x̄₂=100，合并方差s_p²=25。求μ₁−μ₂的95%置信区间，并判断是否在0.05水平下认为μ₁>μ₂。答案：区间=(105−100)±t₀.₀₂₅(20)·√(25(1/10+1/12))=5±2.086×2.165=(0.48,9.52)，下限>0，故拒绝H₀:μ₁≤μ₂，认为μ₁显著大于μ₂。解析：t₀.₀₂₅(20)=2.086。20.【证明】对指数分布Exp(θ)检验H₀:θ=θ₀vsH₁:θ≠θ₀，证明似然比统计量Λ=2n[ln(X̄/θ₀)+(θ₀/X̄−1)]，并指出其渐近分布。答案：略解析：似然比λ=L(θ₀)/L(X̄)，取对数乘−2，得Λ=2n[ln(X̄/θ₀)+θ₀/X̄−1]，由Wilks定理，Λ→dχ²(1)。六、方差分析与实验设计21.【单选】单因素ANOVA中，若组间均方MSB=45，组内均方MSE=9，k=4组，每组n=8，则F值与结论（α=0.05）为A.5,拒绝B.5,不拒绝C.0.2,拒绝D.0.2,不拒绝答案：A解析：F=MSB/MSE=45/9=5，临界值F₀.₀₅(3,28)≈2.95，5>2.95，拒绝。22.【计算】随机区组设计，4处理3区组，得总平方和SST=240，区组平方和SSB=36，误差平方和SSE=84。完成方差分析表并检验处理效应（α=0.05）。答案：处理SS=SST−SSB−SSE=120，df处理=3，MS处理=40，F=40/(84/6)=40/14=2.857，临界F₀.₀₅(3,6)=4.76，2.857<4.76，不拒绝，处理效应不显著。解析：误差df=(4−1)(3−1)=6。23.【综合】某2³全因子实验，因素A,B,C，每组合重复2次，共16次试验。用Yates算法得A效应对比值=+24，总平方和=800。求A的主效应平方和及其贡献率。答案：SSA=(24)²/(16×2)=36，贡献率=36/800=4.5%。解析：对比值除以8×2=16，平方即得SS。24.【证明】证明在完全随机设计中，若处理效应固定、误差独立同分布N(0,σ²)，则E(MSB)=σ²+nΣτᵢ²/(k−1)。答案：略解析：利用线性模型Yᵢⱼ=μ+τᵢ+εᵢⱼ，Στᵢ=0，计算E(SSB)即可。七、回归分析25.【单选】多元线性回归中，若某自变量Xⱼ的VIF=8.5，则一般认为A.无多重共线B.轻度共线C.中度共线D.严重共线答案：C解析：VIF>10为严重，5<VIF≤10为中度。26.【计算】对数据(n=20)拟合简单线性回归ŷ=2.1+1.4x，已知x̄=5，Σ(xᵢ−x̄)²=40，σ̂²=3.2。求β₁的95%置信区间。答案：1.4±t₀.₀₂₅(18)·√(3.2/40)=1.4±2.101×0.2828=(0.806,1.994)。解析：标准误=√(σ̂²/Sxx)=√(3.2/40)=0.2828。27.【综合】某研究建立模型Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+ε，得ANOVA表：回归SS=360，残差SS=90，n=25。(1)求R²；(2)检验整体显著性(α=0.05)；(3)若新增X₃后R²增至0.85，求调整R²变化。答案：(1)R²=360/(360+90)=0.8；(2)F=(360/3)/(90/21)=28，临界F₀.₀₅(3,21)=3.07，拒绝；(3)原调整R²=1−(90/21)/(450/24)=0.771，新调整R²=1−(67.5/20)/(450/24)=0.820，提高0.049。解析：新增SS回归=0.85×450−360=22.5，新残差SS=90−22.5=67.5。28.【证明】证明在经典线性模型下，最小二乘估计β̂的协方差矩阵为σ²(XᵀX)⁻¹。答案：略解析：β̂=(XᵀX)⁻¹XᵀY，Cov(β̂)=(XᵀX)⁻¹XᵀCov(Y)X(XᵀX)⁻¹=σ²(XᵀX)⁻¹。八、非参数与稳健方法29.【单选】Wilcoxon符号秩检验适用于A.两独立样本位置B.单样本对称性C.多组独立样本D.两样本尺度答案：B解析：符号秩检验用于单样本或配对差值对称中心。30.【计算】两组独立样本，n₁=n₂=8，得秩和W=52（第一组），查表得双侧临界值49~87。试在α=0.05下给出结论。答案：49≤52≤87，不拒绝，两组位置差异不显著。解析：Wilcoxon秩和检验。31.【综合】对数据集{3,7,8,9,12,14,18,22}，求HuberM估计，其中k=1.5，迭代初值取中位数9，迭代两次即可。答案：第一次：残差r=−6,−2,−1,0,3,5,9,13，权重w=1,1,1,1,1,1,0.167,0.115，加权均值=(3+7+8+9+12+14+18×0.167+22×0.115)/(6+0.167+0.115)=9.36；第二次：以9.36为中心，得新均值9.38，停止。Huber估计=9.38。解析：Huber函数ψ(r)=min(k,max(−k,r))，权重w=ψ(r)/r。32.【证明】证明KruskalWallis统计量H=[12/(N(N+1))]ΣRᵢ²/nᵢ−3(N+1)在H₀下渐近χ²(k−1)。答案：略解析：利用秩次在H₀下均匀分布，中心极限定理及卡方近似。九、贝叶斯与计算统计33.【单选】MCMC中，MetropolisHastings算法若提议分布对称，则接受概率简化为A.min(1,π(θ)/π(θ))B.min(1,π(θ)/π(θ))C.min(1,logπ(θ)−logπ(θ))D.1答案：A解析：对称提议使比率q(θ|θ)/q(θ|θ)=1。34.【计算】设X~Bin(10,θ)，观测x=7，取平坦先验θ~U(0,1)，用GriddyGibbs在0.05网格上求后验均值（近似）。答案：后验为Beta(8,4)，均值=8/12=0.667，网格近似0.667。解析：网格足够细时一致。35.【综合】用Bootstrap估计相关系数r的标准误，样本量n=20，r=0.65，B=2000次重抽样得sê=0.142。求r的95%Bootstrap百分位置信区间。答案：将2000个r排序，取2.5%与97.5%分位数，得(