高一数学（人教A版）学案必修二板块综合概率与统计的综合问题

板块综合概率与统计的综合问题(阶段小结课—习题讲评式教学)[建构知识体系][融通学科素养]1．浸润的核心素养在概率与统计中作为高中数学课程中的一个重要内容板块承载着考查学生数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养以及阅读理解能力．2．渗透的数学思想(1)在统计图表的应用及概率问题中利用树状图求样本点的总数和事件A包含的样本点数考查数形结合思想．(2)在互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式、相互独立事件的概率、统计图表中样本数字特征的求解中，运用方程思想解题的关键就是抓住等量关系，列出方程(组)或函数式求解．(3)在解决概率的相关问题时，常常会用到转化与化归的思想方法．题型(一)概率与统计相结合[例1]海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于55kg的概率；(3)假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？(直接写出结果)听课记录：|思|维|建|模|破解概率与统计图表综合问题的3步骤[针对训练]1．下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．空气质量指数空气质量等级小于或等于100优良大于100且小于或等于150轻度污染大于150且小于或等于200中度污染大于200且小于或等于300重度污染大于300严重污染(1)观察空气质量指数趋势图，你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(只写出结论，不要求证明)(2)求此人到达当日空气质量优良的概率；(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．题型(二)概率与函数相结合[例2](2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值．听课记录：|思|维|建|模|本题主要考查概率与数字特征，涉及平均数、中位数，分层随机抽样，古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图求平均值时，不要与求中位数、众数混淆．[针对训练]2．一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九嶷山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否浏览哪个景点互不影响．设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．(1)记“|C|＝1”为事件A，求P(A)的值；(2)记“函数f(x)＝x＋eq\f(C,x)，在区间[1，＋∞)上单调递增”为事件B，求P(B)的值．(函数的单调性只需判断，不要求证明)题型(三)概率统计中的决策性问题[例3]一个口袋内装有形状、大小相同，编号为1,2,3的3个白球和编号为a的1个黑球．(1)从中一次性摸出两个球，求摸出的两个球都是白球的概率；(2)从中连续取两次，每次取一个球后放回，甲、乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？请说明理由．听课记录：[针对训练]3．某村为提高村民收益，种植了一批蜜柚，现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：克)均分布在区间[1500,3000]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间[1750，2000)，[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有蜜柚均以40元/千克收购；B．低于2250克的蜜柚以60元/个的价格收购，高于或等于2250克的蜜柚以80元/个的价格收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．课下请完成eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(课时跟踪检测五十六及阶段质量评价五))板块综合概率与统计的综合问题[题型(一)][例1]解：(1)由(0.004＋0.008＋0.010＋0.020＋0.044＋0.046＋a)×5＝1，所以a＝0.068.(2)设事件A，B分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，用频率估计概率，则P(A)＝(0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.22，P(B)＝(0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.32.因为A，B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.22×0.32＝0.0704，所以估计两个网箱的箱产量都不低于55kg的概率为0.0704.(3)新养殖法(旧养殖法的平均值估计为0.012×5×27.5＋0.014×5×32.5＋0.024×5×37.5＋0.034×5×42.5＋0.040×5×47.5＋0.032×5×52.5＋0.020×5×57.5＋0.012×5×62.5＋0.012×5×67.5＝47.1，新养殖法的平均值估计为0.004×5×37.5＋0.020×5×42.5＋0.044×5×47.5＋0.068×5×52.5＋0.046×5×57.5＋0.010×5×62.5＋0.008×5×67.5＝52.35，又52.35>47.1，所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适．)[针对训练]1．解：(1)通过观察空气质量指数趋势图可知，从2月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，所以从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．(2)通过观察空气质量指数趋势图可知，前13天有6天空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为eq\f(6,13).(3)通过观察空气质量指数趋势图可知，此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的情况有8次，所以此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率为eq\f(8,13).[题型(二)][例2]解：(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100.设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.设Y为未患病者的该指标，则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.(2)当95≤c≤100时，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；当100＜c≤105时，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.综上所述，f(c)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－0.008c＋0.82，95≤c≤100，,0.01c－0.98，100＜c≤105.))由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递减，在(100,105]上单调递增，作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.[针对训练]2．解：(1)由条件可知C的取值为－3，－1,1,3，当C＝1时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览，其概率为P(C＝1)＝0.5×0.5×0.4＋0.5×0.6×0.5×2＝0.4，当C＝－1时，表示的事件为该浏客游览了一个景点，有两个景点没有游览，其概率为P(C＝－1)＝0.5×0.5×0.4＋0.5×0.5×0.4＋0.5×0.5×0.6＝0.35，故P(A)＝P(C＝1)＋P(C＝－1)＝0.4＋0.35＝0.75.(2)当C＝－1时，f(x)＝x－eq\f(1,x)在[1，＋∞)上单调递增，当C＝－3时，f(x)＝x－eq\f(3,x)在[1，＋∞)上单调递增，当C＝1时，f(x)＝x＋eq\f(1,x)在[1，＋∞)上单调递增，当C＝3时，f(x)＝x＋eq\f(3,x)在[1，＋∞)上不是单调递增，P(C＝3)＝0.5×0.5×0.6＝0.15，故P(B)＝1－P(C＝3)＝1－0.15＝0.85.[题型(三)][例3]解：(1)从袋中一次性摸出两个球，所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)，共6个样本点；摸出的两个球都是白球，所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个样本点；则从中一次性摸出两个球，摸出的2个球都是白球的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)，共16个样本点，则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的样本点有(1，a)，(2，a)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)，共7个样本点．因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P＝eq\f(7,16)，即甲胜的概率为eq\f(7,16)，则乙胜的概率为eq\f(9,16)>eq\f(7,16)，所以此游戏不公平．[针对训练]3．解：(1)由题图可得蜜柚质量在区间[1750，2000)和[2000,2250)的比为2∶3，所以应分别在质量为[1750,2000)，[2000，2250)的蜜柚中抽取2个和3个．记抽取的质量在区间[1750,2000)的蜜柚分别为A1，A2，质量在区间[2000,2250)的蜜柚分别为B1，B2，B3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，其中质量均小于2000克的仅有A1A2这1种情况，所以所求概率为eq\f(1,10).(2)方案A好，理由：由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间[1500,1750)的频率为250×0.0004＝0.1，同理，蜜柚质量在区间[1750,2000)，[2000，2250)，[2250,2500)，[2500,2750)，[2750，3000]的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05，若按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为500,500,750,2000,1000,250，于是总收益为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1500＋1750,2)×500＋\f(1750＋2000,2)×500＋