上海市长宁区2026届高三上学期一轮质检数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市长宁区2026届高三上学期一轮质检数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集U=−1,0,2．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为.3．设i为虚数单位，若复数z满足z⋅z+z4．在x−26的二项展开式中，x5．设a>0且a≠1，则函数6．若某圆锥的底面半径为1，高为1，则该圆锥的侧面积为．（结果保留π）7．已知物体的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系d=5sint−28．若用t替换命题“对于任意实数d，有d2≥0，且等号当且仅当d=0时成立”中的9．以双曲线x24−y210．将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为.11．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为x米（4≤x≤6）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为（1+212．已知平面向量a、b满足：|a|=1，b=m∈(1二、单选题13．设α∈R，则“cos2α=A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．已知事件A和事件B满足A∩B=A．事件A和事件B独立 B．事件A和事件B互斥C．事件A和事件B对立 D．事件A和事件B互斥15．我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的△ABC,CD⊥AB,∠A=30∘A．60∘ B．90∘ C．arctan216．设△AnBnCn的三边长分别为an、bn、cn，面积为Sn（n为正整数）．若b1A．SnB．SnC．S2n−D．S2n−三、解答题17．设函数y=fx的表达式为f(1)设ω=1，m∈R，若有且只有一个x0(2)若对任意的x∈R，皆有fx+f2π18．如图，已知在四棱柱ABCD−EFGH中，EA⊥平面(1)求证：HN//平面(2)若底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=19．2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为15,25,25,35,

(1)求所抽取的“青年人”的人数；(2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.①简述如何采用抽签法任选2人；②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.20．如图的封闭图形的边缘由抛物线Γ和垂直于拋物线对称轴的线段AB组成.已知AB=4，拋物线的顶点到线段(1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；(2)在该封闭图形上截取一个矩形CDEF，其中点C､D在线段AB上，点E､(3)求证：抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.21．已知y=f(x),y=g(x)都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数k，当m、n分别是y=f(x)和y=g(x)的驻点时，记(1)若f(x)=2x+1，(2)若f(x)=(x−1)2，(3)若y=f(x)的最小正周期为4，且g(−x−(1(3f0+0−0f极小值−极大值1极小值−已知f(x)和g(x答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《上海市长宁区2026届高三上学期一轮质检数学试卷》参考答案题号13141516答案BBDB1．0【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】因为U=−1所以A=故答案为：0,2．x【分析】设出抛物线的标准方程后，根据准线方程可解得结果.【详解】依题意可设抛物线的标准方程为：x2由p2=1所以该抛物线的标准方程为：x2故答案为：x2【点睛】本题考查了根据准线方程求抛物线的标准方程，属于基础题.3．2【分析】设复数z=a+bi，a,b【详解】设复数z=a+bi所以z⋅因为z⋅所以a2则a2+b故答案为：2.4．−【分析】写出通项公式，利用通项公式求指定项的系数即可.【详解】二项式x−26令6−r=3，可得r=故答案为：−1605．(【分析】令x=1，求得【详解】令x=1，可得所以函数y=2+故答案为：(16．2【分析】首先求出母线，再由侧面积公式计算可得.【详解】因为圆锥的底面半径r=1，高h=1，设母线为所以该圆锥的侧面积为πr故答案为：27．2【分析】由瞬时速度的意义，求出函数在t=【详解】函数d=5sint−所以所求瞬时速度为2ms故答案为：28．a−b（答案不唯一，可以为【分析】根据给定的信息，取正数a,【详解】取正数a,b，则a+因此a+b≥于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.显然t2=(故答案为：a9．43/【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程、离心率及右焦点坐标，再利用圆的切线性质列式计算得解.【详解】双曲线x24−y2m=依题意，m⋅4+故答案为：410．2【分析】先求出四面体其中一个面的高，确定正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】

如图为棱长为2的正四面体，作BD⊥AC，在△ABC中，AB=根据题意，正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，底面半径等于BD=3所以旋转后几何体的体积为：V=故答案为：211．0【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得（1+2x）×6【详解】若仓库前面墙体的长为x米（4≤x≤则甲工程整体报价为400×若乙队要确保竞标成功则（1+2所以6k×10因为4≤x≤当且仅当24x+2所以函数y=24x+2故6k×102<400，则故答案为：0，12．m,1【分析】讨论a,b=0时情况以及判断a,【详解】由题意有：当a,b=0时，可得当c与即此时|a⋅c|+此时a⋅由于a+b⋅所以假设a,b≥故a,b=θ∈此时b,此时|a==m2sin而m2当sinα依题意可得m2sin2由于5−m22m故令5−m22即得a⋅bmax由于m=6−所以a⋅b的最大值为m,故答案为：m,1<【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设出a,b=13．B【分析】根据余弦二倍角公式由cos2α=【详解】因为cos2α=13，则cos则“cos2α=故选：B.14．B【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可.【详解】因为事件A和事件B满足A∩B=∅，则一定可以得到事件因为PAB=0，当PA，PB不为抛掷一枚骰子，记出现1点为事件A，出现2点为事件B，则A=2,3,4,故选：B15．D【分析】设CD=1，根据题意求出四面体的棱长，二面角A′−【详解】△ABC不妨设CD=1空间四面体A′BCD是一个“鳖臑”，则若A′B>A′D，则此时△A所以A′B<A′D，在此时满足△A′B由A′D⊥CD，BRt△A′BD所以二面角A′−C故选：D.16．B【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边Bn【详解】

由已知an+1=an，即△A又bn+1则bn即bn又b1所以bn即An所以动点An到定点Bn，满足双曲线定义，所以动点An的轨迹为以Bn，如图所示，所以Sn又bn所以数列bn+cn是以则数列bn所以当n增大时，bn+c此时An向远离A处运动，即y所以Sn即数列Sn为严格增数列，且S2n故选：B.17．(1)5π(2)2π【分析】（1）求x+π4（2）由条件列关系式，确定ω的值，再由周期公式求周期.【详解】（1）当ω=1时，则y=当x∈0,因为有且只有一个x0∈0所以3π2<所以m的取值范围是5π（2）因为对任意x∈R，所以fx的图像关于点π则ω×解得ω=3k所以ω=由−π8<x<因为函数fx=sin令t=ωx可得，函数y所以−π2≤所以k=1，ω=所以函数y=fx18．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）连接BE交AF于点O，连接ON，OM，根据棱柱的性质及中位线的性质得到ON//H（2）由AD//EH，可得∠BAD【详解】（1）连接BE交AF于点O，连接ON在四棱柱ABCD−EFGH中，四边形又N、M分别是EF、H所以ON//AE且ON所以ON//HM且所以HN//OM，又HN⊄平面AFM，（2）因为异面直线AB与EH所成角为π2所以∠BAD即为异面直线AB与EH又EA⊥平面如图建立空间直角坐标系，则A0,0,0，N所以AN=1,0设平面AFM的法向量为n=x,设直线AN与平面AFM所成角为θ所以直线AN与平面AFM19．(1)80(2)①答案见解析；②事件A与事件B不独立，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图求得a的值，然后求得“青年人”人数占比，从而可得“青年人”人数；（2）①利用简单随机抽样设计抽签法任选2人即可；②根据独立事件判断公式，结合超几何分布概率问题求解PA【详解】（1）由频率分布直方图可得2a+0.01又“青年人”占比为0.015+所以所抽取的“青年人”人数为200×（2）①先将10名参会者进行编号：1、2、⋯、10，并将10个号码写在完全相同的纸片上，放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人，②“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为0.04:所以10人中“中年人”共有5人，2人均为“中年人”的概率PA2人中至少有1人为男性的概率PB2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率PA因为PA∩B≠P20．(1)详见解析；(2)2π(3)证明见解析.【分析】（1）建立坐标系，求抛物线Γ的方程及AB（2）结合圆柱的性质及体积公式求出圆柱的体积表达式，再求其最值；（3）结合导数的几何意义求切线方程，再求两切线交点，由此证明结论.【详解】（1）如图建立平面直角坐标系xO设抛物线Γ的方程为y=ax则曲线Γ过点2,2，所以2=所以，曲线Γ的方程为y=线段AB的方程为y（2）设Ex,y以CF为母线的圆柱的底面半径r1满足所以r1所以圆柱的体积V1所以V1所以，当x=2时，其体积取得最大值（3）证明：因为函数y=12所以，抛物线Γ上任意一点x,y的切线斜率为设l1,l2是抛物线则其方程分别为l1且x1消去x，解得x1因为x1≠x故抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线y=21．(1)f(x)和g(2)a(3)k=【分析】（1）根据题意将f(x)=2x+（2）根据题意找到y=f(x),y（3）利用必要性可得k=【详解】（1）Δy=所以f(x)和g（2）由f' (x又g'当a=0时，当a≠0时，g(x由题意可知a−1解得a∈（3）f(x)=首先证明必要性：当f(x)=g因为f(x)和g(x)满足又k是正整数，故k=1其次证明充分性：由题意可知−1≤f(x)≤①

当x≠4k±1否则，若存在x0≠4k±因为−1<f同理，g(x故f(所以|g(x同理，f(x)所以f(x②当x=4k−1任意t∈(−1,若存在k∈Z,t0所以g(由已知f(4k于是有0≥1，矛盾，所以所以f(得−1因为−1<f(t)<③当x=