2025年大学大二（统计学）数理统计学基础测试题及答案

2025年大学大二（统计学）数理统计学基础测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内。(总共6题，每题5分)w1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，则样本均值X̅服从的分布是（）A.N(μ,σ²/n)B.N(μ,σ²)C.N(0,1)D.N(nμ,nσ²)w2.设X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，且E(X)=μ，D(X)=σ²，则样本方差S²是总体方差σ²的（）A.无偏估计量B.有偏估计量C.一致估计量D.相合估计量w3.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则样本均值X̅的数学期望E(X̅)为（）A.λB.λ/nC.nλD.λ²w4.设总体X服从正态分布N(0,1)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则∑ᵢ₌₁ⁿXᵢ²服从的分布是（）A.N(0,1)B.χ²(n)C.t(n)D.F(n,1)w5.在假设检验中，显著性水平α是指（）A.原假设H₀为真时，拒绝H₀的概率B.原假设H₀为假时，接受H₀的概率C.原假设H₀为真时，接受H₀的概率D.原假设H₀为假时，拒绝H₀的概率w6.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，已知样本容量n=16，样本均值X̅=50，样本标准差S=1，则总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为（）A.(49.51,50.49)B.(49.48,50.52)C.(49.45,50.55)D.(49.42,50.58)第II卷（非选择题共70分）w7.（10分）简述中心极限定理的内容。w8.（15分）设总体X的概率密度为f(x)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。w9.（15分）某工厂生产的某种产品的质量指标X服从正态分布N(μ,σ²)，现从该产品中随机抽取25件，测得样本均值X̅=16，样本方差S²=0.09。（1）求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间；（2）在显著性水平α=0.05下，检验该产品的质量指标是否符合标准μ₀=16.5。（已知t₀.₀₂₅(24)=2.064，χ²₀.₀₂₅(24)=39.364，χ²₀.₉₇₅(24)=12.401）w10.（15分）为了研究某种药物对小白鼠体重增长的影响，将20只小白鼠随机分为两组，一组为实验组，一组为对照组。实验组注射该药物，对照组不注射。经过一段时间后，测量两组小白鼠的体重增加量（单位：g），数据如下：实验组：12.5,13.2,11.8,12.0,12.8,13.5,12.6,12.4,12.7,13.⑴对照组：10.2,10.5,10.8,11.0,11.2,11.5,11.8,12.0,12.2,12.5（1）分别计算两组数据的均值和方差；（2）在显著性水平α=0.05下，检验该药物对小白鼠体重增长是否有显著影响。（已知t₀.₀₂₅(18)=2.101）w11.（15分）设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，Y₁=a₁X₁+b₁，Y₂=a₂X₂+b₂，…，Yₙ=aₙXₙ+bₙ，其中aᵢ,bᵢ为常数，i=1,2,…,n。（1）求Y₁,Y₂,…,Yₙ的均值和方差；（2）若Y₁,Y₂,…,Yₙ相互独立，证明：∑ᵢ₌₁ⁿ(Yᵢ-μᵢ)²/σ²服从χ²(n)分布，其中μᵢ=E(Yᵢ)。答案：w1.Aw2.Aw3.Aw4.Bw5.Aw6.Bw7.设从均值为μ、方差为σ²（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值X̅的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ²/n的正态分布。w8.矩估计量：E(X)=∫₀¹xθx^(θ-1)dx=θ/(θ+1)，令X̅=θ/(θ+1)，解得θ=X̅/(1-X̅)，所以θ的矩估计量为θ̂=X̅/(1-X̅)。极大似然估计量：L(θ)=∏ᵢ₌₁ⁿθxᵢ^(θ-1)=θⁿ(∏ᵢ₌₁ⁿxᵢ)^(θ-1)，取对数lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)∑ᵢ₌₁ⁿlnxᵢ，求导并令导数为0，解得θ̂=-n/∑ᵢ₌₁ⁿlnxᵢ。w9.（1）n=25，X̅=16，S²=0.09，S=0.3，t₀.₀₂₅(24)=2.064，置信区间为(X̅-t₀.₀₂₅(24)S/√n,X̅+t₀.₀₂₅(24)S/√n)=(16-2.064×0.3/√25,16+2.064×0.3/√25)=(15.876,16.124)。（2）H₀:μ=16.5，H₁:μ≠16.。t=(X̅-μ₀)/(S/√n)=(16-16.5)/(0.3/√25)=-8.333，|t|=8.333>t₀.₀₂₅(24)=2.064，拒绝H₀，该产品质量指标不符合标准。w10.（1）实验组均值X̅₁=12.6，方差S₁²=0.264；对照组均值X̅₂=11.4，方差S₂²=0.304。（2）H₀:μ₁=μ₂，H₁:μ₁≠μ₂。S_w²=(9×0.264+9×0.304)/(10+10-2)=0.284，t=(X̅₁-X̅₂)/√(S_w²(1/10+1/10))=(12.6-11.4)/√(0.284×0.2)=√(1.2²/0.0568)≈4.92，|t|=4.92>t₀.₀₂₅(18)=2.101，拒绝H₀，该药物对小白鼠体重增长有显著影响。w11.(1)E(Yᵢ)=aᵢμ+bᵢ，D(Yᵢ)=aᵢ²σ²。(2)因为Yᵢ服从正态分布N(aᵢμ+bᵢ,aᵢ²σ²)，且Y₁,Y₂,…,Yₙ相互独立，