2025-2026学年第四章 《图形的相似》大单元教学设计北师大版九年级数学上学期 含答案

/第四章图形的相似一、课标要求新课标通常强调核心素养的培养、跨学科的联系以及信息技术的融合等方面。以下是从新课标的角度对进行分析：（一）核心素养的培养1.数学抽象与逻辑思维：通过学习图形的相似，学生能够理解数学抽象概念，如相似比例、相似图形等，并运用逻辑思维进行推理和证明。2.空间观念与几何直观：通过观察和操作相似图形，学生能够发展空间观念，理解几何形状在缩放变换中的不变性和比例关系。3.数学建模与应用能力：学生应能将图形相似的知识应用于实际问题，如使用相似三角形解决测量问题，从而培养数学建模和应用能力。（二）跨学科联系1.与自然科学的结合：在学习图形相似时，可以与物理学中的光学知识相联系，解释放大镜、显微镜等仪器的成像原理。2.与艺术设计的联系：探讨相似图形在艺术设计中的应用，如平面设计、建筑模型制作等，让学生理解数学与艺术的联系。3.与地理学的联系：利用地图上的相似图形，教授学生如何理解和计算地图比例尺，以及如何使用地图进行实际距离的估算。（三）信息技术的融合1.多媒体教学工具：运用幻灯片、动画等多媒体教学工具来展示图形的放大与缩小，帮助学生直观地理解相似图形的性质。2.计算机绘图软件：使用计算机绘图软件，让学生动手绘制相似图形，加深对相似图形性质的理解。3.网络资源：鼓励学生利用网络资源进行自主学习，搜索相似图形在实际中的应用案例，拓宽学习视野。二、内容分析:概念与定义1.相似图形的定义：在本章中，学生首先学习什么是相似图形。相似图形指的是形状相同但大小可以不同的两个图形，它们的对应角相等，并且对应边的长度成比例。2.相似多边形的性质：接着，学生会学习到相似多边形的基本性质，包括对应边成比例、对应角相等，以及两个相似多边形面积的比等于它们对应边长度比的平方。判定方法1.三角形相似的判定准则：本章详细介绍了三角形相似的几个判定准则，包括AA（角角）准则、SSS（边边边）准则和SAS（边角边）准则等，这些准则是判断两个三角形是否相似的基本工具。2.相似多边形的判定：对于多边形，学生将学习如何通过对比对应角和对应边的长度比例来判断它们是否相似。计算与应用1.相似三角形的应用：本章将通过实际问题来展示相似三角形的应用，如使用相似三角形的比例关系来测量远距离或高大物体的高度，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。2.相似图形的面积比：学生将学习如何利用相似图形面积比与边长比之间的关系来计算未知面积，这对于解决一些复杂的几何问题非常有用。证明与推理1.相似性质的证明：本章可能会涉及对相似图形性质的证明，帮助学生理解数学逻辑和证明过程，提高他们的推理能力。2.定理与推论：学生将学习一些与相似图形相关的定理和推论，这些理论是解决更复杂问题的基础。综合与拓展1.与其他章节的联系：本章内容与之前学习的图形知识（如三角形的性质、多边形的面积计算等）紧密相关，为学生提供了一个综合运用先前知识的机会。2.拓展活动：可能包括设计一些探究性活动，鼓励学生发现生活中的相似图形，或者利用计算机软件来探索和验证相似图形的性质。三、学情分析:学生的知识背景：1.基础知识：学生已经学习过三角形的基本性质、多边形的面积计算等相关知识，这为理解相似图形的概念打下了基础。但他们对比例概念的理解可能还不够深入，需要通过具体实例来加深认识。2.技能水平：学生应具备一定的几何绘图能力和测量技能，这对于理解相似图形的性质和进行相关计算是必要的。认知发展水平:1.抽象思维能力：相似图形的概念涉及到抽象的比例关系，这对学生抽象思维能力提出了挑战。教师需要设计适当的活动，帮助学生从具体实例中抽象出相似图形的性质。2.逻辑推理能力：学生需要运用逻辑推理来理解相似图形的判定定理和性质，这要求他们具备一定的逻辑推理能力。教师可以通过例题和练习来培养学生的这一能力。兴趣与动机:1.实际问题的兴趣：学生通常对能够解决实际问题的知识更感兴趣。教师可以展示相似图形在现实生活中的应用，如使用比例尺、测量距离等，以激发学生的学习兴趣。2.数学美的认识：相似图形在艺术和设计中有广泛的应用，教师可以通过介绍这些应用来培养学生对数学美的认识，从而提高他们的学习动机。学习难点:1.比例概念的理解：比例是相似图形的核心概念之一，但学生可能难以理解比例的抽象性。教师需要通过多种方式，如实物演示、多媒体展示等，来帮助学生理解比例概念。2.相似图形的识别和应用：识别相似图形并应用其性质解决问题对学生来说可能较为困难。教师应设计不同难度的练习题，让学生通过大量练习来掌握这一技能。学习习惯与策略1.观察与比较：学生需要通过观察和比较图形来识别相似图形，这要求他们具备良好的观察力和比较能力。教师可以引导学生通过日常观察来培养这些技能。2.合作与交流：在探究相似图形的性质和应用时，学生需要与他人合作和交流。教师可以组织小组讨论和合作学习活动，促进学生之间的互动和交流。四、单元目标：(一)数学思维与方法1.逻辑思维与推理：学生应能够运用逻辑推理分析相似图形的性质，通过合理的论证来加深对相似图形判定定理的理解。2.问题解决与应用：学生应具备将相似图形知识应用于解决实际问题的能力，如利用相似比例解决测量问题，培养学生的问题解决意识。(二)数学基础与技能1.概念理解与运用：学生应深入理解相似图形的定义和性质，包括对应边成比例、对应角相等，并能够在不同情境中灵活运用这些概念。2.计算与操作：学生应熟练掌握相似图形的计算方法，如面积比和边长比的计算，以及在实际情境中进行测量和绘制相似图形的技能。(三)数学态度与兴趣1.数学美感体验：学生应在学习相似图形的过程中体会到数学的美感，如相似图形在艺术设计中的应用，从而激发他们对数学学习的兴趣。2.积极探究与实践：学生应具备积极探索和实践的态度，通过实际操作和探究活动，如制作相似图形模型，来加深对相似图形知识的理解。(四)数学文化与价值观1.数学与生活的联系：学生应认识到数学与日常生活的紧密联系，如相似图形在建筑设计、艺术作品中的应用，培养他们将数学知识与现实生活相结合的意识。2.数学的普遍性与确定性：学生应体会数学的严谨性和逻辑性，理解数学结论的确定性，以及数学在解释世界和解决问题中的重要作用。(五)数学交流与合作1.数学表达与交流：学生应具备清晰表达数学思想和解决问题过程的能力，能够用数学语言准确描述相似图形的性质和判定方法。2.合作学习与团队协作：学生应在小组活动中学会合作与交流，通过共同努力解决问题，提高团队合作能力和集体责任感。(六)数学创新与批判思维1.创新思维培养：学生应鼓励学生在探究相似图形知识时提出创新性的问题和思考，培养他们的创新意识和探索精神。2.批判性思维与反思：学生应具备批判性思维，能够对所学知识进行深入思考和反思，如探讨相似图形在实际中的应用限制和可能的误区。五、单元知识结构框架及课时安排（一）单元知识结构框架1.相似图形的基本概念：包括相似图形的定义、性质和判定方法。这是基础知识，为后续的学习奠定理论依据。2.平行线分线段成比例：这是判断图形相似的重要工具之一，也是理解相似图形性质的基础。3.相似三角形的判定定理：AA（角角）、SSS（边边边）和SAS（边角边），这些是判断三角形相似的重要方法。4.相似多边形的性质：探讨相似多边形面积比与边长比的关系，以及相似图形在实际中的应用，如测量距离、计算面积等。5.相似图形的应用：通过实际问题，如使用相似三角形测量物体的高度，将理论知识应用到实际情境中。6.探究与实践活动：设计一些探究性活动，让学生通过实际操作和探究来加深对相似图形知识的理解。（二）课时安排（课时教学设计由执教教师结合本班情况自行设计）1.相似图形的基本概念（2课时）：第一课时介绍相似图形的定义和基本性质；第二课时讲解对应角和对应边的概念及其重要性。2.平行线分线段成比例（1课时）：第一课时介绍平行线分线段成比例的定义和性质；通过例题和练习加深理解。3.相似三角形的判定定理（4课时）：分别用三课时介绍AA、SSS和SAS准则，并通过例题加深理解。4.相似多边形的性质（2课时）：第一课时探讨面积比与边长比的关系；第二课时解决一些与相似多边形相关的计算题目。5.相似图形的应用（2课时）：通过实际问题，如测量距离或高度，将理论知识应用于实际情境中。6.探究与实践活动（2课时）：设计一些探究性活动，如制作相似图形模型，进行实际测量，或者使用计算机软件来探究相似图形的性质。7.图形的位似（2课时）：介绍位似图形的概念，利用位似图形将一个图形放大或缩小，研究多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系。8.总结与评价（2课时）：对本章内容进行总结，复习关键知识点，解答学生疑问。六、达成评价（一）知识与技能评价1.通过选择题、填空题等形式，测试学生对相似图形、平行线分线段成比例及位似图形等基本概念的理解程度。2.设计一些实际情境中的问题，如利用相似三角形的性质计算实际高度，或利用位似图形解决设计问题，来评价学生的应用能力和解决问题的能力。（二）数学思维与方法评价1.数学探究报告：要求学生完成一个探究报告，记录他们对平行线分线段成比例或位似图形性质的探究过程，包括实验设计、数据收集、分析结论等，以评价他们的数学探究能力。2.逻辑推理评估：通过学生的解题过程和论证，评估他们的逻辑推理能力和数学思维的严密性。（三）情感、态度与价值观评价1.数学学习兴趣调查：通过问卷或访谈的方式，了解学生对数学学习的兴趣，尤其是对相似图形、平行线分线段成比例和位似图形内容的兴趣和态度。2.数学价值意识反思：鼓励学生进行书面反思，思考数学学习对他们日常生活和未来职业发展的价值，以及数学在解决现实问题中的重要作用。（四）跨学科应用评价1.跨学科项目作业：学生可以完成一个涉及其他学科（如科学、艺术、技术）的项目，如设计一个包含相似图形或位似图形的科学模型或艺术作品，评价学生的跨学科应用能力。2.现实世界问题解决：提出一些现实世界中的问题，如城市规划、环境设计等，要求学生运用相似图形和位似图形的知识给出解决方案，评价学生的实际应用和创新能力。（五）合作与交流评价1.小组合作项目：在小组合作项目中，评价学生的合作精神、沟通能力和团队协作能力，以及他们在小组中的贡献和角色。2.数学交流展示：学生可以通过口头报告、PPT展示等形式，展示他们对相似图形、平行线分线段成比例和位似图形的理解和应用，评价他们的数学交流和表达能力。（六）创新与批判思维评价1.创新性思维挑战：鼓励学生提出创新性的问题解决方法或独特的数学想法，评价他们的创新思维和创造力。2.批判性思维训练：通过分析讨论，培养学生的批判性思维，评价他们对数学问题的深入分析和批判性评价能力。七、习题设计成比例线段1.探究性问题题：给定一条线段AB，点C将线段AB分成AC和CB两部分，且AC:CB=2:3。如果AB的长度是10厘米，求线段AC和CB的长度。2.应用问题题：在一个长方形花园中，长与宽的比例是3:2，如果花园的周长是35米，求花园的长和宽。3.创新性问题题：设计一个程序，输入两条成比例线段的比例和其中一条线段的长度，输出另一条线段的长度。解析：根据成比例线段的定义，可以设已知线段的长度为a，比例为m:n，则另一条线段的长度为an/m。平行线分线段成比例1.探究性问题题：给定两条平行线l1和l2，一条垂线段将它们连接起来，垂线段的长度是4厘米。如果垂线段与l1的交点到垂线段与l2的交点的距离是12厘米，求证：任意两条与l1和l2相交的线段，它们在l1和l2之间的部分成比例。2.应用问题题：在一个平行四边形中，对角线将其分成两个三角形，求证：这两个三角形的对应边成比例。解析：根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以这两个三角形的对应边平行且相等，因此它们的对应边成比例。3.创新性问题题：设计一个实验，验证平行线分线段成比例定理。解析：可以设置两条平行线，并在它们之间画一条垂线段，然后测量垂线段与平行线的交点之间的距离，验证它们是否成比例。相似多边形1.探究性问题题：给定两个相似多边形，其中一个多边形的一个角是400，求证：另一个多边形对应角的度数也是400。并探究这两个多边形的对应边长之比是多少。2.应用问题题：在一个地图上，有两个相似的多边形表示两个实际地形，如果地图上的比例尺是1:100000，求这两个地形的实际面积比。3.创新性问题题：设计一个程序，输入两个相似多边形的边长比例和其中一个多边形的面积，输出另一个多边形的面积。解析：根据相似多边形面积比等于边长比的平方，可以设已知多边形的面积为S，边长比例为m:n，则另一个多边形的面积为(S*n2)/m2。探索三角形相似的条件1.探究性问题题：给定两个三角形，其中一个三角形的两个角分别是300和600，求证：另一个三角形也是直角三角形。2.应用问题题：在一个直角三角形中，直角边的比例是1:2，求斜边与直角边的比。3.创新性问题题：设计一个实验，验证三角形相似的条件。解析：可以设置两个三角形，并测量它们的对应角和对应边的长度，验证它们是否满足相似三角形的条件。相似三角形判定定理的证明1.探究性问题题：给定两个三角形，其中一个三角形的两个角分别是300和600，求证：另一个三角形也是直角三角形。并证明它们的对应边成比例。2.应用问题题：在一个直角三角形中，直角边的比例是1:2，求斜边与直角边的比。并证明它们的对应边成比例。3.创新性问题题：设计一个实验，验证相似三角形判定定理。解析：可以设置两个三角形，并测量它们的对应角和对应边的长度，验证它们是否满足相似三角形的条件。并根据相似三角形的性质，计算对应边的比例，验证它们是否成比例。利用相似三角形测高1.探究性问题题：在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度和斜边与另一条直角边的比，求另一条直角边的长度。2.应用问题题：在一个建筑物前面，有一个已知高度的物体，利用相似三角形的原理，测量建筑物的高度。3.创新性问题题：设计一个实验，验证利用相似三角形测高的方法。相似三角形的性质1.探究性问题题：给定两个相似三角形，求证它们的对应角相等。2.应用问题题：在一个地图上，有两个相似的三角形表示两个实际地形，求这两个地形的面积比。图形的位似1.探究性问题题：给定两个位似的图形，求证它们的对应角相等。2.应用问题题：在一个设计图中，有两个位似的图形表示两个实际建筑物，求这两个建筑物的面积比。3.创新性问题题：设计一个实验，验证图形的位似性质。

第四章图形的相似1成比例线段第1课时线段的比和比例的基本性质1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.2.了解比例的基本性质及应用.3.经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.【教学重点】成比例线段的基本性质.【教学难点】成比例线段的基本性质.一、情境导入，初步认识请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：1.线段的比是正数2.单位要统一3.线段的比与线段的长度无关二、思考探究，获取新知1.由下面的格点图可知，=_______，=_______，这样与之间有关系_______.【归纳结论】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如=（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.2.如果四条线段a、b、c、d成比例，即.那么ad＝bc吗？如果ad＝bc，那么a、b、c、d成比例吗？【归纳结论】如果，那么ad=bc.如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么.【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力.三、运用新知，深化理解1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.2.已知3x=4y，则=.3.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16cmb=8cmc=5cmd=10cm;（2）a=8cmb=5cmc=6cmd=10cm.分析：（1）=2，=2，则=，所以a、b、d、c成比例.（2）由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，求A，B两地间的实际距离.分析：利用比例尺的定义即“”列出等量关系式.解：设A、B两地间的实际距离为xcm，则.解得x=900.∴设A、B两地间的实际距离为900cm.5.已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长.分析：由a、b、c、d是成比例线段得，代入计算求出线段d的长.解：∵a、b、c、d是成比例线段，∴，即.解得d=4cm.6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.分析：解：设添加的线段长为x，当x≤2时，x∶2=4∶8，x=1;当2≤x≤4时，2∶x=4∶8，x=4;当4≤x≤8时，2∶4=x∶8，x=4;当x≥8时，2∶4=8∶x，x=16.综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x，然后使这四个数各自成比例，再算出x的值.四、师生互动，课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.1.布置作业:教材“习题4.1”中第1题.2.完成练习册中相应练习.

第2课时等比性质1.能用比例的基本性质推出等比性质.2.学会用设“k”法解答比例的相关题目.3.经历等比性质的推导过程，掌握并灵活运用等比性质解决相关问题.4.培养学生分析、解决问题的能力，增强数学应用意识，体会数学与现实的紧密联系.【教学重点】理解并掌握等比性质.【教学难点】等比性质的实际应用.一、情境导入，初步认识如图，已知，你能求出的值吗？由此你能得出什么结论？【教学说明】让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享.②还有哪些小组的同学研究有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队.二、思考探究，获取新知已知a，b，c，d，e，f六个数，如果=k，（b=d=f≠0），那么=k成立吗？为什么？【归纳结论】如果=k，（b=d=f≠0），那么=k【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出.三、运用新知，深化理解1.已知（b+d+f≠0），求的值.分析：根据等比性质，∵∴.2.已知==3，=成立吗？分析：由==3，得a=3b，c=3d.所以==2，==2，因此=.3.已知a∶b∶c=4∶3∶2，且a+3b-3c=14.（1）求a、b、c；（2）求4a-3b+c的值.解：（1）设a=4k，b=3k，c=2k.∵a+3b-3c=14，∴4k+9k-6k=14，∴7k=14，∴k=2，∴a=8，b=6，c=4.（2）4a-3b+c=32-18+4=18.4.已知a∶b∶c=3∶4∶5，求的值.解：方法一：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，所以，所以，所以，所以.方法二：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，设=k，则a=3k，b=4k，c=5k，所以.5.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD-DC=2cm，求BC.解：∵AB=15cm，AC=10cm，∴.设BD=3k，DC=2k，∵BD-DC=2cm，∴k=2cm.∴BC=3k+2k=5k=10cm.【教学说明】让学生清楚的理解比例的基本性质的应用，熟练掌握设“k”法.6.已知k=，求k的值.分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情况漏掉.解：当a+b+c=0时，a+b=-c，k==-1；当a+b+c≠0时，可以用等比性质k==2；所以k=-1或k=2.【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.四、师生互动，课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.1.布置作业:教材“习题4.2”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.

2平行线分线段成比例1.在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会作已知线段成已知比的作图题.2.通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.3.通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.【教学重点】定理的应用.【教学难点】定理的推导证明.一、情境导入,初步认识1.求出下列各式中的x∶y.（1）3x=5y；（2）x=23y；（3）3∶2=y∶x；（4）3∶x=5∶y.2.已知x/y=7/2，求x/（x+y）.3.已知x/2=y/3=z/4，求(x+y+z)/(2x+3y-z).【教学说明】其中第1题以学生口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行.二、思考探究，获取新知..1.在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图（1）：∵AD∥BE∥CF，且AB=BC，则DE=EF.问题1：图（1）中若AD∥BE∥CF，则成立吗？解：由于AB=BC,DE=EF,故=1.问题2：如果将CF向下平移到如图（2）的位置，则AB/BC=DE/EF仍成立吗？解：若AD∥BE∥CF，则=2/3.【教学说明】学生之间相互交流，探讨得出结论.问题3：在一般情况下，如图，若AD∥BE∥CF，这个结论吗？【教学说明】学生可以动手量一量，算一算.得出结论.【归纳总结】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.【教学说明】这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可.2.在如图所示的三个图形中，DE∥BC，以上得到的那些比例是否成立？说说你的理由.与上图对比，通过添加一组平行线，得到平行线分线段成比例定理的基本图形，从而得到比例线段.在图（1）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC相交与D、E，在图（2）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC的反向延长线相交于D、E，【归纳结论】平行于三角形一边的直线与三角形的两边或两边的延长线相交，所截得的对应线段成比例.【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.三、运用新知，深化理解2.如图，在△ABC中，若BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD和BE交于F，则AF∶FD=________.解答：过点D作DH∥BE交AC于H，∴=2∴EH=CE∵BD∶DC=CE∶EA=2∶1∴AE=CE=EH∴.3.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC∶BD=1∶3，AE∶EC=2∶1，AD与BE交于F，则AF∶FD=________.解答：过点D作DH∥BE交AC于H，∴=3∴EH=CE ∵AE∶EC=2∶1∴AE=2CE∴.【教学说明】通过本题分析使学生进一步理解定理.四、师生互动，课堂小结今天我们学习了平行线分线段成比例定理，当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.1、布置作业：教材“习题4.3”中第1、2题.2、完成练习册中相应练习.

3相似多边形1.了解相似多边形的概念和性质.2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.4.理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用.激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学生潜力.【教学重点】相似多边形的定义和性质.【教学难点】如何判断两个多边形是否相似.一、情境导入,初步认识如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图象.请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数.然后与你的同伴讨论：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？【教学说明】培养学生从图片直观地获取信息的能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点.由此自然地引出课题——相似多边形.二、思考探究，获取新知1.相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD.相似多边形对应边的比叫做相似比.图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k=1/2.2.观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？这两个五边形是_____________________________________，即_______________________________________.3.问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？相似多边形的性质：____________________________________________.【教学说明】通过对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，使学生都能用自己的语言归纳总结出相似多边形的特点.【归纳结论】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似用“∽”表示，读作“相似于”.三、运用新知，深化理解1.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH.解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，所以∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°，∠C=∠F=60°.由于正三角形三边相等，所以AB∶DE=BC∶EF=CA∶FD；(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°，由于正方形的四边相等，所以AB∶EF=BC∶FG=CD∶GH=DA∶HE.2.两个相似多边形，其中一个多边形的周长和面积分别是10和8，另一多边形的周长为25，则另一个多边形的面积是________.解答：两个相似多边形的周长的比等于相似比，因而相似比是10∶25=2∶5，而面积的比等于相似比的平方，设另一个多边形的面积是x，则8：x=（2∶5）2，解得：x=50，即另一个多边形的面积是50.3.两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，则后一个五边形的最短边的长为________.分析：根据相似多边形的对应边的比相等可得.解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是5∶10=1∶2，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则1∶x=1∶2，解得：x=2，即后一个五边形的最短边的长为2.4.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=_____，AD=_____.解析：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得.解答：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=∠B=70°，.即，解得AD=28，∠1=70°.5.设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1是对应点，已知AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，则四边形A1B1C1D1的周长为________.解析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长.解答：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，∴.又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，∴，∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38.【教学说明】学生在应用中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有何收获？还有哪些疑问？【教学说明】鼓励学生结合本节课的学习过程，谈谈自己的收获与感想，让学生学会疏理、归纳和总结.1、布置作业:教材“习题4.4”中第1、2题.2、完成练习册中相应练习.

4探索三角形相似的条件第1课时三角形相似的判定（1）1.经历三角形相似的判定定理1的探索及证明过程.2.能应用判定定理1判定两个三角形相似，解决相关问题.3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐.【教学重点】三角形相似的判定定理1及应用.【教学难点】三角形相似的判定定理1的证明.一、情境导入，初步认识现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.二、思考探究，获取新知问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法.1、动手实验：现在，已量出∠A=60°，∠B=45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A=60°，∠B=45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系.你有哪些发现？在小组内交流.【教学说明】学生动手操作，教师巡回指导，启发点拨.学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等.②两个三角形三个角都对应相等.③通过度量后计算，得到三边对应成比例.④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似.此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：两角对应相等，两三角形相似.2.进而让学生画出图形，写出已知、求证.已知：如图△A′B′C′和△ABC中，∠A′=∠A，∠B′=∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC.证明：在△ABC的AB上截取BD=B′A′，过D作DE∥AC，交BC于E.∴∴△ABC∽△DBE∵∠BDE=∠A，∠A=∠A′∴∠BDE=∠A′∵∠B=∠B′，BD=B′A′∴△DBE≌△A′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′.【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.【归纳结论】判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.三、运用新知，深化理解1.求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似.已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：△ABC∽△ACD∽△CBD.证明：略.2.判断题：（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（√）（2）所有的直角三角形都相似.（×）（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（×）（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（√）3.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，问：这两个三角形相似吗？为什么？解：相似.理由如下：在△ABC中，∵∠B=75°，∠C=50°，∴∠A=55°，∴∠B=∠B′，∠A=∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′.4.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°.在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，∴△ABC∽△BCD.5.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽△EGC或△EAB.解析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.又∠1=∠3（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB.6.如图，D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似.并说明线段DE的画法.分析：画相似的三角形主要是作相等的角.所以需要画平行线.如：画法：略【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.四、师生互动，课堂小结提问：“通过这节课的学习你有什么收获？”让学生相互畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言.1、布置作业：教材“习题4.5”中第3、4题.2、完成练习册中相应练习.

第2课时三角形相似的判定（2）1.掌握相似三角形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用.2.理解并掌握判定定理与性质定理的区别与联系.3.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力.在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.【教学重点】掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.【教学难点】会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.一、情境导入，初步认识问题：（1）相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.（2）判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似.【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知识的欲望.二、思考探究，获取新知1.完成教材P91的做一做.【教学说明】老师引导学生分析、讨论得出结果，学生口述证明过程，老师板书.【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.已知：，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：过点B′在B′A′上取线段AB的长，同理过点B′在B′C′上取线段BC的长，连接AC.∵，则AC//A′C′，∴∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′∴△ABC∽△A′B′C′.【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题结论证明定理.三、运用新知，深化理解1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=4，BC=5，A′C′=8，B′C′=10.解：∵∴又∵∠C=∠C′=90°，故△ABC∽△A′B′C′.2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.分析：由于已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明两三角形相似.再利用相似三角形的性质得出关于AD的比例式，从而求出AD的长.解：由已知条件可以得出：，又∠B=∠ACD，根据判定定理2可得出：△ABC∽△DCA，∴，又AC=5，BC=4，∴.3.如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，再进一步证明，则问题得证.证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD=∠CAE.又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAC=∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴.在△ABC和△ADE中，∵∠BAC=∠DAE，，∴△ABC∽△ADE.4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）.分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，△BCA与△MNA的相似关系就明确了.解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∠BAC=∠MAN，所以△BCA∽△MNA.所以MN∶BC=AN∶AC，即MN∶1.6=20∶1.5.所以MN=1.6×20÷1.5≈21.3（m）.5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2=DC·AC.分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD，∴BC∶AB=CD∶BC，∴BC2=AB·CD，即AD2=AC·CD.【教学说明】能够运用所学的判定方法解决简单问题.四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？1.布置作业：教材“习题4.6”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.

第3课时相似三角形的判定（3）1.理解并掌握相似三角形的判定的表述及运用.2.经历相似三角形判定定理的推导过程，掌握相似三角形的判定方法.3.在探索相似三角形判定方法的活动中，提出问题与思考问题，体会化归思想.【教学重点】导出相似三角形的判定定理并会运用.【教学难点】相似三角形判定定理的运用.一、情境导入，初步认识回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？由此我们能否由全等的另一种方法（S.S.S）想到判定相似的新方法？【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证.【归纳结论】三边对应成比例，两三角形相似.二、思考探究，获取新知证明：三边对应成比例，两三角形相似.【教学说明】在教师的指导下学生口述，教师板书，最后提示三个步骤：运动、预备定理、相似的传递性.三、运用新知，深化理解1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形木框（A）A.一定相似 B.一定不相似C.不一定相似 D.无法判断2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的（C）A.甲点 B.乙点 C.丙点 D.丁点3.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（B）A.（6，0） B.（6，3）C.（6，5） D.（4，2）4.在△ABC和△A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm.求证：△ABC∽△A1B1C1.分析：正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似.证明：∵AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm，∴∴△ABC∽△A1B1C1.【教学说明】判断两个三角形三边是否成比例的方法：（1）排：将三角形的边按长短顺序排列；（2）算：分别计算它们对应边的比；（3）判：由三个比值是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例.5.如图，已知，∠BAD=20°，求∠CAE的大小.分析：根据三边对应成比例得△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形的性质解答.解：∵，∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC=∠DAE.又∠DAC是公共角，∴∠CAE=∠BAD=20°.6.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.解：相似.证明：∵AB=2，BC=，AC=，EF=2，DF=，DE=.∴∴△ABC∽△DEF.7.如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1+∠2+∠3=90°.分析：如图，运用勾股定理分别求出BE、CE、DE的长度（用λ表示），求出△BEC与△BDE的三边之比，证明△BEC∽△BDE；借助三角形外角的性质即可解决问题.解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理得：BE2=λ2+λ2，CE2=（2λ）2+λ2，DE2=（3λ）2+λ2，∴BE=λ，CE=λ，DE=λ；∴同理可求：∴∴△BEC∽△BDE，∴∠2=∠BED；∵∠1=∠BED+∠3，且∠1=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°.四、师生互动、课堂小结引导学生自主完成以上例题.1.布置作业：教材“习题4.7”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.

第4课时黄金分割1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.3.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.【教学重点】找一条线段的黄金分割点.【教学难点】黄金分割比的应用.一、情境导入，初步认识现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.二、思考探究，获取新知动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算与,它们的值相等吗？【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解.【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.三、运用新知，深化理解1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D）2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为0.764米.3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为.4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则=0.618，解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm.5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.解：作法如下：（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB；（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB；（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.6.在矩形ABCD中，AB>BC，如图.若BC∶AB=∶1，那么这个矩形成为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作正方形EBCF，则矩形AEFD是黄金矩形吗？试说明理由.解：矩形AEFD是黄金矩形.理由如下：设AB=1，由BC∶AB=∶1可知BC=，所以BE=，AE=1-=3-52，所以AE∶EF=∶=∶1.故矩形AEFD是黄金矩形.四、师生互动，课堂小结如何找一条线段的黄金分割点，这节课你有哪些收获？1.布置作业：教材“习题4.8”中第1题.2.完成练习册中相应练习.

*5相似三角形判定定理的证明1.掌握判定两个三角形相似的方法及证明过程，并应用它解决一些实际问题.2.经历相似三角形判定定理的证明过程，体会它在数学学习中的作用.3.发展学生的推理能力.【教学重点】判定定理的证明.【教学难点】会用定理解决一些实际问题.`一、情境导入，初步认识问题：三角形相似的判定定理有哪些？你能证明这些定理吗？【教学说明】从回顾判定定理来引出新知，帮助学生建立新旧知识的联系.二、思考探究，获取新知1.证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P83页.2.证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P84~85页.3.证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P85页.【教学说明】教师带领学生探究证明方法，指导学生书写过程，并指出不足之处.三、运用新知，深化理解1.下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似.（2）所有的等腰三角形都相似.（3）所有的等腰直角三角形都相似.（4）所有的等边三角形都相似.分析：（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同.（2）不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.（3）正确.设有等腰直角三角形ABC和A′B′C′，其中∠C=∠C′=90°，则∠A=∠A′=45°,∠B=∠B′=45°，设△ABC的三边为a、b、c，△A′B′C′的三边为a′、b′、c′，则a=b,c=a,a′=b′,c′=a′，∴a/a′=b/b′,c/c′=a/a′，∴△ABC∽△A′B′C′.（4）正确，如△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此△ABC∽△A′B′C′.解：（1）、（2）不正确.（3）、（4）正确.2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（B）A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（A）4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理，可知：△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC，∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB，∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.5.已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，连接ED，求证：△DBE∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例.从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决.证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD，∴△CBE∽△ABD.∴，即：.△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD，∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC，∴∠DBE=∠ABC且，∴△DBE∽△ABC.【教学说明】培养和提高学生利用已学知识解决实际问题的能力.四、师生互动，课堂小结1.相似三角形有哪几种判定方法？2.上述几种判定方法如何进行证明？3.你还存在哪些疑惑？1.布置作业:教材“习题4.9”中第1、2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.

6利用相似三角形测高1.让学生会用相似三角形解决实际问题.2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等一些实际问题.3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.【教学重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.【教学难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.一、情境导入,初步认识在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家.一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？【教学说明】教师利用金字塔的事例导入新课，激发学生的兴趣，提高学生探究新知的欲望.为本节课问题的探究作出准备.二、思考探究，获取新知1.利用阳光下的影子测量旗杆高度.从图中我们可以看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形.即△EFD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.2.利用标杆测量旗杆高度.当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE，DG=AB，由得GC=，∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.［对比］过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC∴由，可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.3.利用镜子的反射测量旗杆高度.这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，可求得BC=.问：你还可以用什么方法来测旗杆的高度？现在你能测量金字塔的高度了吗？【教学说明】让学生进行观察，分析，探究，交流解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力，体验数学与生活的密切关系.三、运用新知，深化理解1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，CE=30米，求BC.由于△ADF∽△AEC,，又△AGF∽△ABC，∴，∴，从而可以求出BC的长.解：∵AE⊥EC,DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC,∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC.∴.又GF⊥EC,BC⊥EC，∴GF∥BC,∠AFG=∠ACB,∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴，∴.又DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，EC=30米，∴BC=6米.即电线杆的高为6米.2.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（1丈=10尺，1米=3尺）解：AB=2510米，BD=30750步.【教学说明】进一步加深学生对相似三角形知识的理解，培养学生的应用能力，并获得学习数学的喜悦感.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1、布置作业：教材“习题4.10”中第1~4题.2、完成练习册中相应练习.

7相似三角形的性质第1课时相似三角形对应线段的比1.理解并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比与相似比之间的关系2.对性质定理的探究：学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度.3.在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.【教学重点】相似三角形性质定理的探索及应用.【教学难点】相似三角形的性质与判定的综合应用.一、情境导入，初步认识1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3.相似三角形的判定方法有哪些？4.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？5.相似三角形还有其它的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其它性质.【教学说明】回顾前面所学的知识，为本节课的学习作铺垫.二、思考探究，获取新知如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′，又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AB︰A′B′=k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.【教学说明】学生小组内交流讨论，写出过程，教师点评.三、运用新知，深化理解1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且，B′D′=4，则BD的长为6.解析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，，即，∴BD=6.2.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8cm，A′D′=3cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为.3.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（D）A.B.C.D.解析：由题意可知△DAO∽△DEA，∴==.所以选D.4.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.（1）则图中有几对相似三角形;（2）若AD=9cm，CD=6cm，求BD；（3）若AB=25cm，BC=15cm，求BD.解析：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.（2）∵△ACD∽△CBD，∴，即，∴BD=4（cm）.（3）∵△CBD∽△ABC，∴，即，∴BD==9（cm）.5.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，∴△CDF∽△BGF.（2）解：∵△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，∴△CDF≌△BGF，∴DF=FG，CD=BG，又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG，得2EF=AB+BG.∴BG=2EF-AB=2×4-6=2cm，∴CD=BG=2cm.【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1、布置作业：教材“习题5.11及5.12”中第1、3题.2、完成练习册中相应练习.

第2课时相似三角形的对应周长比与面积比1.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系.2.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合理推理和有条理的表达能力.3.培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的价值.【教学重点】相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系.【教学难点】相似三角形的面积比等于相似比的平方.一、情境导入，初步认识我们已经学过哪些三角形的性质？有一块面积为100平方米，周长为80米的三角形绿地一块，由于学校改建，绿地被削去一角，变成一个梯形，原来绿地一边AB的长由原来的30米，缩短成20米，你能求出被削去的部分面积和周长是多少吗？【教学说明】通过这个情境，目的是为了让学生了解学习相似三角形的性质是生活的需要.激发学生探索新知，验证自己猜想的欲望，同时揭开本节课所要学习内容的实质.二、思考探究，获取新知如图，△ABC∽△A′B′C′，，AD、A′D′为高线.（1）这两个相似三角形周长比为多少？（2）这两个相似三角形面积比为多少？分析：（1）由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k，由等比性质可知（AB+BC+AC)︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k，（2）由题意可知△ABD∽△A′B′D′，所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k，因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）=k2.【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合作交流，找出解决问题的方法.【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.三、运用新知，深化理解1.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE=1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（B）A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶12.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（A）A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.４，6分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.3.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，AB∶A′B′=.分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得AB∶A′B′=.4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的倍.解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的倍.5.已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.解：设△ABC的三边依次为：BC=5，AC=12，AB=13，则∵AB2=BC2+AC2，∴∠C=90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=90°.==，而.所以，S=120.6.（1）已知，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长之差为560cm，求它们的周长.分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z-2y=40，∴6k+20k-6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10.（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm.【教学说明】“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这些例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系.【归纳结论】（1）解此类题目先设一个未知量，再根据已知条件列方程求得未知量的值，从而代入求解；（2）此题需熟悉相似三角形的性质：相似三角形周长比等于对应高的比.四、师生互动、课堂小结1.两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，对应高的比等于它们的相似比，面积比等于相似比的平方.2.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.能够利用相似三角形的性质解决问题.1.布置作业：教材“习题4.12”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.8图形的位似第1课时位似图形及其画法1.了解图形的位似的概念，会判断简单的位似图形和位似中心.2.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题.3.采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.使学生亲身经历位似图形的概念形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学知识的实用性.【教学重点】图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小.【教学难点】探索位似概念、位似图形的性质及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小.一、情境导入,初步认识下列图片是形状相同的一组图形.在图①上取一点A与图②上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其它点呢？【教学说明】展示现实生活中的位似图形，让学生体会本课的价值，激发学生的兴趣.启发学生寻找图形的特点.二、思考探究，获取新知观察下面图形，有相似图形吗？如果有，有什么特征？【教学说明】教师演示引导学生观察对应点连线、对应边有什么特点.【归纳总结】如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形.三条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行（或在同一直线上）.2.把下面的四边形缩小到原来的(相似比是或位似比是).解：（位似中心在图形外）作法略.四边形A′B′C′D′即为所求.你有其他画法吗？请互相交流.【教学说明】启发学生自己画，引导学生利用位似图形的性质画位似图形.组织学生讨论位似中心的位置有几种情况并画出图形.【归纳总结】画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论.三、运用新知，深化理解1.下列说法中正确的是（D）A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等2.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm,OB=15cm，则AC的长度为8cm.3.如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为.若五边形ABCDE的面积为17cm2，周长为20cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为，周长为10cm.4.如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为7∶4；△OAB与△OA′B′是位似图形，位似比为7∶4.答案：△A′B′C′7∶4△OA′B′7∶45.如图：三角形ABC，请你在网格中画出把三角形ABC以C为位似中心放大2倍的三角形.【教学说明】小组合作交流、探究，动手操作.通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1.布置作业：教材“习题4.13”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.

第2课时平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小.2.理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形.3.在具体活动操作中，培养学生的动手操作能力，进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，进一步培养学生综合运用知识的能力，体验成功的喜悦，树立良好的数学自信心.【教学重点】用图形的坐标变化来表示图形的位似变换，能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.【教学难点】体会用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律.一、情境导入，初步认识问题如图，已知点A（0，3），B（2，0）是平面直角坐标系内的两点，连接AB.（1）将线段AB向左平移3个单位得到线段A1B1，画出图形，并写出A1，B1的坐标；（2）作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出A2，B2点的坐标；（3）将线段AB绕原点O旋转180°得到线段A3B3，画出图形，并写出A3，B3的坐标.（4）以原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小，得到线段A4B4，请在图中画出线段A4B4，写出A4，B4坐标.观察对应点坐标的变化，你有什么发现？【教学说明】问题（1）、（2）、（3），从学生已有的知识入手，以问题为载体，自然复习平移、轴对称、旋转等变换.而问题（4），则是承上启下为新课的学习做好铺垫，同时，与问题（1）、（2）、（3）一起形成了完整的知识结构，这样以旧引新，帮助学生建立新旧知识间