第七单元 微专题　几何最值问题

第七单元图形的变化微专题几何最值问题一阶方法训练类型一利用“垂线段最短”求最值(3年1考)适用情况：所求线段两端点起点为定点，终点为动点，考查垂线段最短情形问题描述图示情形1一动一

定问题点P在直线l外，在直线l上找一点H，使得HP的值最小.

情形2两动一

定问题M是∠BAC内部一定点，在AC上找一点P，在AB上找一点N，使得PN＋PM的值最小.

几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例1如图，在等边△ABC中，AB=4，D是BC边上的动点，则线段AD的

最小值为

.

解图例2如图，在△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于

点D，E，F分别是线段AD，AB上的动点，求BE＋EF的最小值.解：如解图，作点B关于AD的对称点B′，过点B′向AB作垂线，交AD于点

E′，交AB于点F′，连接BE′，当点E与点E′重合，点F与点F′重合时，BE

＋EF取得最小值，最小值为B′F′的长，解图易得AD垂直平分BB′，且AD是∠BAC的平分线，∴点B′恰好落在AC上，∵AB=4，∴AB′=AB=4，BE′=B′E′，在Rt△AB′F′中，∠B′AF′=45°，AB′=4，

解图

类型二利用“两点之间线段最短”求最值(3年2考)适用情况：所求线段两端点起点为定点，终点为定点，考虑两点之间线段

最短情形问题描述图示情形1

“两定点＋一动点”型异侧线段和最小值问题在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小.

情形2

“两定点＋一动点”型同侧线段和最小值问题在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小.

情形问题描述图示情形3

“两定点＋定长”型同侧线段和最小值问题在直线l上找两点M，N(MN=d，M在N的左侧)，使得AM＋MN＋BN的值最小.

情形4

“一定点＋两动点”周长最小值问题在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小.

情形5

“两定点＋定长”型异侧线段和最小值问题在l1，l2上分别找一点M，N(MN=d)，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋BN的值最小.

几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例3如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD上的一动点，F为CD的

中点，连接BE，EF，则BE＋EF的最小值为

​

​

​

.

解图例4如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在边AC上，P，Q分别是边

AB，BC上的动点，连接DP，DQ，PQ，BD，若BD=6，则△DPQ周长的

最小值为

.

解图

∴DF＋HP=DF＋FP′≥DP′，∴当D，F，P′三点共线时，DF＋HP的值最小，最小值为DP′的长，解图①

解图②二阶综合训练1.如图，在矩形ABCD中，BC=2，∠ACB=30°，若M，N分别是线段

AC，BC上的两个动点，则BM＋MN的最小值为(

B

)B

解图

解图

解图

解图4.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上一点，将线段BP绕点B顺时

针旋转60°得到线段BP′，连接P′C，若P′C长度的最小值为1，则此时AP

的长为

​

.

【解析】如解图，将线段AB绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接AE，

DE，P′E，CE，∴AB=BE，∠ABP=∠EBP′，易得△EAB为等边三角形，由题意得BP=BP′，∴△APB≌△EP′B(SAS)，∴AP=EP′，∠BEP′=∠BAP=45°，同理可证得△AED≌△BEC，∴ED=EC，在等边△EAB中，AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，在正方形ABCD中，∠BAC=45°，AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∴AE=AD，∠EAD=30°，解图解图

5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC，BD交于点O，

BD=4，E为OD的中点，F为AB上一点，且AF=3BF，P为AC上一动点，

连接PE，PF，则|PF－PE|的最大值为

⁠.1【点拨】如解图，取OB中点E′，连接PE′，作射线FE′交AC于点P′，当P与P′重合，P′，E′，F三点在同一直线上时，|PF－PE′|有最大值，即为FE′的长.解图

解图6.

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点M，N在边BC上且

MN=2，以MN为边在矩形ABCD内部作正方形MNPQ，连接BQ，DP，求

BQ＋PD的最小值.解：如解图，把线段BQ沿QP所在直线平移，使点Q与点P重合，点B的对

应点为B′，连接DB′，由平移的性质得，B′P=BQ，QP=BB′，解图∴BQ＋PD=B′P＋PD≥DB′，当D，P，B′三点共线时，BQ＋PD的