期末压轴满分题型（22大题型）（高效培优期末专项训练）（解析版）-苏科版(2024)七上

期末压轴满分题型汇总（22大题型）考点01数轴上的动点问题压轴考点02绝对值的几何意义压轴考点03有理数混合运算的实际应用考点04有理数的新定义问题考点05数字类、图形类规律探究考点06整式加减运算压轴考点07整式加减的无关型问题考点08整式加减的应用考点09整式加减的新定义问题考点10一元一次方程的含参问题考点11一元一次方程的实际应用考点12一元一次方程的新定义问题考点13走进几何世界压轴题考点14直线、射线、线段压轴考点15线段的和差压轴考点16线段中点计算考点17几何图形角度计算压轴考点18三角板中角度计算压轴考点19角平分线计算压轴考点20余角和补角相关压轴考点21平行线的判定与性质考点22平行模型压轴考点01数轴上的动点问题压轴1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．(1)a=，b=，c=；(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数对应的点重合；(3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．①求t为何值时，点P到点B的距离是5；②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值．【答案】(1)，，9(2)7(3)①2.5或7.5；②或【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，．（2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可．（3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在B点右侧时和P点在B点左侧时，分别计算即可．②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可．【详解】（1）解：∵b是最大的负整数，∴，∵，∴，，∴，，故答案为：，，9．（2）解：设点B与数x表示的点对应，则，解得，故答案为：7．（3）解：①情况1：P点在B点右侧时，，解得；情况2：P点在B点左侧时，，解得．综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5．②由题意得，整理得，∴或，解得或．∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或．【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键．2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是．【答案】60【分析】本题主要考查利用数轴探求规律的问题，可以结合每次移动的距离得到序数相邻的两个点之间的距离，由最简单的开始分析可得规律；根据点的每次移动的方向和移动的距离，可以得到则；；；；；根据每次数字的变化规律，可以得到这个距离是3的倍数，即字母的最大序数乘以3，由此可以得到的长度.【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则；第2次从点向右移动6个单位长度至点，则；第3次从点向左移动9个单位长度至点，则；第4次从点向右移动12个单位长度至点，则；第5次从点向左移动15个单位长度至点，则；……所以第20次移动后得：.故答案为：60.3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动：①求15秒后动点P与点B之间的距离；②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)A：，B：，C：4(2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点；（1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案；（2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案；②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案；【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位，∴点表示的数为，再向右移7个单位，∴点表示的数为，、C两点间距离为，∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为，∴点表示的数为，即A：，B：，C：4；（2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为，∵表示的数为4，∴表示的数为：，又B表示的数为，∴点P与点B之间的距离为1，动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，则，，当时，，当时，解得，，当时，，当时，解得，，当时，，当时，解得，，所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变．4．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：(1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合；(2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______；(3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度；【答案】(1)3(2)，4.5(3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离．（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；（2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解；（3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合；故答案为：3；（2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合，∴对称中心是数对应的点，∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧），∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边，∴点对应的数为，点对应的数为，故答案为：，4.5；（3）解：根据题意，，点对应的数为，，解得：，答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度．考点02绝对值的几何意义压轴5．（25-26七年级上·江苏无锡镇江·月考）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是；【独立思考】（2）试用数轴探究：当时，m的值为；（3）利用数轴，求出当时x的值；【实践探究】（4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄【答案】（1）7，11；（2）7或；（3）4或；（4）小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，数轴上两点距离的表示方法：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离；（1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是；（2）表示m到2的距离为5，结合数轴即可得出结果；（3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，结合数轴即可得出结果；（4）利用爷爷和小明之间年龄差不变，结合数轴即可得出结果.【详解】解：（1）∵，∴数轴上表示2和9两点之间的距离是7，∵，∴数轴上表示5和的两点之间的距离是11.故答案为：7，11.（2）表示m到2的距离为5，如图所示：∵，∴或，∴或，∴到2的距离为5的数是7或，故m的值为7或.（3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，如图所示：①当时，，即，解得：②当时，，即，∵不成立，∴当时不成立，③当时，，即，解得：综上：x的值为4或.（4）画出数轴如图所示：小明现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C则当点C移动到点B时，点B移动到了点A，当点B移动到点C时，点C移动到了点D，∵爷爷和小明之间年龄差不变，即在数轴上两点之间距离不变，∴，又∵爷爷说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁”∴点A表示，点D，表示98，∴，∴（岁），（岁），即小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁.6．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题：(1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________；②在①的情况下，如果，那么为____________；(2)探究问题：代数式的最小值是多少？如图，点A、B、P分别表示数，的几何意义是线段与的长度之和，∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是3．请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：①直接写出式子的最小值是____________；②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米；(3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．【答案】(1)①；②5或；(2)①2；②C，12；(3)1或4.6．【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离：（1）①根据两点间距离公式可得结论；②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解；（2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12；（3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案．【详解】（1）解：①，故答案为：；②由于，则，即或，解得：或，故答案为：5或；（2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点，则，当点P与点N重合时，，则，当点P在线段上且不与N重合时，，则；当点P在线段上且不与N重合时，，则；当点P在点M的右边或在点O的左边时，或，则，∴的最小值为2；故答案为：2；②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，，根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值；当点P在线段上（不与点C重合）时，，则，即；同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有；综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12；故答案为：C；12；（3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为，∵，∴，即或，解得：或，故t的值为1或4.6．7．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________，数轴上表示3和的两点的距离是_________，数轴上表示和4的两点之间的距离是____________，数轴上表示和的两点之间的距离是____________；(2)写出时的取值范围是_______________；(3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值．【答案】(1)4，，，；(2)；(3)取值范围为，最小值为．【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式．（1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案；（2）当、、时，分别讨论求解即可；（3）表示的几何意义，数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，即可解决问题．【详解】（1）解：∵两点之间的距离为：．∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是，数轴上表示3和的两点之间的距离是，数轴上表示和4的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是．故答案为：4，，，；（2）解：当时，；当时，；当时，．∴当代数式时，的取值范围是，故答案为：．（3）解：∵表示的几何意义是：数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，∴当时，代数式取最小值，最小值为．8．（25-26七年级上·江苏·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即．根据以上思想，完成下题问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．（1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______；（2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______；（3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______；实际应用：（4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3．拓展提升：（5）若数，满足，求的最小值．【答案】（1）8

（2）8

（3）（4）7或9秒

（5）【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键．（1）根据两点之间距离的定义求解；（2）根据绝对值的性质求解；（3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解；（4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可；（5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解．【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：，故答案为：8；（2）解：数轴上表示数的点位于与5之间，，，故答案为：8；（3）解：表示数到点1与3的距离之和，当时，取最小值，故答案为：；（4）解：设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，则，整理得，解得或，故当为7或9秒时，，之间的距离为3；（5）解：表示数到点1与3的距离之和，当时，取得最小值；表示数到点4与的距离之和，当时，取得最小值，此时，的最小值为1，的最小值为，的最小值为：，故答案为：．考点03有理数混合运算的实际应用9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负）星期一二三四五六日产量/个(1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个；(2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额；(3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据．星期一二三四五六日产量/个…………？…【答案】(1)，(2)元(3)【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用．解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，按照题意的要求计算即可．（１）根据正负数的实际意义，进行有理数的大小比较即可；（２）先计算每天的工资，再相加即可求解；（３）根据题意计算差值即可．【详解】（1）解：，日实际产量最多为：（个），日实际产量最少为：（个）．故答案为：，．（2）解：由题意得，该厂这一周发放的工资总额为：（元）．答：该厂这一周发放的工资总额为元．（3）解：由题意得，，“？”处的数据为：．10．（25-26七年级上·江苏·期中）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园．出行方式等待上车时间（分钟）速度（千米/小时）费用出租车230不超过3千米超过3千米部分10元里程费：2元/千米时长费：元/分钟公交专线320票价共3元便民自行车015每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算步行050元(1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？(2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家；①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由；②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间．【答案】(1)分钟(2)①小明不能按照计划到家并支付费用；②先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里，最少时间18分钟，费用14元；【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键．（1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算；（2）①根据收费标准计算；②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解．【详解】（1）解：（分钟），答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟；（2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用，理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：，所需要的费用为：（元，，小明不能按照计划到家并支付费用；②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里；乘坐出租车时间：（分钟）乘坐出租车费用：（元）乘骑便民自行车时间：（分钟）乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元．总费用：（元）总时间：（分钟）11．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动．套餐内容价格（元）优惠活动套餐A1张电影票桶爆米花60消费满300元，减25元消费满600元，减60元套餐B1张电影票桶爆米花张主题纪念币70若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（

）元．A．530 B．540 C．550 D．590【答案】B【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，至少需要5份套餐B以满足5个纪念币需求，但通过调整购买组合使总金额达到600元可享受更优惠的满减，从而最小化支付金额．【详解】解：∵需要5个纪念币，∴至少购买5份套餐B，若购买5份套餐B和5张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元，若购买6份套餐B和4张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元，若购买5份套餐B、2份套餐A和3张单票：总金额元，优惠后为元，∵一份套餐B的费用>一份套餐B的费用>一张单票的费用，∴其他所有满足要求的买法，最终的总费用一定超过上述情况的花费，∵，∴最少支付540元，故选：B．12．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度；③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度．前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）第一局第二局第三局第四局．．．甲的手势石头剪刀石头布．．．乙的手势石头布布．．．(1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为___________，乙在数轴上对应的数为___________；(2)从初始位置开始，若前五局游戏中，甲一平两胜，这五局结束后，乙离原点的距离为___________；(3)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？(4)从初始位置开始，若进行了（为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出的值．【答案】(1)；5(2)(3)乙第四局的手势是布，此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度(4)7或5【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算：（1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论；（2）根据题意可得五局游戏中，甲一平两胜两负，则乙一平两胜两负，结合游戏规则列式计算即可；（3）从前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则分别计算出前三局结束后甲、乙表示的数，再根据第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，可得第四局游戏为平局，据此可得第四局乙的手势和第四局结合后甲、乙表示的数，进而可求出二者的距离；（4）根据规则可以推出甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度，再由最终甲与乙的位置相距2个单位长度，得到共需缩小个单位长度或个单位长度，据此可得答案．【详解】（1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局，则甲向东移动个单位长度到，乙向西移动个单位长度到；第一局结束后甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为；故答案为：；5；（2）解：∵前五局游戏中，甲一平两胜，∴五局游戏中，甲一平两胜两负，∴乙一平两胜两负，此时，乙离原点的距离为，故答案为：；（3）解：从前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则三局之后甲对应的数为：，乙对应的数为：，∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度，∴第四局游戏为平局，∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为，∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度，答：乙第四局的手势是布，此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度；（4）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度，若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度，若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度，若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度，若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度，甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度，最终甲与乙的位置相距2个单位长度，共需缩小个单位长度或个单位长度，，，的值为7或5．考点04有理数的新定义问题13．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：，．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．(1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）．①，；②，．(2)计算：；(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：．【答案】(1)①(2)(3)【分析】本题考查有理数的四则混合运算，理解新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键．（1）直接按新运算计算后判定即可；（2）先按新运算计算，再算加减法；（3）根据，把原式转化为分数加减法，由互为相反数相加为零，据此求解．【详解】（1）解：①，，，∵，∴和是“隔一数对”；②，，∵，∴和不是“隔一数对”；故答案为：①；（2）解：；（3）解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”，∴，，，，，∴．14．（25-26七年级上·江苏·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2．(1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________；(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？【答案】(1)G，或(2)，，3，，9，【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件，故答案是：．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．故答案为：或；（2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况，第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图，当时，，点P对应的数为，因此秒；第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2，当时，，点对应的数为，因此秒；第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3，当时，，点对应的数为，因此秒；第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4，当时，，点对应的数为，因此秒；第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5，当时，，点对应的数为，因此秒；第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图，当时，，因此秒；第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，当时，，因此秒，第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧，当时，，因此秒，综上所述，的值为：，，3，，9，．15．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离．例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6．给出定义：数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和称为与的“关联距离”．例如，为与的“关联距离”，为与1，2，的“关联距离”．(1)若，则的值为；(2)若与1，的“关联距离”为3，满足条件的的非负整数值是；(3)若与1，的“关联距离”为5，的值是；(4)“关联距离”的最小值是，此时的值是．【答案】(1)或(2)0和1(3)或2(4)6；【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上的两点距离计算，正确理解题意是解题的关键．（1），表示的是数轴上表示数x的点到表示数的距离为3，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可；（2）设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则；，再讨论点A的位置，进而表示出，从而确定x的取值范围即可得到答案；（3）由（2）可得当点A在点B左侧时，，当点A在点B右侧时，，据此求出或的长即可得到答案；（4）根据（2）和绝对值的非负性可证明当时，和能同时取得最小值，据此可得答案．【详解】（1）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数的距离为3，∴当数x在数的左侧时，，当数x在数的右侧时，，∴x的值为或；（2）解：∵与1，的“关联距离”为3，∴；设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则；∴，当点A在点B左侧时，则，不符合题意；当点A在点B和点C之间时（包含点B和点C），则，符合题意；当点A在点B右侧时，则，不符合题意；综上所述，当点A在点B和点C之间时，∴，∴满足条件的的非负整数值是0和1；（3）解：由设数轴上点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，∴由（2）可得当点A在点B左侧时，，∴，∴；当点A在点B右侧时，，∴，∴；综上所述，x的值为或2；（4）解：同理可得当时，有最小值，最小值为，∵，∴当时，有最小值，最小值为0，∴当时，和能同时取得最小值，∴当时，有最小值，最小值为．16．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80．(1)则点之间的距离为___________；(2)求线段的“理想点”所对应的数；(3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？【答案】(1)90(2)所对应的数是20或50；(3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53．【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键．（1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可．（2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可．（3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可．【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80，∴，∴点之间的距离是90；故答案为：90；（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，当时，，∵点对应的数为，∴所对应的数为20；当时，，∵点对应的数为，∴所对应的数为50；∴线段的“理想点”所对应的数是20或50；（3）解：∵三条纸条的长度之比为，，∴，∴三条纸条的长度为18，18，54，①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图：则折痕到的长度是，∵点对应的数为，∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图：则折痕到的长度是，∵点对应的数为，∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图：则折痕到的长度是，∵点对应的数为，∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53．考点05数字类、图形类规律探究17．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）观察等式：，，，…，已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，若，用含的代数式表示这组数的和是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了数字类规律的探索，有理数的乘方运算，解题的关键是找出运算规律．通过观察等式规律，将给定数列的和提取公因式后进行整理，代入已知条件化简即可．【详解】解：∵，∴和，根据示例得，，∴，故选：B．18．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）观察下列两行数：，4，，16，，64，①，6，，20，，70，②根据你的观察发现和归纳，解决下列问题：(1)第①行数的第10个数为________，第②行数的第10个数为________；(2)取每行数的第2025个数，求这两个数的和；(3)按一定规律排列的多项式：，，，，…，类比前面两行数规律的探究方法，则这列多项式的第n个多项式是________________．【答案】(1)1024，1034(2)(3)【分析】本题考查了数字规律探究，乘方运算，代数式求值及符号规律分析．（1）先分别观察第①行数的规律和第②行数的规律，再得出结果；（2）先根据第①行数和第②行数的规律分别求出第2025个数，再将这两个数相加；（3）分别分析多项式中a的次数、符号以及b的次数、符号的规律，进而得出第n个多项式的表达式．【详解】（1）解：第①行数的第10个数为，第②行数的第10个数为，故答案为：1024，1034．（2）解：∵第①行数的规律为，∴第①行数的第2025个数为，又∵第②行数的规律为，∴第②行数的第2025个数为，∴这两个数的和为．（3）解：观察多项式中a的次数发现：第1个多项式中a的次数是1，第2个多项式中a的次数是2，第3个多项式中a的次数是3，第4个多项式中a的次数是4，……由此归纳出，第n个多项式中a的次数是n；观察多项式中a的符号，发现每个多项式中的a的符号都是正号，∴第n个多项式中a的符号为正，表示为，观察多项式中b的次数发现：第1个多项式中b的次数是，第2个多项式中b的次数是，第3个多项式中b的次数是，第4个多项式中b的次数是，……由此归纳出，第n个多项式中b的次数为；观察多项式中b的符号，当n为奇数时，b的符号为正，当n为偶数时，b的符号为负，∴第n个多项式中b的部分可表示为，∴第n个多项式的表达式为，故答案为：．19．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【综合实践】数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法．这种数形结合的方法称为图解法．探究：计算．如图，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；(1)求第3次分割后空白部分的面积为_____；(2)根据第6次分割图可得：因为_____所以_____(3)运用以上的图解法计算：【答案】(1)(2)或；或(3)【分析】本题考查图形类规律探究，根据图形的面积求解即可．（1）根据每分割一次剩余空白部分面积就乘以求解即可；（2）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为，求解即可；（3）根据第次分割图得规律求解即可．【详解】（1）第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为，空白部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为，故答案为：；（2）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为，∴，因此．故答案为：或；或；（3）根据第n次分割图可得：阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为，∴，因此，故答案为：．20．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，大正方形的边长是4米，第一次将其均分为两个长方形，得到一个长方形1，第二次将第一次分割后剩下的部分再平均分，得到一个正方形2，按照这个方法一直分下去，直至得到正方形6．(1)将图形1至6的面积分别记作至，求的值；(2)《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．结合图形，则________．(3)请运用上述方法，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了有理数的运算，图形的规律等知识，发现图形的变化规律是解题关键．（1）分别求出至的值，即可计算求解；（2）根据（1）的规律可得可以看成求至的和，即面积为1的正方形减去面积为的面积，从而求解；（3）设，得到，则，错位相减即可求解．【详解】（1）解：由题意得，，，…，，所以；（2）解：．故答案为：；（3）解：设，所以，．考点06整式加减运算压轴21．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）已知，则（

）A． B．16 C．32 D．【答案】A【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，代入特殊值是解答的关键．通过代入特殊值和到等式中，得到两个方程，相加后消去奇次项系数，直接求出．【详解】解：∵，∴当时，，当时，，将两式相加，得∴．故选：A．22．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于的代数式：，，且代数式．(1)当时，化简代数式(2)若代数式是关于的一次多项式，求的值；(3)已知，求下列代数式的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将，代入，先去括号，再合并同类项，最后将代入上式即可；（2）根据多项式的次数的定义，结合（1）中计算结果可得，，进而求出的值，即可求解；（3）根据绝对值和平方的非负性求出的值，利用裂项相消的方法进行简便运算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，当时，原式；（2）解：∵代数式是关于的一次多项式，，∴，，解得：，，∴．（3）解：∵，∴，，∴，∴将，代入中，即．【点睛】本题考查整式的加减运算，绝对值的非负性，多项式的次数和项数，有理数混合运算的简便计算等，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．23．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：把看成一个整体，则．【尝试应用】（1）化简：；（2）已知，求代数式的值．【拓展探索】（3）已知，，，求的值．【答案】（1）（2）（3）【分析】本题主要考查了整体思想在代数式化简与求值中的应用，熟练掌握将代数式中的某一部分看作一个整体进行运算，是解题的关键．（1）将看作一个整体，利用合并同类项的方法化简；（2）观察到，将整体代入计算；（3）先对代数式去括号变形，再将已知条件对应的式子作为整体代入求值．【详解】解：（1）；（2）∵∴；（3）当，，时，原式．24．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）【阅读材料】在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，如计算就可以列竖式为：所以．根据上述材料，解决下列问题：已知：．(1)将按照的降幂排列为．(2)仿照上面的方法列竖式计算．(3)小丽说也可以用类似的方法列竖式计算，请你试试看．(4)请写出一个多项式，使其与的和是二次单项式．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；【分析】（1）根据降幂排列的定义即可求解；（2）根据整式的加减运算法则即可求出答案；（3）根据整式的加减运算法则即可求出答案；（4）根据整式的加减运算法则即可求出答案．【详解】（1）解：按照的降幂排列为：故答案为：（2）由题得：∴（3）由题得：∴（4）∵多项式与的和是二次单项式∴故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．考点07整式加减的无关型问题25．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，．(1)若，求的值；(2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值．【答案】(1)0(2)【分析】本题主要考查了非负数的性质，整式的加减运算，整式的加减运算中与某字母的值无关，掌握“去括号的法则，合并同类项，与某字母的值无关的含义”是解题的关键．（1）将代入并化简可得结果为，再由，求解和的值，再整体代入求值即可；（2）先将去括号化简为，再将代入化简，把含x的同类项合并，由代数式的值与字母x的取值无关可得，由此求解即可．【详解】（1）解：，，，，，即，，即，则原式；（2），，，，由于代数式的值与字母x的取值无关，，解得，则y的值为．26．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开．(1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______；(2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）；(3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动：①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______；②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】(1)，，2；(2)见解析(3)①点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，；②不变，6【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，整式加减中的无关型问题，熟练掌握数轴上两点间的距离，是解题的关键：（1）根据点的移动规则，求出，折叠求出点表示的数即可；（2）分两种情况，根据绝对值的意义，化简绝对值即可；（3）①根据点的移动规则，求出点表示的数即可；②先求出，进而求出的值，进行判断即可．【详解】（1）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；（2）∵，∴当时，；当时，．（3）①；故点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，表示的数为；②不变，理由如下：由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴，，∴；故的值不随着时间t的变化而变化．27．（25-26七年级上·江苏南通·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．

【探究发现】在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍．【尝试运用】（1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为，；【深入思考】（2）在图4所示的三阶幻方中，，①若，求F所表示的代数式；②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和．【答案】（1）；．（2）①；②，幻方和为．【分析】本题考查了三阶幻方的性质（幻方和是中心数的3倍），解题的关键是利用幻方和与中心数的关系，结合行列和相等列算式求解．（1）根据幻方和是中心数的3倍求幻方和，再利用列和相等求；（2）①利用幻方和的性质，结合列与对角线和相等推导的代数式；②根据幻方和与无关，令的系数为0求及幻方和．【详解】（1）解：中心数为，故幻方和为；由中间列和为，得，．故答案为：；．（2）①解：幻方和为，由第1列：，代入，，，得，，即．由一列之和等于一对角线之和得：，∴．②解：设幻方和为，由题意得，前二式相加再减去第三式得，，上式代入，，得，，整理得，，因幻方和与t的取值无关，令的系数为0，得，则，则．即幻方和为.28．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）【知识回顾】在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．【理解应用】已知代数式，．（1）化简：；（2）若的值与的取值无关，求的值．【能力提升】（3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设．①当时，求．②当的长变化时，下列代数式值不变的是()A．

B．

C．

D．【答案】（1）（2）

（3）①

②D【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．（1）将，，代入中，化简即可；（2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可；（3）①先将表示出来，再将代入求解即可；②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可．【详解】解：（1）．（2）又的值与的值无关

，．（3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积，．当时，．②由①得，；；；；与的取值无关．故选：D．考点08整式加减的应用29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图是我国古代传说中的“洛书”，图是“洛书”的数字表示，相传，大禹时，洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会、流传下来收入《尚书》中，名《洪范》，《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．“洛书”是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图中，若，，，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了整式的加减的应用，先求幻和，再利用幻方的性质求出中心数，进而求出，再求出即可，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴幻和为，∴中心数，∴，∴，故选：．30．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题：(1)指出点所表示的有理数______．(2)当时，则点表示的有理数______．(3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值．(4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）．【答案】(1)(2)(3)t的值为或或或(4)当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为【分析】本题考查了数轴上动点问题，列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握知识点的应用，并采用分类讨论的思想方法是解题的关键．（1）根据点为原点，地和地的距离为，即可解答；（2）根据路程速度时间，计算时，点P的运动路程，再根据数轴上两点间的距离公式即可解答；（3）分情况讨论：从A地到B地时和从B地返回A地时，然后根据时间路程速度，解答即可，注意第二种情况速度有变化，要先求得到达B地的时间；（4）分两种情况讨论：①当小明从A地到B地时；②当小明从B地到A地时；注意第二种情况要先求得返回A地全程所用的时间．【详解】（1）解：∵点为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，地位于两地之间且距A地，∴点A表示的有理数为，故答案为：；（2）解：∵小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点，∴当时，点表示的有理数，故答案为：；（3）解：①当小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动时，若此时距离地，点C表示的有理数为0，当点P在点A和点C之间时，此时点P表示的有理数为，则此时；当点P在点C和点B之间时，此时点P表示的有理数为，则此时；②当小明到达地后以每小时的速度返回A地时，∵、相距，∴点B表示的数为，小明到达B地的时间为（小时），若此时距离地，当点P在点B和点C之间时，此时点P表示的有理数为，则此时；当点P在点C和点A之间时，此时点P表示的有理数为，则此时；综上所述，在小明行驶过程中，当小明距离地时，t的值为或或或．（4）解：①当小明以每小时的速度从A地到B地时，由（2）可知，小明到达B地的时间为1小时，∴当时，点P与点A的距离为；②当小明以每小时的速度从B地返回A地时，由（2）可知，点B表示的有理数为3，则小明从B地返回A地的时间为（小时）∴当时，点P与点A的距离为，综上所述，当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为．31．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某水果批发市场苹果的价格如下表：价目表购买苹果千克单价不超过20千克的部分6元/千克超过20千克但不超过40千克的部分5元/千克超过40千克的部分4元/千克(1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费______元；(2)小明第二次购买苹果x千克超过20千克但不超过40千克，则需要付费包含两部分，一部分为购买苹果20千克，付费120元；另外一部分为购买苹果______千克，此部分应付费______元；则总共应付费为______元用含x的式子表示(3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？用含a的式子表示【答案】(1)90(2)(3)两次购买水果共需要付费元【分析】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，用含或的代数式表示出各数量是解题的关键．（1）利用总价=单价数量，即可求出结论；（2）由x的取值范围，可得出需要付费包含两部分，结合总价=单价数量，结合各部分的单价，即可用含x的代数式表示出第二部分的购买数量、总价及总共应付费；（3）分，及三部分考虑，利用总价=单价数量，结合各部分的单价，即可用含a的代数式或具体数值表示出两次购买水果共需要付费金额．【详解】（1）解：根据题意得：元，小明第一次购买15千克苹果，需要付费90元．故答案为：90；（2）解：根据题意得：小明第二次购买苹果x千克超过20千克但不超过40千克，则需要付费包含两部分，一部分为购买苹果20千克，付费120元；另外一部分为购买苹果千克，此部分应付费元，总共应付费为元．用含x的式子表示故答案为：，，；（3）解：当时，两次购买水果共需要付费元；当时，两次购买水果共需要付费元；当时，两次购买水果共需要付费元答：两次购买水果共需要付费元．32．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动．【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，，（1）若，，，求长方形的面积；【深入思考】（2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值；【拓展提升】（3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示）【答案】（1）长方形的面积为48

（2），，

（3）【分析】本题考查列代数式，整式的加减，属于中档题．（1）先表示长方形长和宽，代入数值计算面积；（2）通过周长公式列方程，相减得的值，再代入求各部分周长；（3）用、表示、，通过代数变形得出长方形的周长为．【详解】解：（1）长方形的长为：，长方形的宽为：，故长方形的面积为：，，，代入得，面积为：，长方形的面积为48；（2）长方形的周长为24，即，①，同理，长方形的周长为16，即，②，②①得，如图，，，，，，；（3）由（2）可知：，，，长方形的周长为，，，即③，④，用③④得，．故长方形的周长用，表示为．考点09整式加减的新定义问题33．（25-26七年级上·江苏常州·期中）定义：若，则称x是y关于m的相关数．(1)若6是a关于2的相关数，则_______；(2)若A是B关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值．【答案】(1)4(2)7【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减无关类型，理解新定义是解题的关键．（1）根据定义列出式子求解即可；（2）根据新定义求得B，进而根据题意B的值与m无关，令含m项的系数为0即可求解．【详解】（1）解：∵6是a关于2的相关数，∴解得；故答案为：4；（2）解：∵A是B关于m的相关数，，∴，，B的值与m无关，∴，得，．34．（25-26七年级上·江苏南通·期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．(1)当，时，求的值．(2)当，时，求的值．(3)已知，，求式子的值．(4)已知，，求a的值．【答案】(1)20(2)1(3)14(4)15或10【分析】本题主要考查了整式加减、有理数混合运算、绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题关键．（1）根据新的运算，先判断奇偶性，再列式计算；（2）先判断奇偶性，再列式计算；（3）先判断奇偶性，再列式计算；（4）先判断奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值．【详解】（1）解：当，时，，结果是偶数，；（2）解：当，时，，结果是奇数，；（3）解：，，，结果是奇数，，，∵整数a，b，，，，，；（4）解：一定是偶数，，，当a为奇数时，是奇数，，，解得：；当a为偶数时，是偶数，，，解得：；综上所述，a的值为15或10．35．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）数学的迷人之处，在于数字背后蕴藏的奥秘．通过观察、归纳与验证，我们可以从最平常的数字中，探索出简洁而美妙的规律．例如，给定一列式子，并规定：（为正整数）．例如：，照此规律，解答下列问题：(1)______，______；(2)求与的积；(3)利用你发现的规律，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了新定义下的有理数混合运算，数字类规律探索，解决此题的关键是正确的计算；（1）根据公式算出答案即可；（2）根据公式和（1）中的结果算出答案即可；（3）把（1）（2）的结果结合在一起发现，结果是5个数一个循环，进而得到答案即可；【详解】（1）解：根据公式得：，，故答案为：；（2）解：根据题意，得，．（3）解：根据题意，得，可以发现，5个式子为一个周期，循环出现，，，个完整周期，．36．（25-26七年级上·江苏·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“．【新知应用】(1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号）(2)若与是“强同类项”，求m的值；(3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值；(4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？【答案】(1)①④，②③；(2)；(3)；(4)x的最大值为，x的最小值为【分析】知识点：新定义“强同类项”的应用、绝对值运算、整式项的系数与指数分析方法：根据“指数差绝对值为0或1”列条件，分类讨论求解．关键：准确理解新定义，逐一验证项的指数关系．易错点：遗漏指数差的两种情况；忽略项的系数为0的特殊情况．（1）计算各单项式的指数差，筛选出符合“强同类项”的组合．（2）根据指数差绝对值为0或1，列方程求m的可能值．（3）验证多项式中任意两项的指数关系，结合系数为0的情况确定n．（4）先确定s、t、k的范围，再结合绝对值公式求x的最值．【详解】（1）计算各单项式字母指数的差：、、、、、，得：①与②③指数差绝对值大于1，不是“强同类项”；①与④指数差绝对值为1，是“强同类项”；②与③指数差绝对值为0或1，是“强同类项”；②与④、③与④指数差绝对值大于1，不是“强同类项”．故组合为：①④，②③．故答案为：①④，②③．（2）根据“强同类项”定义，指数差的绝对值为0或1，即或1：当时，；当时，；当时，．故．（3）已知，任意两项为“强同类项”：第一项与第二项满足“强同类项”；第一项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、6、7；第二项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、5、6；当时，第一项系数为0，为单项式（不符合题意），故．（4）由与是“强同类项”，得、4、5，、2、3；结合，得、1、；由，得；∵表示数轴上x到1的距离，∴的值越大对应的x的两个值小的越小，大的越大，即取最大值时，x的两个值分别取最小值和最大值，当s取最大（）、k取最小（）时，，此时或．故x的最大值为，最小值为．考点10一元一次方程的含参问题37．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，求的值．【答案】(1)；(2)12【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法等知识，理解“美好方程”的定义是解题关键．（1）解关于x的方程得，解关于x的方程得，根据“美好方程”定义得到，即可求出；（2）解关于x的方程得，解方程得，根据“美好方程”定义得到，变形为，根据无论k取任何有理数结论都成立，得到，求出，进而求出，从而求出．【详解】（1）解：解关于x的方程得，解关于x的方程得，因为方程与方程是“美好方程”，所以，解得；（2）解：解关于x的方程（a、b为常数）得，解方程得，因为关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，所以，即，因为无论k取任何有理数结论都成立，所以，所以，所以，所以，所以．38．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为．(1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）；(2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）；(3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值．【答案】(1)②③(2)是(3)【分析】本题考查有理数的运算、一元一次方程的解，理解题意是解答的关键．（1）根据题中定义判断即可；（2）根据题中定义求解即可；（3）根据定义得到，再根据方程的解满足方程得到，进而求解即可．【详解】（1）解：①，∵，，∴，故数对不是“共生数对”；②，∵，，∴，故数对是“共生数对”；③，∵，，∴，故数对是“共生数对”；故答案为：②③；（2）解：∵是“共生数对”，∴，则，∴数对是“共生数对”，故答案为：是；（3）解：∵是“共生数对”，∴，∵关于x的方程的解为，∴，即，∴，∴．39．（24-25七年级下·江苏·月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___；(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______；(3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值．【答案】(1)1(2)5(3)，【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．（1）根据“立信方程”的定义解答即可；（2）根据，可得，再代入，即可求解；（3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值．【详解】（1）解：，将，代入得，，故答案为：1；（2）解：∵∴∴，代入得，，，故答案为：5；（3）解：由，得，∵的值为整数，∴为整数，且取正整数，∴或或当时，；当时，；当时，；∵∴∴，∵的值为整数，∴或或，当时，；当时，；当时，；∵方程的解也是关于的方程的解，∴，．40．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式．(1)已知，则它的伴随多项式；(2)已知，它的伴随多项式，求x的值；(3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】此题考查新定义，一元一次方程的解和解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．（1）根据新定义，确定出伴随多项式即可；（2）根据新定义，确定出伴随多项式，进而列出关于x的方程，求解即可；（3）根据新定义，表示出的伴随多项式，根据有正整数解，确定出的整数值即可．【详解】（1）解：∵，∴它的伴随多项式；故答案为：；（2）解：，它的伴随多项式，∵∴，解得：；（3）解：∵，∴它的伴随多项式，∵，∴，∴，∵方程有正整数解，且a为整数，∴或，解得：或．考点11一元一次方程的实际应用41．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，．(1)______（填“”，“”或“”）；(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整．解：设，则，，______可得______；(3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由．(4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．【答案】(1)=(2)，0(3)不能，理由见解析(4)是定值，定值为【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律．（1）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论；（2）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论；（3）分别用含的式子表示，，，，根据，列出方程求解即可；（4）分别用含的式子表示，，，，代入到，再化简，即可解决问题．【详解】（1）解：设，则，，，，，．故答案为：=．（2）由（1）得，，．故答案为：，0．（3）由（1）得，，，，，，整理得：，解得．8在月历表中第二行最后一个数，无法框出九方格．∴不能；（4）由（1）得，，，，，．∴代数式的值是定值，它的值为．42．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足．(1)_______；(2)①有一个玩具火车，如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为_______个单位长度；②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，求此时点A所表示的数．(3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，若的值与它们的运动时间无关，请直接写出k值_______．【答案】(1)12(2)①4

②或14(3)【分析】本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，根据两点之间的距离列出正确的方程是本题的关键．（1）由非负性可求m，n的值，即可得的值；（2）①由题意可得，即可求解；②设点A所表示的数为，则点B所表示的数为，用含的代数式表示，，再根据列方程求解即可；（3）用参数分别表示出，的长度，即可求解．【详解】（1）解：，，，，．．故答案为：12．（2）①根据题意，画数轴得，由数轴可得，，．故答案为：4．②设点A所表示的数为，则点B所表示的数为，，．，，解得或14．∴点A所表示的数为或14．（3）设运动时间为，以每秒2个单位长度的速度向右运动，∴点所表示的数为，点所表示的数为．∵点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为．，．．∵的值与它们的运动时间无关，，解得．故答案为：．43．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上．(1)长方形的面积是_____；(2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____；(3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为．①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____；②当S是长方形面积一半时，求的值．【答案】(1)(2)(3)①；秒；②当S是长方形面积一半时，的值为秒或秒【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，长方形面积，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键在于理清长方形运动情况，根据其运动情况建立方程．（1）利用数轴上两点之间的距离得到长方形的长和宽，再利用长方形面积公式求解，即可解题；（2）设点P在数轴上表示的数为，结合建立方程求解，即可解题；（3）①整个运动过程中，当完