湖南省新高考教学教研联盟2026届高三上学期12月联考试题（长郡二十校联盟） 数学

湖南省新高考教学教研联盟2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题一、单选题1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．34．的展开式中，的系数为（

）A．80 B．40 C． D．5．已知向量与的夹角为，，，则（

）A． B．0 C． D．26．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（

）

A． B． C． D．7．已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在轴、轴上，离心率分别为，，则的最小值为（

）A．4 B． C．3 D．8．若，，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（

）A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为10．正方体中，点分别为棱的中点，则（

）A． B．平面C．平面 D．11．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，，若，则（

）A． B．C．面积的最小值为1 D．三、填空题12．已知，则.13．在正项等比数列中，若，，则.14．已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为.四、解答题15．记的内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若的角平分线交边于点，，，求的周长.16．如图，在四棱锥中，平面，且，，，，是的中点.若四棱锥有外接球.

(1)求四棱锥外接球的体积；(2)求二面角的余弦值.17．将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”.(1)当时，求“配球”个数的分布列和期望.(2)已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则.（i）求“配球”个数的期望.（ii）若满足：当时，；当时，；当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望.18．已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率不存在，求的中心坐标；(3)求证：点不是的中心.19．已知函数.(1)若，求证：；(2)若数列满足，前项和为，求证：；(3)若等差数列的公差，前项和为，，求.

参考答案1．A【详解】令，解得，则，因为，所以，故A正确.故选：A2．C【详解】由，所以复数的虚部为．故选：C．3．B【详解】由角的终边过点，得，所以.故选：B.4．D【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取，即可得出含的项，其为，故的系数为.故选：D5．D【详解】，又，所以，则.故选：D6．B【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，将区域还原到如图所示圆柱中.

由图可知，，，由扇形的弧长公式可知，的长为，结合圆柱的侧面积公式可知，所以，所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为.故选：B7．D【详解】设双曲线，，，，，，则对于，其半焦距为，长半轴为，则；对于，其半焦距为，长半轴为，则，则，结合（当且仅当时取等号）及基本不等式，，当且仅当时取等号.故选：D8．A【详解】由，得，，由，得，，若，，使得，则的区间长度要不小于的解集的区间长度，，.故选：A9．BCD【详解】因为点与点关于点对称，所以，则，又，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为，故BCD正确，A错误.故选：BCD10．BC【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.A：因为，所以，因为，所以不成立，故本选项说法不正确；B：因为，所以，因为，所以，而平面，所以平面，因此本选项说法正确；C：设平面的法向量为，因为，所以，于是有，，因为，平面，所以平面，因此本选项说法正确；D：因为，所以，而，显然不存在实数，使得成立，所以不成立，因此本选项说法不正确，故选：BC11．ACD【详解】如图：选项A：由题意知，曲线过点，延长交抛物线于点，由对称性可知点与点关于轴对称，则，不妨设直线，则，所以，，，，故A正确；选项B：，则，故B错误；选项C：，则的最小值为1，故C正确；选项D：，，，，故D正确.故选：ACD12．1【详解】由知，，，同理可得.得到.故答案为：113．1024/【详解】由题意知，，因为正项等比数列，所以，由，可得，所以，即.故答案为：14．【详解】令，则，令，，在区间上单调递增，且，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，令，易知在区间上单调递增，又，，.故答案为：15．(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理，得，，，，，，，或.，，，即.（2）如图：

，，①，又在中，由余弦定理可得，即②，将①代入②得，或（舍）,.的周长为.16．(1)(2)【详解】（1）平面，四棱锥有外接球，四边形有外接圆，，为四边形的外接圆的直径，的中点为圆心，且，是的中点，，，取的中点，连接，，则，平面，平面，，外接球的球心即为点，半径为，外接球的体积为.（2）法一：如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

由（1）知，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，，由图可得，二面角的余弦值为.法二：，，中，，，，，，，设点到平面的距离为，，，解得，记大小为，，.17．(1)分布列见解析，期望为1(2)（i）；（ii）【详解】（1），，，，则的分布列为013.（2）（ⅰ）记则，，.（ⅱ）记则，设第个球是“顶球”的概率为，则，，当时，，.18．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意知解得则椭圆的方程为.（2）不妨先设直线，如图，

为正三角形，不妨设，分别在轴的上、下方，则直线的斜率为，设直线，，联立，直线与椭圆相切，，解得，即直线过点，同理可得，直线过点，.此时，关于轴对称，的中心在轴上，坐标为，同理，当直线为时，由对称性可知，的中心坐标为，综上，的中心坐标为.（3）由（2）可知，当三条切线，，中有一条直线斜率不存在时，的中心不是点.当三条切线，，的斜率都存在时，

设，，，，设，则，整理得，，，，，，，，，同理可得，，，假设点是的中心，则点到，，的距离相等，，，，，，，中必有两