2026届内蒙古自治区赤峰市第二中学数学高二上期末统考模拟试题含解析

2026届内蒙古自治区赤峰市第二中学数学高二上期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则与的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定2．若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为（）A. B.2C. D.43．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（）A.平面ABC的一个法向量是 B.的一个单位向量的坐标是C. D.与是共线向量6．若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（）A.﹣4 B.C. D.±7．已知，向量，，若，则x的值为（）A.-1 B.1C.-2 D.28．过点，且斜率为2的直线方程是A. B.C. D.9．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.410．等比数列{}中，已知=8，+=4，则的值为（）A.1 B.2C.3 D.511．若，则=（）A.244 B.1C. D.12．已知且，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若三个数成等差数列，则_________；若三个数成等比数列，则__________14．曲线在点处的切线方程为__________15．已知等差数列的通项公式为，那么它的前项和___________.16．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和，递增等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为.18．（12分）如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面ABC（1）证明：；（2）已知四边形是边长为2的菱形，且，问在线段上是否存在点E，使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由19．（12分）设函数（1）求的值；（2）求的极大值20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C方程；（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交曲线C于A，B两点和M，N两点，且，求直线AB的斜率与直线MN的斜率之和21．（12分）设二次函数.（1）若是函数的两个零点，且最小值为.①求证：；②当且仅当a在什么范围内时，函数在区间上存在最小值?（2）若任意实数t，在闭区间上总存在两实数m，n，使得成立，求实数a的取值范围.22．（10分）已知点P到点的距离比它到直线的距离小1.（1）求点P的轨迹方程；（2）点M，N在点P的轨迹上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），求面积的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题知，进而研究的符号即可得答案.详解】解：，所以，即.故选：B2、A【解析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.【详解】解：成等比数列，∴根据等比数列的通项得：，，故选：A.3、A【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.【详解】∵，∴（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），∴（当且仅当时等号成立），若，则，∴，所以“”是“”的充分条件，当时，，此时，∴“”不是“”的必要条件，∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4、D【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可【详解】解：由题意可得，整理得，当时，不等式化简为恒成立，所以，当时，不等式化简为恒成立，所以，综上，，所以实数的取值范围是，故选：D5、A【解析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】因为，，，故可得，因为，故，不平行，则D错误；对A：不妨记向量为，则，又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；对C：因为，故可得，故C错误；故选：A.6、D【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为，即可得到结果，得到答案.【详解】由题意，抛物线，可得，又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即，解得.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7、D【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】因向量，，，则，解得，所以x的值为2.故选：D8、A【解析】由直线点斜式计算出直线方程.【详解】因为直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.9、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C10、C【解析】由等比数列性质求出公比，将原式化简后计算【详解】设等比数列{}的公比为，则＝，＝，所以＝=.又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，所以＋＋＋＝2＋1＝3.故选：C11、D【解析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.【详解】根据，令时，整理得：令x=2时，整理得:由①+②得，，所以.故选：D.12、C【解析】∵且，∴∴选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.4②.【解析】由等差中项与等比中项计算即可.【详解】若a，b，c三个数成等差数列.所以.若a，b，c三个数成等比数列.所以故答案为：4，.14、【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：15、【解析】由题意知等差数列的通项公式，即可求出首项，再利用等差数列求和公式即可得到答案.【详解】已知等差数列的通项公式为，..故答案为：.16、【解析】化简数列将问题转化为不等式恒成立问题，再对n分奇数和偶数进行讨论，分别求解出的取值范围，最后综合得出结果.【详解】根据题意，，.①当n是奇数时，，即对任意正奇数n恒成立，当时，有最小值1，所以.②当n是正偶数时，，即，又，故对任意正偶数n都成立，又随n增大而增大，当时，有最小值，即，综合①②可知.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，设等比数列的公比为q，由条件可得，解出结合条件可得答案.（2）由（1）可得，利用错位相减法可求【小问1详解】，当时，，也满足上式，∴，则.设等比数列的公比为q，由得，解得或.因为是递增等比数列，所以，.【小问2详解】①①①②：∴18、（1）证明见解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【小问1详解】∵，且D为BC的中点，∴，因为平面平面ABC，交线为BC，AD⊥BC，AD面ABC，所以AD⊥面，因为面，所以.【小问2详解】假设存在点E，满足题设要求连接，，∵四边形为边长为2的菱形，且，∴为等边三角形，∵D为BC的中点∴，∵平面平面ABC，交线为BC，面，所以面ABC，故以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系则，，，，设，，设面AED的一个法向量为，则，令，则设面AEC的一个法向量为，则，令，则设平面EAD与平面EAC的夹角为，则解得：，故点E为中点，所以19、（1）-3（2）2【解析】（1）利用导数公式和法则求解；（2）令，利用极大值的定义求解.【小问1详解】解：因为函数，所以，所以；【小问2详解】令，得，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值.20、（1）（2）0【解析】（1）由条件得和，再结合可求解；（2）设直线AB的方程为：，与椭圆联立，得到，同理得，再根据题中的条件化简整理可求解.【小问1详解】因为椭圆的离心率为，所以，所以①又因为过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，所以②，由①②可知，所以，，所以椭圆C的方程为【小问2详解】因为点P在直线上，所以设点，由题可知，直线AB的斜率与直线MN的斜率都存在所以直线AB的方程为：，即，直线MN的方程为：，即，设，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因为，，所以，同理可得，又因为，所以，又因为，，，都是长度，所以，所以，整理可得，又因为，所以，所以直线AB的斜率与直线MN的斜率之和为021、（1）①证明见解析；②（2）【解析】（1）①根据二次函数的性质和一元二次方程的求根公式，求得，即可证得；②由①知，区间，根据二次函数的性质，即可求解.（2）存在两实数，使得成立，转化为在区间上，有成立，设﹐结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：①由题意，函数二次函数，因为最小值为，可得，即，因为，所以根据求根公式得，所以.②由①知，区间因为，对称轴，且函数在区间上存在最小值，所以，因为，所以解得，所以，即a的取值范围为.【小问2详解】解：存在两实数，使得成立，则在区间上，有成立，设﹐函数对称轴为①当即时，在上单调减，，此时；②当即时，，此时③当即时，，此时；④当即时，，此时；综合①②③④得，且最小值为，因为对任意实数t，都有，所以只需，即，所以实数a的取值范围.22、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件可得点P到点的距离等于它到直线的距离，再由抛物线定义即可得解.(2)由(1)设出点M，N的坐标，再结合给定条件及三角形面积定理列