贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考试题 数学

贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知向量，向量，则（

）A． B． C． D．2．若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．“”是“直线与直线互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（

）A． B．C． D．5．如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（

）A． B．C． D．6．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（

）A．的周长为8B．存在点使得C．满足的点有且只有4个D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为7．如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线和圆，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点B．直线一定与圆相交C．直线被圆截得的最短弦长为4D．圆与圆有3条公切线10．如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（

）A．当时，点到直线AC的距离为B．当时，直线AP与平面所成角的正弦值是C．若，则点在平面内D．若，则点在平面内11．已知过点的抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过焦点作两条相互垂直的直线分别交于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（

）A．若直线AB的斜率为1，则B．若点平分弦AB，则直线AB的方程为C．的最小值为D．若，则三、填空题12．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为.13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为．14．椭圆上有一动点，左、右焦点分别为和，过作圆的切线，切点分别为A，B两点，则的最小值为.四、解答题15．已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为.(1)求直线的方程；(2)已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程.16．如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点.(1)求证：平面ACE；(2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离.17．已知双曲线的实轴长为2，焦距为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积.18．如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙.(1)求证：平面平面AECD；(2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；(3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值.19．如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.(1)若，求点的坐标并证明点在椭圆上；(2)证明：点在同一个椭圆上；(3)若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值.

1．D应用向量线性关系的坐标运算求.【详解】由，则，所以.故选：D2．B根据抛物线的定义可求得.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以，所以点到焦点的距离与点到其准线的距离相等，即，故选：B．3．A根据两直线垂直得到方程，求出或，从而得到答案.【详解】“直线与直线互相垂直”的充要条件为：或.因为“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A．4．D应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.【详解】.故选：D5．A由题意可知圆心在y轴上，设圆心，结合圆的定义可得，，即可得圆的方程.【详解】由题意可知：，由对称性可知圆心在y轴上，设圆心，半径，因为，则，解得，可得，所以所求圆的标准方程为.故选：A．6．C首先根据椭圆方程求，再根据椭圆的定义和性质，即可判断选项.【详解】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误；当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误；时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确；如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误.故选：C．7．B设，，则，，求出，，则根据即可求解.【详解】不妨设，，则，，由，则，于是，在中，由余弦定理，，则，设直线与所成角为，则，故选：B．8．C根据对称性以及得出四边形为矩形，再结合定义得出，，最后在中利用勾股定理即可.【详解】连接，因，且为线段的中点，则四边形为矩形，则，因，则，则，，在中利用勾股定理得，，则，故椭圆的离心率为.故选：C．9．ABC首先求出直线所过定点的坐标，进而根据直线与圆的位置关系即可判断选项B，C，根据圆心距与半径之间的关系可判断圆与圆之间的位置关系，进而判断选项D.【详解】对于A选项，直线的方程可整理为：，因为故需使，即直线过定点，故A项正确；对于B选项，由A知直线过定点，而点在圆内，所以直线一定与圆相交，故B项正确；对于C选项，因为直线过定点，当OA垂直于时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时直线被圆截得的最短弦长为，故C项正确；对于D选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距为，因为介于与之间，所以两圆相交，公切线有条，故D错误.故选：ABC．10．BCD以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量求得点到直线AC的距离判断A；利用向量求出直线AP与平面所成角的正弦值判断B；根据空间向量共面定理判断C、D.【详解】对于A：如图，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建系，则，，，，，所以，则，故，故A错误；对于B：根据A选项可知.又，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，所以.设直线与平面的夹角为，则，故B正确；对于C：当时，，由共面向量定理知，共面，所以点在面内，故C正确；对于D：，所以，共面，所以点在面内.故D正确.故选：BCD．11．ACD将Q的坐标代入抛物线得的值，从而得到抛物线C的方程及焦点，易知直线AB，MN的斜率存在且不为0，设的坐标，对于A选项，利用点斜式求出直线的方程，将直线代入抛物线，得到关于的一元二次方程，，利用韦达定理得到，利用公式求出；对于B选项，设直线AB的方程为，代入，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到，，由为AB的中点，利用中点坐标公式求出的值，从而得到直线的方程；对于C选项，利用弦长公式求出，同理得到，计算，利用基本不等式得解；对于D选项，由得到，利用数量积公式得解.【详解】将的坐标代入，得，解得，故抛物线C的方程为，，由题意可知直线AB，MN的斜率存在且不为0，设，对于A选项，直线的斜率为1，过，直线的方程为，代入，得，整理得，，，，故选项A正确；对于B选项，设直线AB的方程为，代入，得，整理得，恒成立，，，为AB的中点，，直线的方程为：，故选项B错误；对于C选项，由B选项知，同理，，，当且仅当时取等，故选项C正确；对于D选项，准线与轴的交点，，由B选项知，，，，，，，，，，故选项D正确.故选：ACD．12．根据题目条件求出代入即可求出标准方程.【详解】，代入由右焦点得，，代入，故，故双曲线的标准方程为.故答案为：13．根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解．【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点，连接，如图3：显然，在中，，因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可，而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离，于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d，而，因此，，所以切线长最短为．故答案为：．14．/设，利用数量积的定义求出，再令，结合对勾函数求最值.【详解】设，由题意可得，，则令，则，因，，即，则，由对勾函数可知在上单调递减，则当，有最小值，最小值为.故答案为：15．(1)(2)或（1）根据题意可知直线的斜率为1，结合直线的点斜式方程运算求解；（2）设的方程为，，求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长，运算求解即可.【详解】（1）因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即（2）因为直线与直线平行，可设的方程为，，因为圆的方程为，可知半径，圆心为，则圆心到直线的距离为，且直线与圆相交所得弦长为，解得或，所以的方程为或.16．(1)证明见解析(2)（1）连接AC，交BD于O，连接EO，先由三角形中位线得PB//EO，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量，利用空间点到平面的距离公式求解即可.【详解】（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO.因底面ABCD是矩形，则，又因是PD的中点，所以.又平面，平面，则平面.（2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，E是PD的中点，所以，则，

设平面ACE的一个法向量为，那么，所以，令，则，所以，于是，所以点Q到平面ACE的距离为.17．(1)(2)（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程；（2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为可得，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为联立方程组，整理得，设，则且，由弦长公式，可得，又由原点到直线的距离为，所以的面积为.18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，可得，所以，所以，所以，因为，，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则.，设平面的一个法向量，则，取，可得，所以，又由平面的一个法向量，设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.（3）解：由，可得，其中，则，设平面的一个法向量，则，取，可得，所以，又由平面的一个法向量，设平面与平面所成夹角为，则，解得，19．(1)，证明见解析(2)证明见解析(3)或【详解】（1）当时，直线①，