2025-2026学年15.3.2 等边三角形 导学案 人教版数学八年级上学期 含答案

/15.3.2等边三角形15.3.2第1课时等边三角形的性质与判定素养目标1.知道等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形是轴对称图形.2.会叙述、推理证明等边三角形的性质和判定.3.经历应用等边三角形性质和判定的过程,增强分析问题、解决问题的能力.等边三角形的性质、判定及其应用.【自主预习】1.等边三角形的三个角有什么关系?2.满足什么条件的三角形是等边三角形?1.在一个三角形中,添加下列条件,不能得到该三角形是等边三角形的是()A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形C.有一个角是60°的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形2.在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC的长为()A.2 B.3 C.4 D.5【合作探究】知识点一：等边三角形的性质阅读课本本课时“探究”后面第一、第二自然段的内容,解答下列问题.如图,△ABC是等边三角形,试完成如下证明过程.证明:在等边△ABC中,由定义有AB=.

∴=∠C.同理可得∠B=∠A,∠A=∠C,∴∠A==.

又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=.

等边三角形的三个角都,并且每一个角都等于.

如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为()A.25°B.60°C.85°D.95°知识点二：等边三角形的判定阅读课本本课时“探究”后面第三自然段至“例4”的内容,解答下列问题.1.如果一个三角形有两个角是60°,那么第三个角的度数为,从而可知该三角形是三角形.

2.若一个等腰三角形有一个角等于60°(若这个角是顶角,则两个底角分别等于;若这个角是底角,则另一个底角为,顶角为60°),则这个三角形是三角形.

判定一个三角形是等边三角形的方法:①定义法:的三角形是等边三角形.

②的三角形是等边三角形.

③有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

1.在△ABC中,∠A=60°,添加下列一个条件后,仍不能判定△ABC为等边三角形的是()A.AB=AC B.∠A=∠BC.AD⊥BC(D为BC上一点) D.∠B=∠C2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,AD=DC=BC,且∠A=30°,AD=5,则AB的长为.

题型等边三角形判定与性质的综合应用例如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.(1)求证:△ABD是等边三角形.(2)求证:BE=AF.变式训练如图,在△ABC中,∠B=60°,延长BC到点D,延长BA到点E,使AE=BD,连接CE,DE,使EC=DE,求证:△ABC是等边三角形.

15.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质素养目标1.通过拼图,探索、发现、归纳、证明含30°角的直角三角形的性质.2.掌握有一个角为30°的直角三角形的性质与应用.含30°角的直角三角形的性质定理及应用.【自主预习】在直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么数量关系?1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,AB的长为()A.2 B.4 C.6 D.82.如图,∠C=90°,∠B=2∠A,AB=6,则线段BC的长为.

【合作探究】知识点：含30°角的直角三角形的性质阅读课本本课时的全部内容,解答下列问题.1.如图1,若△ABC是等边三角形,AD是高,因为等边三角形是轴对称图形,沿AD折叠后,点B与点C重合,则BD==12,∠ADB=∠ADC=,∠BAD=∠CAD==°又AB=BC,∴BD=AB.

2.上述结果我们也可以采用如下方法证明:如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=.

如图3,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,又AC=,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴AB=,∴△ABD是三角形,∴BC=BD=12在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的.

1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm,则斜边的长为()A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm2.(真情境)如图,这是屋架设计图的一部分,D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE均垂直于横梁AC,AB=8米,∠A=30°,则DE的长为()A.4米 B.3米C.2米 D.1米3.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,若AD=2,则BD的长为.

题型1含30°角的直角三角形的性质的应用例1如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,过点P作PC平行OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,且PC=6.(1)求证:△OPC是等腰三角形.(2)求PD的长.变式训练如图,在△ABC中,∠ACB=30°,线段AC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,点O在DE上,∠OAB=∠OBA.(1)求证:△OAB是等边三角形.(2)若OD=2,OE=4,求BE的长.题型2含30°角的直角三角形的性质的实际应用例2如图,一艘轮船由南向北航行,在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船仍按15海里/时的速度向前航行,有无触礁的危险?请判断并说明理由.【方法归纳交流】当题目中有15°的角出现时,常构造三角形解决问题.

变式训练(真情境)某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形ABC空地上种植某种草皮美化环境,其中AB=20m,AC=40m,∠BAC=150°.已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少钱?

15.3.2第1课时等边三角形的性质与判定参考答案【自主预习】预学思考1.解:等边三角形的三个角相等且都等于60°.2.解:三个角都相等的三角形或有一个60°角的等腰三角形是等边三角形.自学检测1.D2.A【合作探究】知识生成知识点一AC∠B∠B∠C60°归纳总结相等60°对点训练D知识点二1.60°等边2.60°60°等边归纳总结①三条边都相等②三个角都相等③60°对点训练1.C2.10题型精讲例证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC=12∠∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠DAC=12×120°=60°∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形.(2)由(1)可知,△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.∵∠EDF=60°,∴∠ADB=∠EDF,∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中,∠∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.变式训练证明:如图,延长BD至点F,使DF=BC,连接EF.∵EC=ED,∴∠ECD=∠EDC,∴∠ECB=∠EDF,∴易证得△ECB≌△EDF(SAS),∴BE=EF.∵∠B=60°,∴△BEF为等边三角形,∴BE=BF.∵AE=BD,∴DF=AB.∵BC=DF,∴AB=BC,∴△ABC是等边三角形.15.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质参考答案【自主预习】预学思考解:在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半.自学检测1.D2.3【合作探究】知识点1.CDBC90°12∠BAC302.60°ACAD等边1归纳总结一半对点训练1.B2.C3.6题型精讲题型1例1解:(1)证明:∵OP平分∠AOB,∴∠POB=∠POA.又∵PC∥OA,∴∠POA=∠OPC,∴∠POB=∠OPC,∴OC=PC,∴△OPC是等腰三角形.(2)如图,过点P作PE⊥OB,垂足为E.∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°,∴∠POC=12∠AOB=15°又∵∠POC=∠POA=∠OPC=15°,∴∠PCE=∠POC+∠OPC=15°+15°=30°.∵PE⊥OB,∴∠PEC=90°,∴PE=12PC=12×6=∵OP平分∠AOB,PE⊥OB,PD⊥OA,∴PD=PE=3.变式训练解:(1)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,∴OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB.∵OC=OA,∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=30°,∴∠OAB+∠OBA=180°-30°-30°=120°,∴∠OAB=∠OBA=60°,∴△OAB是等边三角形.(2)如图,过点O作OF⊥BC于点F.在Rt△CDE中,∠ACB=30°,DE=OD+OE=6,则CE=2DE=2×6=12,∠CED=60°,∴∠EOF=30°,∴EF=12OE=∴CF=CE-EF=12-2=10.∵OB=OC,OF⊥BC,∴BC=2CF=20,∴BE=BC-CE=20-12=8.题型2例2解:有触礁的危险.理由:过点P作PC⊥AB交AB延长线于点C(图略).∵∠PAB=15°,∠PBC=30°,∴∠APB=15°,∴∠