期末重难点真题特训之压轴满分题型（64题15个考点）专练（学生版）-苏科版(2024)七上

期末重难点真题特训之压轴满分题型（64题15个考点）专练【精选最新考试题型专训】压轴满分题一、数轴上动点问题1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6．【问题提出】（1）点表示的数是________，点表示的数是________；【问题探究】（2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数；【问题解决】（3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离．2．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足．(1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________；(3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解：若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点．(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”）(2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为AB，即当时，我们称点是【，】的美好点．例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离AD是，到点的距离BD是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．(1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______．(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？压轴满分题二、绝对值的几何意义5．（24-25七年级上·四川眉山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______．(4)当______时，的值最小，最小值是______．6．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．利用数轴探究下列问题：(1)的最小值是_____，此时的取值范围______；(2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____；(3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．7．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为．【问题解决】（1）表示数轴上数与（填数字）之间的距离；（2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则（用含的代数式表示）；【关联运用】（3）运用一：若，则x的值为；（4）运用二：代数式的最小值为；（5）运用三：代数式的最大值为；（6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．(1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______；【问题探究】(2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？【拓展延伸】(3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由．压轴满分题三、有理数的新定义运算9．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：．(1)计算：____________．(2)若，则____________．(3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）．10．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，．(1)探究性质：①例：_____；_____②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律：当时，_____当时，_____．(2)性质应用：①运用发现的规律求的值：②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____．11．（24-25七年级上·北京·期中）定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组．例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组．(1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数．(2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数．(3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________．12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）定义“*”运算：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．据此回答下列问题：(1)计算：①；②；(2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）；(3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：）压轴满分题四、整式加减的应用13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等．(1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵；(2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理；(3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可）14．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为．（1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数．问题的拓展：（2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值；（3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算．延伸与运用：（4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果）15．（2024七年级上·全国·专题练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：每月用水量单价不超出的部分元超出不超出的部分元超出的部分元例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）．(1)若该户居民月份用水，则应收水费元．(2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简）(3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？16．（24-25七年级上·广东江门·期中）数学活动−−探究日历中的数字规律如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．

(1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______；(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．解：设，则，，______．所以，（______）______(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题．A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由．B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由．压轴满分题五、整式加减的规律性探索17．（23-24七年级上·福建三明·期中）【阅读】，将这三个等式的两边相加，则得到．【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：；【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：；【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：．18．（24-25七年级上·四川内江·期中）数学问题的分析、解决离不开其中蕴含的思想与方法，思想与方法可以说是数学的“灵魂”．整体思想就是一个很重要的数学思想．【案例学习】计算的值．分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题．解：设，①则得，②②①得：，，，即．【实践操作】(1)计算的值；【迁移拓展】(2)观察分析，该算式中第56个加数为（直接写出结果）；(3)计算的值；【灵活运用】(4)现有一机器跳蚤从原点出发，沿着数轴正方向按如下指令前进：第1次前进个单位长度，第2次前进个单位长度，第3次前进个单位长度依此类推，每一次前进的长度是上次长度的一半．试判断该跳蚤第50次前进后，能否到达该数轴表示数1的点处？若能，请说明理由；若不能，用自己的语言描述该跳蚤在何处？19．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；【规律发现】（）第个图案有______个正方形；（）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形；【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由．20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手：探究一：以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成个互不重叠的小三角形．探究二：以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：（1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）；（2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）．显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成个互不重叠的小三角形．探究三：长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成个互不重叠的小三角形．【问题解决】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成个互不重叠的小三角形．【实际应用】以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成个互不重叠的小三角形．【拓展延伸】以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成个互不重叠的小三角形．压轴满分题六、一元一次方程解的拓展问题21．（2024七年级上·全国·专题练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；(2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；(3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值．22．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则；(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值；(3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）；②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为．23．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”）“天心方程”．(2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______．(3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值．(4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值．24．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径．(1)按照图1所示的途径，填写图2内空格．①；②．(2)已知关于x的方程+c＝的解是x=1或x=2（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）．压轴满分题七、一元一次方程的实际应用25．（24-25七年级上·全国·期末）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元．(1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元．(2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量．(3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下：高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度；低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度．英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？27．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动到E点需要秒，此时点Q对应的数是；(2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少?(3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值．28．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.4化为分数形式．由于，设，①则，②得，解得，于是．同理可得：．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）_______，________；（2）将化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）______，_______；（注：）【探索发现】（4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）；②若已知，则_______．（注：）压轴满分题八、走进集合世界压轴题29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读与思考下面是小轩同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．多面体欧拉公式欧拉是著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式．表格列出上面四个多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）多面体编号顶点数（）面数（）棱数（）任务：(1)表格空白处填_____，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在的关系式是_____(2)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有棱条．若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数．(3)小轩同学尝试切去正方体一块后（用平面截取），得不到有条棱的多面体．如果能切出有条棱的多面体，最少需切去几块，如果不能切出有条棱的多面体，请说明理由．(4)年诺贝尔奖授予对有重大发现的三位科学家．如图，是由个原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状．这个多面体有个顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形．按照结构，数学家构造出顶点数为的多面体，称为“”多面体，探究发现，当“”多面体的面数增多时，“”多面体的六边形面数也会增多，你能解释其中的道理吗？30．（24-25七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动．操作探究：(1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____；(2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积．(3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______．31．（24-25六年级上·山东威海·期中）将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体．(1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”）(2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全；(3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？32．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．【知识准备】（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号）【实践探索】（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）；②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____．【实践分析】（3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．压轴满分题九、直线、射线、线段压轴33．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”．(1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）；(2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______；(3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值．34．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．

(1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则；(2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒．①当t为何值时，点C是线段的三等分点②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度．35．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用表示A、B两点的距离，表示、两点的距离，且，点A、点对应的数是分别是a、c，且．(1)______，______，B、C两点间距离______．(2)若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了______秒时，到的距离与到的距离相等?(3)若点P、Q仍然以（2）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，2秒后，动点从点出发向右运动，点的速度为1个单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点运动了______秒时恰好满足，并求出此时点所对应的数______．36．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．压轴满分题十、动角计算37．（23-24七年级上·福建三明·期中）将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，．(1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数；(2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线．①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数．②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小．38．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究探索新知：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．（1）一个角的平分线______________这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；（2）若，且射线是的“巧分线”，则______________（用含的代数式表示）；深入研究：如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转，设三角板运动时间为秒．请直接写出当是的“巧分线”时的值．39．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）探究与实践将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧：【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则①__________；②__________．【问题探究】（2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）．【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．40．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒．(1)若，，秒时，________°；(2)如图2，在运动过程中，射线始终平分．①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出秒；（写出一个即可）②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系．压轴满分题十一、几何问题中角的计算41．（24-25七年级上·全国·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点．①若，则；②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值．（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，求度．②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系．（3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数．42．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，即，n为射线与的“分割值”，记为．例如，如图1，，，则，即，反之，则．(1)如图2，射线在的内部．①若射线是的平分线，则______．②若，，则______．(2)如图3，，，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，同时，射线从位置开始，绕点D按逆时针方向匀速旋转，到达立即原速返回，当到达时，也停止运动．设旋转的时间为t秒．①若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒，若，求t的值；②若当到达时，也恰好回到，若设，请直接用含m的代数式表示的度数．43．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题提出】如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系．【问题探究】（1）先将问题特殊化．如图2，若，．①直接写出=______，=______；②直接写出的值．（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立．【问题拓展】（3）已知，在的外部，平分，平分，且．①如图3，求的度数；②如图4，直接写出的度数．44．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究【特例感知】（1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则______．【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，求的度数．②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）【类比探究】如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示）压轴满分题十二、相交线压轴45．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，．(1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数；(2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系．46．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得．(1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）；(2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数；(3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数．47．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，．（1）在图中，的度数为______．问题探究（2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值．问题解决（3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．48．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线与直线交点O，，平分．(1)如图1，求证：平分；(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．压轴满分题十三、平行线的判定与性质压轴49．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点是外一点，过点作交于点，以DE为边作．(1)若，则与的关系是；(2)若与直线交于点（点不与点重合），写出三者之间的数量关系，画出相应的图形，并对其中的一种进行证明．50．（21-22七年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，．(1)____（填“”“”或“=”）．(2)如图2，的平分线交直线于点O．①当时，求α的度数．②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）．51．（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）已知直线，点和点分别在直线AB和CD上，点在直线之间，连接．(1)如图，若，，则；(2)如图，若点是直线CD下方一点，连接与直线CD交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？(3)如图，连接，点在点右侧且在直线CD上，过点在CD下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值．52．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）．(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________．(2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由；(3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合．①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________；②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________．压轴满分题十四、平行模型53．（22-23七年级下·湖北宜昌·期末）已知．(1)如图1，点B为直线和之间一点，于B，直接写出与关系；(2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，直线与直线、分别交于E、F两点，若、分别平分、，且，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时旋转t秒，当t为何值时，射线．54．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、．(1)如图①，求证：(2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数．(3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___．55．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：CD，点E、F分别在AB、CD上，M为AB与CD之间一点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数；(3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为．56．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，．(1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由；(2)已知．①如图2，若，求的度数；②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系．压轴满分题十五、江苏地区期末压轴题汇总57．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的祁美点．例如，图1中，点表示的数分别为，4，2，0，此时，，则点是的祁美点，点是的祁美点．(1)如图2，数轴上点，表示的数分别为，6，若点是的祁美点，则点表示的数是；若点是的祁美点，则点表示的数是；(2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为6个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以3单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒，①从B运动到C的过程中，点P表示的数是，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是；（用含t的代数式表示）②求使得点C是的祁美点的值；若不存在，请说明理由．58．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度；③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度．前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)：第一局第二局第三局…甲的手势石头剪刀石头…乙的手势石头布布…(1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距个单位长度；(2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为．(3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出．59．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）材料一：杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列是意大利数学家菜昂纳多—斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数）．结合材料，回答以下问题：(1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：________；(2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，10，…记，，，，…则________；________（用表示）：________．(3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用表示）．60．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示：停车时段收费方式白天8元/小时夜间4元1小时备注1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费；2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费；3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费；4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费．(1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元；(2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元；(3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？(4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值．61．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）阅读理解对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度（是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中），并把，这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作．如图：原点表示数，原点关于的对称数组是．(1)如果点表示数，那么点关于的对称数组是；(2)如果，那么点表示的数是______，的值是______；(3)如果点表示数，，则的值是______；(4)如果点、是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，且点的速度是点速度的倍，当时，点表示的数是______．62．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料：数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A与点B之间的距离可以用表示．若点A在点B右侧，则；若点B在点A右侧，则；若点A与点B重合，则．解决问题：如图，点O是数轴的原点，点A，B，M分别表示数a，b，m，其中．(1)当a、b满足时，①__________，__________，__________，②若点B不动，当点A运动时，点M也随之运动，点A从原来位置沿数轴向右运动到与原点O重合时停止运动，则在此过程中，点M运动的路径总长为__________；(2)若，，求b的值；(3)当，时，点A，B分别以每秒3个单位长度，每秒个单位长度的速度，同时沿数轴向左运动，运动时间为t秒，当点A，B重合时他们都停止运动．在点A，B运动时，点M也随之运动，且使得点A，M之间的距离保持不变，求x及的值．63．（24-25七年级上·江苏南京·期中）n阶长方形操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）．思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和．(1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比．(2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值．(3)从以下问题中任选一个作答：①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？②图3中“”“”…是必然的，解释其中道理．③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？64．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任一点P，把与点P相距a个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是．(1)点A表示的数为，则________；(2)如果，那么P表示的数是________，a的值是________；(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离．1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）若，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或2．（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．20243．（24-25七年级上·山东济南·期中）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则所代表的数是（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线AB上一点，为直角，CF平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．45．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，-2的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是（

）A． B． C． D．6．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向