第七单元 微专题　图形的折叠

第七单元图形的变化微专题图形的折叠一阶方法训练类型一利用折叠出现的等腰、直角三角形求解原理图形分析解题思路利用折叠的性质得到直角三角形或者等腰三角形，再利

用等腰三角形性质、勾股定理或三角函数求解

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，将△ABC按照如图所示的折痕折叠，点C的对应点E落在AB上如图，设DE=x，则

CD=DE=x，AE=AC=b，故BD=a－

x，BE=c－b.在Rt△BED中，利用勾股

定理可得x2＋(c－b)2=(a

－x)2原理图形分析解题思路利用折叠的性

质得到直角三

角形或者等腰

三角形，再利

用等腰三角形

性质、勾股定

理或三角函数

求解

在矩形ABCD中，AB=a，

BC=b，将矩形按照如图所示

的折痕折叠如图，设DF=x，则

AF=b－x，BF=DF=x.

在Rt△ABF中，利用勾

股定理可得a2＋(b－

x)2=x2例1如图，在矩形ABCD中，CD=4，BC=8，将△BCD沿BD翻折得到

△BED，BE交AD于点F，则AF的长为

⁠.3【解析】∵四边形ABCD为矩形CD=4，BC=8，∴AD=BC=8，

AB=CD=4，AD∥BC，∠A=90°，∴∠ADB=∠CBD，由折叠的性质得，

∠CBD=∠EBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BF=DF，设AF=x，则

BF=DF=AD－AF=8－x，在Rt△ABF中，BF2=AB2＋AF2，即(8－x)2=42＋x2，解得x=3，∴AF=3.例2如图，已知矩形纸片的宽为2，将矩形纸片沿MN折叠，得到重合部

分△AMN，若∠MAN=45°，则△AMN的面积为

.

解图例3如图，在Rt△ABC中，BC=6，AB=9，∠B=90°，将△ABC沿MN

折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段DN的长为

⁠.

5例4如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把

纸片展平.沿过点B的直线再折叠一次纸片，使点A的对应点A′落在EF上，

得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，求AD的长.解：∵四边形ABCD为矩形，AB=6cm，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=6cm，由折叠的性质，得BE=DF=3cm，A′B=AB=6cm，∠A′EB=90°，∠ABM=∠A′BM，在Rt△A′BE中，∵A′B=2BE，∴∠BA′E=30°，

类型二利用折叠出现的全等、相似求解原理图形分析解题思路利用折叠的性

质得到全等、

相似三角形，

再利用全等、

相似三角形的

性质求解将矩形

ABCD按照

如图所示的

折痕折叠点B′落在矩形边上

①全等关系：

△BCP≌△B′CP；②相似关系：

△AB′P∽△DCB′原理图形分析解题思路利用折叠的性

质得到全等、

相似三角形，

再利用全等、

相似三角形的

性质求解将矩形

ABCD按

照如图所

示的折痕

折叠点B′落在矩形外

①全等关系：△ABC≌△AB′C，△AB′F≌△CDF；②特殊三角形：Rt△AB′F，Rt△CDF，等

腰△AFC原理图形分析解题思路利用折叠的性

质得到全等、

相似三角形，

再利用全等、

相似三角形的

性质求解将矩形

ABCD按

照如图所

示的折痕

折叠点B′落在矩形对

角线上

①全等关系：△BCP≌△B′CP；②相似关系：△AB′P∽△ABC例5如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把纸片沿CE所在直线

折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.

若点E，F，D在同一条

直线上，AE=2.(1)求DF的长；解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，由折叠的性质得，CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，∴CF=AD，∠CFD=90°，∴∠ADE＋∠CDF=∠CDF＋∠FCD=90°，∴∠ADE=∠FCD，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF=AE=2；矩形ABCD，把纸片沿CE所在直线折叠，使点B落在对角线AC上的点F

处，AE=2.(2)求BE的长.(2)∵∠AFE=∠CFD=90°，∴∠AFE=∠DAE=90°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，

由折叠的性质可得，BE=EF，

一题多解法

二阶综合训练1.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠B=45°，E是边CD上一点，连接

AE，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F恰好在DC的延长线上，则线段

CF的长为(

A

)A2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，D是斜边AB

的中点，把△ABC沿着CD折叠，点B的对应点为点E，连接AE，则AE的

长为(

A

)A.3B.4C.5D.6A3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴

的正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边

OB上的点E处.若OA=8，OB=10，则点D的坐标是

⁠.(10，3)【解析】∵四边形AOBC是矩形，OA=8，OB=10，∴AC=OB=10，

BC=OA=8，∵将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在OB边上的点E处，

∴AE=AC=10，CD=DE，由勾股定理得，OE=6，∴BE=4，设BD=m，则

DE=CD=8－m，在Rt△BDE中，BE2＋BD2=DE2，即42＋m2=(8－m)2，解

得m=3，∴BD=3，∴D(10，3).4.(2024连云港15题)如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重

合，打开后，得到折痕EF，连接BF.

再将矩形纸片折叠，使点B落在BF

上的点H处，折痕为AG.

若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分

点，AB=4，则BC的长为

.

解图

解图

解图5.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，M，N分别是边AB，CD上的点，

将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在边BC上，对应点为点A′，点D

落在D′处，A′D′与CD交于点E.

(1)若BA′=2，求折痕MN的长；解：(1)如解图①，过点N作NF⊥AB，连接AA′，与NF交于点P，与MN交于点Q，解图①一题多解法∵四边形ABCD是正方形，∴DA⊥AB，DC∥BA，∠ABC=90°，AB=AD，∴NF∥AD，∴四边形AFND是矩形，NF=AD=6，由折叠的性质得，AA′⊥MN，在△APF和△NPQ中，∵∠APF=∠NPQ，∠AFP=∠NQP=90°，解图①∴∠PAF=∠PNQ，即∠BAA′=∠FNM，∵∠ABA′=∠NFM=90°，NF=AD=AB=6，∴△ABA′≌△NFM(ASA)，∵BA′=2，

解图①解法二:如解图②，连接AA′与MN交于点Q，连接AN，解图②由折叠的性质得，AQ=A′Q，NM⊥AA′，AM=A′M，∵AB=6，BA′=2，∠B=90°，

设BM=x，则A′M=AM=6－x，

解图②5.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在边BC上，对应点为点A′，点D落在D′处，A′D′与CD交于点E.

(2)探究△A′CE的周长是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说

明理由.(2)△A′CE的周长是定值.如解图③，连接AA′，AE，过点A作AG⊥A′E，垂足为G，解图③由折叠的性质得，A′M=AM，∠MA′G=∠MAD=90°，∴∠MA′A=∠MAA′，∵∠AA′G＋∠MA′A=90°，∠AA′G＋∠A′AG=90°，∴∠MA′A=∠A′AG，∴∠MAA′=∠A