重庆市南开中学2026届高一上数学期末学业质量监测试题含解析

重庆市南开中学2026届高一上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设集合，，则集合A. B.C. D.2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.y=tanxC.y=lnx D.y=x|x|3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.C. D.4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为A.135平方米 B.270平方米C.540平方米 D.1080平方米5．设则（）A. B.C. D.6．若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是（）A.对任意，都有成立；B.函数的图像关于原点成中心对称；C.存在某个，使得；D.对任意给定的，都有.7．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（）A. B.C D.8．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的值可以是（）A. B.C. D.9．命题A：命题B：(x＋2)·(x＋a)<0；若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是A.(－∞，－4) B.[4，＋∞)C.(4，＋∞) D.(－∞，－4]10．函数，则的大致图象是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____12．如图，已知△和△有一条边在同一条直线上，，，，在边上有个不同的点F,G，则的值为______13．关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是______14．若命题“”为真命题，则的取值范围是______15．已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.16．已知函数,现有如下几个命题：①该函数为偶函数；

②是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小正周期为；④该函数的图像关于点对称；⑤该函数的值域为.其中正确命题的编号为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知定义域为的函数是奇函数（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围18．已知圆，直线（1）直线l一定经过哪一点；（2）若直线l平分圆C，求k的值；（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长的最小值及此时直线的方程19．已知曲线：.（1）当为何值时，曲线表示圆；（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.20．已知函数（）在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴正半轴的交点，为等腰直角三角形.（1）求的值；（2）将绕点按逆时针方向旋转角（），得到，若点和点都恰好落在曲线（）上，求的值.21．已知x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求元素x满足的条件;(2)若-2∈A,求实数x.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】并集由两个集合所有元素组成，排除重复的元素，故选.2、D【解析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.【详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.故选：D3、D【解析】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为.本题选择D选项.4、B【解析】直接利用扇形面积计算得到答案.【详解】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为Slr45270（平方米）.故选：B.【点睛】本题考查了扇形面积，属于简单题.5、A【解析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，∴，又，∴，故选：A【点睛】本题考查实数大小的比较，考查指对函数的性质，属于常考题型.6、D【解析】利用偶函数的定义进行判断即可【详解】对于A，对任意，都有成立，可得为偶函数且为奇函数，而当为偶函数时，不一定有对任意，，所以A错误，对于B，当函数的图像关于原点成中心对称，可知，函数为奇函数，所以B错误，对于CD，由偶函数的定义可知，对于任意，都有，即，所以当为偶函数时，任意，，反之，当任意，，则为偶函数，所以C错误，D正确，故选：D7、C【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.【详解】由已知可得.故选：C.8、C【解析】首先求平移后的解析式，再根据函数关于轴对称，当时，，求的值.【详解】函数的图象沿轴向右平移个单位后的解析式是，若函数图象关于轴对称，当时，，解得：，当时，.故选：C【点睛】本题考查函数图象变换，以及根据函数性质求参数的取值，意在考查基本知识，属于基础题型.9、A【解析】记根据题意知，所以故选A10、D【解析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论【详解】，为偶函数，排除BC，又时，，时，，排除A，故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合【详解】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：故答案为【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题12、16【解析】由题意易知：△和△为全等的等腰直角三角形，斜边长为，，故答案为16点睛：平面向量数量积类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.13、【解析】对m进行讨论，变形，构造新函数求导，利用单调性求解最值可得实数m的取值范围；【详解】解：由上，；当时，显然也不成立；；可得设，其定义域为R；则，令，可得；当上时，；当上时，；当时；取得最大值为可得，；解得：；故答案为.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性和最值中的应用，属于难题.14、【解析】依题意可得恒成立，则，得到一元二次不等式，解得即可；【详解】解：依题意可得，命题等价于恒成立，故只需要解得，即故答案为：15、【解析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M和N﹒【详解】作出在上的图象（如图所示）因为，，所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，由，得，则，，，；当的图象与直线相交时，设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，由，得，则，，；所以.故答案为：.16、②③【解析】由于为非奇非偶函数,①错误.,此时,其在上为增函数,②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得；（2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，，即得函数在上为减函数；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围【详解】解：（1）为上的奇函数，，可得又（1），解之得经检验当且时，，满足是奇函数.（2）由（1）得，任取实数、，且则，可得，且，即，函数在上为减函数；（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数不等式恒成立，即也就是：对任意的都成立变量分离，得对任意的都成立，，当时有最小值为，即的范围是【点睛】本题以含有指数式的分式函数为例，研究了函数的单调性和奇偶性，并且用之解关于的不等式，考查了基本初等函数的简单性质及其应用，属于中档题18、（1）（2）（3）弦长的最小值为,此时直线的方程为【解析】（1）由可求出结果；（2）转化为圆心在直线上可求出结果；（3）当时，弦长最小，根据垂直关系求出直线斜率，根据点斜式求出直线的方程，利用勾股定理可求出最小弦长.【详解】（1）由得得，所以直线l一定经过点.（2）因为直线l平分圆C，所以圆心在直线上，所以，解得.（3）依题意可知当时，弦长最小，此时，所以，所以，即，圆心到直线的距离，所以.所以弦长的最小值为，此时直线的方程为.【点睛】关键点点睛：（3）中，将弦长最小转化为是解题关键.19、（1）；（2）.【解析】（1）由圆的一般方程所满足的条件列出不等式，解之即可；（2）将转化为，即，然后直线与圆联立，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可.【详解】（1）由，得.（2）设，，由得，即.将直线方程与曲线：联立并消去得，由韦达定理得①，②，又由得；∴.将①、②代入得，满足判别式大于0.20、（1）（2）【解析】（1）根据为等腰直角三角形可求解（2）根据三角函数定义分别得到、的坐标，再代入中可求解【小问1详解】由题意可知周期，所以，，为等腰直角三角形，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以，，所以，点，都落在曲线（）上，所以可得，，，可得，，由，得，（），所以.21、（1）x≠-1,且x≠0,且x≠3（2）