第四单元 微专题　遇到中点如何添加辅助线

第四单元三角形微专题遇到中点如何添加辅助线(3年1考)一阶方法训练情形作辅助线思路对应图示遇等腰三角形，想“三线合一”知等腰三角形底边中点，连接顶

角顶点与底边中点，构造中线，

用“三线合一”

遇斜边，想中线知直角三角形斜边中点，连接直

角顶点与斜边中点，构造中线，

用“直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半”

情形作辅助线思路对应图示遇中点，想中

位线知三角形两边的中点，连接两个中

点，构造中位线，用“三角形的中位

线平行于三角形的第三边，并且等于

第三边的一半”

情形作辅助线思路对应图示遇中点，想中

位线知三角形一边中点，在另一边取中

点，连接两个中点或过中点作边的平

行线，构造中位线，用“三角形的中

位线平行于三角形的第三边，并且等

于第三边的一半”

情形作辅助线思路对应图示遇中线，构倍

长知三角形一边上的中线，延长中线，

构造全等三角形

知三角形一边上的中点与另一边上点

的连线，延长线段，构造全等三角形

几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例1如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠A=120°，过点

D作DE⊥AC于点E，AE=2，求DE的长.【作辅助线思路】知AB=AC，D是BC的中点，连接

⁠.解：如解图，连接AD，AD∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∵∠A=120°，∴∠DAC=60°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=30°，∵AE=2，

题后反思你能求出S△ADE，S△CDE，S△ADC，S△ABC的比值吗？解：S△ADE∶S△CDE∶S△ADC∶S△ABC=1∶3∶4∶8.例2如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，∠ACB=90°，D为边BC

延长线上一点，连接DM，若∠B=2∠D，AB=16，求CD的长.【作辅助线思路】知M为Rt△ABC斜边AB上的中点，连接

⁠.CM解：如图，连接CM，∵∠ACB=90°，M为AB的中点，AB=16，∴CM=BM=AM=8，∴∠B=∠MCB，∵∠B=2∠D，∴∠MCB=2∠D，∵∠MCB=∠D＋∠DMC，∴∠D=∠DMC，∴CD=CM=8.

【作辅助线思路】知E，F分别是AC，AB的中点，连接

⁠.EF

例4

如图，在△ABC中，BC=2AB，AD是BC边上的中线，过点B作BG⊥AD于点G，交AC于点E，若AD=BE=6，求AC的长.【作辅助线思路】

⁠.知AD是BC边上的中线，取CE的中点F，连接DF

解：(遇中点，想中位线)如解图①，取CE的中点F，连接DF，F

一题多解法

F解法二【作辅助线思路】知AD是BC边上的中线，延长GD至点F，使得

DF=DG，连接CF，解图②解：(遇中线，构倍长)如解图②，延长GD至点F，使得DF=DG，连接CF，∵BG⊥AD，∴∠AGB=∠BGD=∠AGE=90°，∴△ABG和△BDG均为直角三角形，

解图②

解图②题后反思在本题中，你都有哪些不同的辅助线作法？解：其他辅助线的作法：①如解图①，取BE的中点F，连接DF.

解图①②如解图②，取AC的中点F，连接GF.

解图②③如解图③，取CD的中点F，连接GF.

解图③④如解图④，延长DB到点F，使得BF=BD，连接AF.

解图④⑤如解图⑤，延长GE到点F，使得GF=BG，连接CF.

解图⑤⑥如解图⑥，延长BG到点F，使得GF=BG，连接AF.

解图⑥二阶综合训练1.如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交CB的延长

线于点E，交AB于点F，若F是DE的中点，BF=3，则AF的长为

⁠.92.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，DE⊥AB

于点E，则

cos

∠BDE=

⁠.

3.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AC的中点，点E

在AB上，且∠BCE=45°，连接DE，则∠ADE的度数为

⁠.45°4.如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，F是AE的中

点，连接CF交BE于点G.

若CF=8，则FG的长为

⁠.45.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，AE=2DE=3，BE=5，CE=4，则△ABC的面积为

⁠.18【点拨】如解图，延长AD到点F，使DF=ED，连接CF，△BDE≌△CDF(SAS)，∴CF=BE，∴∠CEF=90°，S△ABC=2S△ADC.解图6.

在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转到AE的位置，使得∠DAE＋∠BAC=180°，连接BE，取BE的中点G，连接AG.

猜想AG与CD的数量关系，并证明.

解图①一题多解法

解图①解法二：如解图②，记AD与BE交于点F，延长AG到点M，使得GM=AG，连接ME.

∴∠ABG=∠MEG，AB=ME，∵AB=AC，∴AC=ME，设∠BAC=α，则∠DAE=180°－α，∴∠AFG＋∠AEG=α，第6题解图②解图②∵∠AFG=∠ABG＋∠BAD，∴∠ABG＋∠BAD＋∠AEG=α，∴∠MEG＋∠BAD＋∠AEG=α，∴∠MEG＋∠AEG=α－∠BAD，即∠AEM=α－∠BAD，又∵∠DAC=α－∠BAD，∴∠DAC=∠AEM，又∵AD=EA，∴△DAC≌△AEM(SAS)，∴CD=AM，第6题解图②解图②

∴∠ABG=∠MEG，AB=ME，∵AB=AC，∴AC=ME，设∠BAC=α，则∠DAE=180°－α，∴∠AFG＋∠AEG=α，∵∠AFG=∠ABG＋∠BAD，∴∠ABG＋∠BAD＋∠AEG=α，第6题解