（新教材）2026年沪科版八年级上册数学 15.4 等腰三角形 课件

（2026年新教材）沪科版初中数学八年级上册教学课件2026年新版八年级上册数学（沪科版）目录一览表

13.2命题与证明数学拓展

梅森素数小结·评价第14章

全等三角形14.1全等三角形及其性质14.2三角形全等的判定信息技术应用

判定三角形全等时为什么没有“SSA”小结·评价第15章

轴对称图形与等腰三角形15.1轴对称图形数学活动

画图信息技术应用

探究关于某条直线对称的两点坐标变化的规律15.2线段的垂直平分线15.3角的平分线15.4等腰三角形数学活动

剪纸小结·评价

综合与实践

绘制校园平面地图综合与实践

天安门广场的升旗时刻综合与实践

趋势统计图第11章

平面直角坐标系11.1平面内点的坐标数学拓展

确定台风中心位置数学史话

笛卡儿11.2图形在坐标系中的平移小结·评价

第12章

函数与一次函数12.1函数12.2一次函数12.3一次函数与二元一次方程小结·评价

第13章

三角形中的边角关系、命题与证明13.1三角形中的边角关系15.4等腰三角形第15章轴对称图形与等腰三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质定理1等腰三角形的性质定理2等腰三角形的判定等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质知识点等腰三角形的性质定理1知1－讲11.对称性等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴.知1－讲2.定理1等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”.几何语言：如图15.4-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.3.推论等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.知1－讲特别提醒1.适用条件：必须在同一个三角形中.2.等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.等边三角形任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角.知1－练例1如图15.4-2，等腰三角形ABC

中，AB=AC，∠A=40°．线段AB

的垂直平分线交AB

于点D，交AC

于点E，连接BE，则∠CBE

等于（）A.20° B.30°C.40° D.50°知1－练

解题秘方：紧扣“等边对等角”和线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理解题．答案：B知1－练1-1.[中考·内江]如图，在△ABC

中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为_______

.100°知1－练[中考·泰安]如图15.4-3，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C

分别落在直线l，m

上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（）A.45° B.39°C.29° D.21°例2知1－练解题秘方：根据平行线的性质和等腰三角形的性质定理1的推论，得出所求角与已知角之间的关系进行求解．知1－练解：∵l∥m，∴∠EBC+∠DCB=180°.∴∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°.∵△ABC

是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.又∵∠ABE=21°，∴21°+60°+60°+∠ACD=180°.∴∠ACD=39°．答案：B知1－练2-1.如图，将等边三角形APQ

的边PQ

向两边延长，使PB=QC=PQ，则∠BAC

的度数为（）A.120°B.110°C.100°D.90°A知2－讲知识点等腰三角形的性质定理22定理2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.简称“三线合一”.几何语言：如图15.4-4，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝DC)；(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC).知1－讲特别解读1.适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要依据.知2－练[期末·亳州]如图15.4-5，AD，CE

分别是△ABC

的中线和高．若AB=AC，∠ACE=32°，则∠BAD

的度数为()A.32°B.29°C.28°D.25°解题秘方：紧扣“三线合一”和三角形内角和定理解题．例3知2－练答案：B

知2－练3-1.如图，在△ABC

中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，则∠CDE的度数为(

)A.15°B.20°C.25°D.30°B知2－练[期末·北京]如图15.4-6，在△ABC

中，AB=AC，D

是BC

的中点，过A

作EF∥BC，且AE=AF.连接DE

交AB

于点G，连接DF

交AC

于点H.求证：(1)

DE=DF；(2)BG=CH.例4解题秘方：连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角的性质进行解答.知2－练知2－练求证：(1)DE＝DF；证明：如图15.4-6，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴

AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF，∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF，∴DE＝DF.知2－练(2)BG＝CH.证明：∵

DE＝DF，DA⊥EF，∴∠EDA＝∠FDA.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∴△BDG≌△CDH，(ASA)∴BG＝CH.知2－练4-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：DE＝DF.证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.知3－讲知识点等腰三角形的判定31.判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”.几何语言：如图15.4-7，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知3－讲2.等腰三角形的性质与判定的异同相同点使用的前提都是“在同一个三角形中”不同点等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等；等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等

知3－讲特别解读1.等腰三角形的定义也是一种判定方法.2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.知3－练如图15.4-8，在△ABC中，BD，AE分别是AC，BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC.求证：△ABD是等腰三角形.例5解题秘方：利用三角形全等即可得出BD＝AD，从而利用定义判定△ABD是等腰三角形.知3－练

知3－练5-1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE.求证：△ABC是等腰三角形.知3－练证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE＝CF，BE＝BF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF.(HL)∴AB＝CB，∴△ABC是等腰三角形.知3－练如图15.4-8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：△ACF为等腰三角形.例6知3－练解题秘方：根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质可以计算相关的角度.然后利用“等角对等边”证明.知3－练证明：∵

AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD.又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB.∴DE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF＝72°，知3－练∴∠FAC＝∠BAF－∠BAC＝36°.又∵∠ACB＝∠FAC＋∠AFC＝72°，∴∠AFC＝36°，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∴△ACF为等腰三角形.顶角是36°的等腰三角形是“黄金”三角形，底角平分线分原三角形成两个等腰三角形.知3－练6-1.如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R.若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形.知3－练证明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPC＝∠QPB＝90°.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.知4－讲知识点等边三角形的判定41.推论1三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图15.4-10，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形.知4－讲2.推论2有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图15.4-10，在△ABC

中，∵

AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等边三角形.知4－讲证明等边三角形的思维导图：三角形思路1：三边相等思路2：三角相等等边三角形等腰三角形的判定等腰三角形有一个角等于60°知4－讲特别解读1.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，推论2都成立.2.等边三角形的判定方法：(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；(2)若已知三角关系，一般选用推论1判定；(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用推论2判定.知4－练如图15.4-11，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AF为BC边上的中线，D为AF上的一点且BD的垂直平分线过点C并交BD于点E.求证：△BCD是等边三角形.例7知4－练解题秘方：根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可推出BD＝DC＝BC，再利用等边三角形的定义得出结论.证明：∵AB＝AC，AF为BC边上的中线，∴AF⊥BC，∴AF是BC的垂直平分线.又∵D为AF上的一点，∴BD＝DC.∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD.∴BD＝DC＝BC.∴△BCD是等边三角形.知4－练知4－练7-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形.知4－练证明：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°.在Rt△ADE和Rt△BDF中，∵AD＝BD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△BDF.(HL)∴∠A＝∠B，∴AC＝CB.又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形.知4－练如图15.4-12，在△ABC中，D为BC延长线上的一点，∠A＝60°，∠ACD＝120°.求证：△ABC是等边三角形.例8知4－练解题秘方：根据所给的角度求出△ABC的内角度数，然后根据等边三角形的判定方法进行判定.证明：∵∠ACD＝120°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝180°－120°＝60°.又∵∠A＝60°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形.知4－练知4－练8-1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上，且AE＝BE，AD＝CD.(1)求∠EAD的度数；知4－练解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AE＝BE，AD＝CD，∴∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°.∵∠BAC＝120°，∴∠DAE＝∠BAC－∠EAB－∠DAC＝120°－30°－30°＝60°.知4－练(2)求证：△ADE是等边三角形.证明：∵∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°，∴∠AED＝∠B＋∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C＋∠DAC＝60°，∴∠EAD＝∠AED＝∠ADE，∴△ADE是等边三角形.知4－练如图15.4-13，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形.例9知4－练解题秘方：先证△BDE≌△CDF，然后由等边三角形的判定定理证明△DEF是等边三角形.

知4－练知4－练9-1.如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点.在△ABC的外角的平分线CE上取点E，使CE＝BD，连接AD，AE，DE.请判断△ADE的形状，并说明理由.知4－练知4－练又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE.(SAS)∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形.知5－讲知识点含30°角的直角三角形的性质5

知5－讲特别解读应用此性质，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°.二者缺一不可.知5－练如图15.4-15，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4cm，求BN的长.例10解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，