第5章专题02复数及其应用（题型篇）（原卷版）

专题02复数及其应用题型1复数的概念1虚数单位的性质i叫做虚数单位，并规定：①i可与实数进行四则运算；②i2=-1，这样方程x2=-1就有解了，解为③i2=-1,i32复数的概念①定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做实部，b叫做虚部.全体复数所成的集合C叫做复数集.复数通常用z字母表示，即z=a+bi(a,b∈R).②分类z=a+bi=【注意】z=a+bi的虚部是b，不是bi.1（2526高三上·湖北武汉·开学考试）若复数z满足z=3i+2i6，则A．-2i B．3i C．1 D2（2025高三·全国·专题练习）若复数z=1+3a-2-ai的实部、虚部互为相反数，则A．-52 B．-74 C．3（2025·湖北·模拟预测）已知z1,z2∈C，语句α:z1,zA．充要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要4（2024·福建·模拟预测）已知z1=k2-4+k2-5k+6iA．2 B．3 C．2或3 D．不存在5（2025·湖南娄底·模拟预测）当实数m取什么值时，复数Z=m（1）复数Z实数；（2）复数Z纯虚数；（3）复平面内，复数Z对应的点位于直线y=-x上.题型2复数的运算1运算法则设z1=a+bi(1)z(2)z(3)z2复数的运算，最终的结果写出z=a+bi(a,b∈R)的形式。1（2025·河北保定·三模）已知复数z满足z⋅i=1+2i，则zA．1 B．-i C．1 D．2（2425高三上·江苏镇江·阶段练习）若zz+1=1-i（其中i为虚数单位），则z=A．-1-i B．-1+i C．1-i3（2425高二下·河北承德·期末）已知复数z满足z-2i1-i=2，则A．1+i B．1-i C．1+3i4（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数z1=a+ia,zA．z1⋅B．z1的最小值为C．z1⋅D．当a=-1时，z15（2024·河北保定·二模）已知i为虚数单位.(1)若复数z满足1z=i(2)计算1+i题型3复数的几何意义1复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=2复数可看成个向量，求向量的运算也可以用平面向量的平行四边形法则或三角形法则。1（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数2-i1+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与1+i2+i对应的点关于实轴对称，则z=A．35+15i B．353（2425高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数1+2i，2+3i，3-2i，a+i对应的点Z1，ZA．-2 B．-1 C．-1或2 D．-2或24（2025·河南·模拟预测）如图，复数z对应的向量为OZ，且|zi|=5，则向量OZ在向量OP上的投影向量的坐标为（

）A．15,25 B．25,5（2425高三上·贵州贵阳·期末）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为x,y，且z满足z-1+i=1A．x+12+y+1C．x-12+y+16（2025·广东·模拟预测）设复数z1,z2满足z1A．23 B．3 C．2 D．7(多选)（2025高三·全国·专题练习）已知复数z1和z2在复平面内对应点Z1和Z2，且满足z1A．z2=1 B．z12=-z题型4复数相等与共轭复数1复数相等a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R)也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.2共轭复数z=a+bi的共轭复数记作z=a-bi，且z⋅3对于含共轭复数的等式，常常用待定系数法，设z=a+bi，再根据题意得到关于a，3关于共轭复数，满足zz=z【注意】只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.1（2025·山东·模拟预测）若复数z满足2z+z+2i=4+z-A．1+i B．1-i C．-1+i2（2025·河南·模拟预测）复数z满足z=12|z|+3iA．2+3i B．1-2i C．-3i3（2024·湖南·二模）关于复数z与其共轭复数z，下列结论正确的是（

）A．在复平面内，表示复数z和z的点关于虚轴对称B．z⋅C．z+z必为实数，z-D．若复数z为实系数一元二次方程ax2+bx+c=04（2025·山西·模拟预测）已知复数z=2-i1+A．z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 B．z的虚部为-C．z的共轭复数-12-325(多选)（2025·江苏盐城·模拟预测）复数z满足z=z+iA．z=1 B．zC．z-z=-i6(多选)（2025·甘肃定西·模拟预测）关于复数z1,zA．zB．zC．若z12D．若z1+i题型5复数的模1向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，表示点a,b即|z|=|a+bi|=a2求含复数模的等式，常常用待定系数法，设z=a+bi，再根据题意得到关于a，3对于复数z1,z2的模，满足1（2025·河南·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足2<z<3的点的集合组成的图形的面积是（A．4π B．5π C．6π2（2024·青海·一模）已知复数z=a-1-2aia∈R，且z=5，若zA．-2 B．-125 C．2 D3（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数z+|z|=(-8i+4)i，复数z的共轭复数为z，则zA．-4 B．3 C．-4i D．4（2025·河南·模拟预测）已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足2≤z≤3的点A．5 B．6 C．7 D．85（2024·宁夏·二模）设方程x2+x+1=0在复数范围内的两根分别为z1、z2，则下列关于z1A．z1=z2 B．z126(多选)（2025·湖北黄冈·三模）已知复数z1,zA．z1⋅zC．z1±z7（2025·辽宁·一模）设复数z1,z2满足z题型6复数的三角形式1一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形表示式.规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤2复数的代数形式z=a+bi与三角形式r(cosθ+isinθ)的互换a=rcosθ3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义设z1=则z1z1（2023·湖北·二模）复数21-3iA．cos-π3C．32+12（2023·辽宁·模拟预测）cos75°+A．32+12IB．32-123（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3-3i对应的向量a按顺时针方向旋转π3，所得向量在aA．23-3i B．3-23i C4（2025·河北·模拟预测）已知复数zk=cosθk+(sinθk+1)i(θ∈R)对应复平面内的动点为ZkA．1 B．62 C．3 D．5（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式exi=cosx+isinx（其中A．eπi为虚数 B．函数f(x)=C．若exi=1-3i26（2024·山东·模拟预测）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式[rcosθ+isinθ]n=rncosnθ+isinnθ，其中A．10 B．11 C．20 D．21题型7与复数有关的最值问题1根据复数的几何意义，理解与复数有关的轨迹是求最值的关键若z1(1)|z1-z2|(2)z-z1=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，2求与复数有关的最值问题，可采取几何法，先掌握复数满足的轨迹，再强调所求式子所含的几何意义，结合几何模型求出最值；3采取代数法，往往是三角换元.1（2025·广东·模拟预测）若复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么A．1 B．2 C．2 D．52（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数z满足z-1-i=1，则z+iA．1+5 B．3 C．1+3 D3（2024·广东·模拟预测）已知i为虚数单位，如果复数z满足z+2i+z-2i=4A．1 B．2 C．2 D．54(多选)（2025·四川巴中·二模）已知复数z的共轭复数记为z，对于任意的三个复数z1,zA．复数z=2+5iB．若z=(1+2i)C．已知复数z满足z-1=z+1，则z-1+D．若z1≠0，且z5（2425高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数z满足z=2，则z+4+z-4题型8复数方程1复数方程ax2m是方程ax2+bx+c=03x1,x2是方程4n次整式方程有n个解。1（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数z满足z2-z+2=0，则z=A．2 B．2 C．1 D．32（2025·河南新乡·模拟预测）已知x∈R，i是虚数单位，方程3x2-a⋅2A．9 B．10 C．11 D．123（2025·广东·一模）若3+i是关于x的方程x2-mx-n=0(m,n∈R)A．m=6,n=10 B．m=-6,n=-10C．m=-6,n=10 D．m=6,n=-104（2025·甘肃白银·模拟预测）若复数z为方程x2-2x+10=0的根，则z=A．10 B．3 C．5 D．25（2025·河南新乡·二模）已知f(z)=z10+①fz②fz=0共有③fz=0复数解