【《水轮发电机组转子-轴承系统有限元建模分析案例》3500字】

水轮发电机组转子-轴承系统有限元建模分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u8256水轮发电机组转子-轴承系统有限元建模分析案例 1320431.1引言 1243741.2水轮发电机组转子-轴承系统有限元模型 2130821.1.1单节点4自由度的转子-轴承系统有限元模型 4235681.1.2单节点5自由度的转子-轴承系统有限元模型 6315471.3数值算法 8306601.3.1Newmark-β法[103] 8152241.3.2Newton-Raphson法 101.1引言在实际工程中，通过了解结构的受力情况，可以合理选用适合构件来保证工程质量，同时还可将构件物尽所用。随着力学理论的发展，越来越多的人们喜欢从力学角度出发通过研究结构构件的受力行为来了解其功能。虽然力学方法理论简单直接结果也很精确，但事实上由于构件所处边界条件的不规则性，直接采用力学方法容易在计算过程中因微分方程的复杂性带来较大挑战。为了规避微分方程的计算，于是便出现了虚功原理和最小势能原理。人们通过假设位移并引入能量原理利用积分来分析结构。不过，当结构受力复杂时，假设位移存在巨大困难。类比微积分思想的出现将结构分成多份从而去假设每一份上的位移，在保证单元之间几何相容的前提下，算得位移便接近真实位移。后续在积累经验的过程中，人们制定了若干标准单元，例如平面三角形单元、空间四面体单元等，每类单元通过位移模式将结构划分为一定数量的标准单元来分析，这便是有限元方法的原理。总的来说有限元法是一种结构计算的近似方法，其核心在于弹性力学的基础分析以及能量原理的引入与数值积分，通过结构离散化保证准确性。有限元法可以在保留问题的复杂性基础上运用数值方法求得问题的近似解，是一个十分有效的数值方法。有限元法能够迅速发展和广泛应用，得益于高速计算机的出现和发展，以及有限元本身所具有的优越性，即：（1）通过引入边界条件简单方法，极大地简化了编辑通用化程序；（2）相比于一般力学，有限元法可求解复杂结构的分析问题；（3）有限元法的适用范围很广[101]。本章采用有限元法来建立立式水轮发电机组转子-轴承系统的动力学模型，汇集所有的节点方程，便得到结构的动力平衡方程，用矩阵符号可表示为公式（2-1）。 （2-1）图2-1转子-轴承系统三维图Fig.2-1Three-dimensionaldiagramofrotor-bearingsystem式中，、、分别是系统的节点加速度向量、节点速度、节点位移；F是系统的整体载荷向量，是时间t的函数；M、K、C分别是系统的整体质量矩阵、整体刚度矩阵、整体阻尼矩阵，它们都是由各个单元质量矩阵、单元刚度矩阵、单元阻尼矩阵集合而成。1.2水轮发电机组转子-轴承系统有限元模型水轮发电机组转子-轴承系统采用立式布置，主要包括发电机转子、主轴和上、下导轴承等，其三维立体图如图2-1所示[102]。本文通过采用有限元方法对立式水轮发电机组转子-轴承系统进行动力分析，该分析是为了研究转子-轴承系统在电磁力和机械外激励作用下的受力和运动。由于不同的边界条件会影响立式水轮发电机组转子-轴承的动态性及多种能量形式的转换。为了便于研究，在水轮发电机组转子轴系的动力学分析中作了如下简化：（1）将水电机组转子-轴承视为刚体；（2）由构件变形引起的弹性位移很小；（3）假设导轴承的基础刚性较好，并认为支承是各向同性的；（4）在应变能计算中不考虑剪切变形、横向位移对拉压变形能的影响；图2-2为转子-轴承系统有限元模型示意图，轴系共包含12个节点，分为11个轴段。其中，转子半径为0.6m，位于轴段6上，上、下导轴承分别位于轴段4和8位置。轴段的具体参数如表2-1所示。各节点在x方向的横向位移：u1、u6、u11、u16、u21、u26、u31、u36、u41、u46、u51、u56各节点在y方向的横向位移：u3、u8、u13、u18、u23、u28、u33、u38、u43、u48、u53、u58各节点在z方向的轴向位移：u5、u10、u15、u20、u25、u30、u35、u40、u45、u50、u55、u60各节点轴横截面绕x轴的节点转角：u2、u7、u12、u17、u22、u27、u32、u37、u42、u47、u52、u57各节点轴横截面绕y轴的节点转角：u4、u9、u14、u19、u24、u29、u34、u39、u44、u49、u54、u59于是，此转子-轴承系统的横振、轴振和扭振可由广义坐标向量u1=[u1、u2、u3、u4、u5...u56、u57、u58、u59、u60]T表达。图2-2转子-轴承系统有限元模型Fig.2-2Finiteelementmodelofrotor-bearingsystem表2-1转子-轴承系统轴段参数Table2-1Axisparametersofrotor-bearingsystem轴段编号长度/mm外径/mm内径/mm13401050234010503340105043401050520105063006000720105083401050934010501034010501134010501.1.1单节点4自由度的转子-轴承系统有限元模型本节在研究过程中，对碰摩转子进行假设和简化，在不考虑摩擦的热效应的基础上，并假定转子与定子的碰撞为弹性碰撞，变形为弹性变形，碰摩为局部碰摩。对于弯曲分析，梁单元的每个节点具有：2个平移自由度、2个旋转自由度，所有元素及边界条件结合构成整个单节点4自由度的转子-轴承系统的非线性运动微分方程，若忽略轴向变形，转子的Bernoulli-Euler梁模型的自由度为： （2-2）结构动力方程可由节点平衡条件导出，集合所有节点的方程，便得到系统结构的动力学平衡方程，可表示为： （2-3）其中，分别是结构的节点位移、速度、加速度向量阵，M、D、K分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，F_rub是径向碰摩力，F_ump为动静偏心下的不平衡磁拉力，Fu是质量偏心力，M_ump是电磁转矩。系统阻尼矩阵D，包括黏性阻尼、轴承阻尼和陀螺力矩系统广义坐标(节点位移矢量)： （2-4）忽略轴向位移的单节点4自由度的梁单元平移质量矩阵、转动质量矩阵、陀螺力矩矩阵和刚度矩阵具体形式如下：式中，l为单元的长度；EI为抗弯刚度；μ为单位长度的质量；r为单元半径。采用比例阻尼，即瑞利阻尼的形式建立阻尼矩阵。瑞利阻尼的形式为： （2-5）式中，式中，ξ1、ξ2为阻尼系数；ω1、ω2为转子的一、二阶临界转速。1.1.2单节点5自由度的转子-轴承系统有限元模型便于研究，对于考虑轴向位移，忽略轴向陀螺效应的分析，梁单元的每个节点具有：2个平移自由度、2个旋转自由度、1个轴向平移自由度，所有元素及边界条件组合构成整个单节点5自由度的转子-轴承系统的非线性运动微分方程，转子的Bernoulli-Euler梁模型的自由度为： （2-6）结构动力方程可由节点平衡条件导出，集合所有节点的方程，便得到系统结构的动力学平衡方程，可表示为： （2-7）式中，Fz是轴向电磁力，其他参数同公式（2-3）。单节点5自由度的转子-轴承系统广义坐标(节点位移矢量)： （2-8）考虑轴向位移，忽略轴向陀螺效应的单节点5自由度的梁单元平移质量矩阵、转动质量矩阵、陀螺力矩矩阵和刚度矩阵具体形式如下：式中，l为单元的长度；EI为抗弯刚度；μ为单位长度的质量；r为单元半径。1.3数值算法本文采用Newmark-β法和Newton-Raphson法对运动微分方程进行数值积分。下面对Newmark-β法和Newton-Raphson法分别进行详细说明。1.3.1Newmark-β法[103]Newmark-β法是在计算时假设加速度为介于和之间的某一常向量的一种方法，即： （2-9）也可采用 （2-10）式中，、为控制参数，它们决定着积分的稳定性及精度，Δt为积分步长。当，时，积分是无条件稳定的。经过积分得到： （2-11） （2-12）令则由式（2-10）可以求出： （2-13） （2-14）系统的运动微分方程如下所示： （2-15）将式（2-11）和式（2-12）代入式（2-15）得： （2-16）其中，Newmark-β法求解动力学方程的具体算法步骤如下：初始计算形成质量矩阵M、阻尼矩阵C、和刚度矩阵K；给出初始值；选择时间步长，参数和，并计算积分常数：形成有效刚度矩阵：；对作三角分解：关于每一时间增量计算计算时刻的有效载荷： （2-17）求解时刻的位移： （2-18）计算时刻的加速度和速度： （2-19）1.3.2Newton-Raphson法Newton-Raphson法的基本思想设是的一个近似根，把在处以泰勒展开： （2-20）若取前两项来近似代替（称为的线性化），则得近似的线性方程： （2-21）设，令其解为，得： （2-22）这称为的牛顿迭代格式。其对应的迭代方程为，显然是的同解方程。故其迭代函数为： （2-23）在的根的某个邻域内， （2-24）在的邻域内，对任意初值，应用公式（2-9）来接方程的方法就称为牛顿迭代法。它是求解超越方程和代数方程的有效方法之一。Newton-Raphson法的几何意义如图2-3所示，在（2-2）式知xk+1是点（xk，f（xk））处y=f（x）的切线，与x轴的交点的横坐标。即作为新近似值xk+1，是用其代替曲线y=f（x）的切线与x轴相交得到的。然后，连续取点（xk+1，f（xk+1）），再做切线与x轴相交，同理可得xk+2，以此类推。由图2-3可知，倘若初值取的足够接近α，那么这个序列就会很快收敛于α。Newton-Raphson法又称切线法。图2-3牛顿-拉夫逊迭代法Fig.2-3Newton-RaphsonmethodNewton-Raphson法的步骤步骤一、准备。选定初始近似值x0，计算f0=f（x0） （2-25）步骤二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值x1，计算步骤三、控制。如果x1满足。则终止迭代，将x1设为所求的根；否则计算步骤四。此处ε1是允许误差，而：其中，是相对误差或取绝对值的控制常数，一般可取c=1。步骤四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者则方法失败；否则以代替转步骤二继续迭代。Matlab程序定义函数：functiony=f(x)y=f(x);%函数f(x)的表达式functionz=h(x)z=h(x);