第1章 二次函数期末复习（知识清单）（答案版）-浙教版(2024)九上

第1章二次函数1.形如的函数叫做二次函数。其中：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.2.二次函数有三种表达式，分别为：（1）一般式：.（2）顶点式：.优点：已知顶点（h，k）（3）交点式：.优点：已知抛物线与x轴交点（x1,0）、（x2,0）3.求二次函数解析式时，当不知道顶点或与x轴交点时，通常用一般式求解；已知顶点坐标时，选用顶点式求解更简单；已知抛物线与x轴两交点坐标时，用交点式求解更简单。4.二次函数一般式往顶点式的转化方法：①提取二次项系数；②将括号内的部分配成一个完全平方式＋一个常数的形式；③将常数部分写开，得顶点式5.二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。6.|a|的几何意义：|a|决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.7.抛物线的平移口诀：“左加右减（x），上加下减（整体）”8.图象的旋转、对称规律：已知顶点式关于x轴对称时：→；关于y轴对称时：→；关于原点成中心对称时：→；关于平面内一点（p,q）成中心对称时：→；9.二次函数图象与a、b、c的关系a的特征与作用b的特征与作用(a与b“左同右异”）c的特征与作用二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a、b、c单个字母的判断，a由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;③含有a、b、c三个字母，且a和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，含有a、b、c三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b2和4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。10.当a＞0时，若，则y随x的增大而减小；若，则y随x的增大而增大；此时函数的有最小值为；当a＜0时，若则y随x的增大而增大；若，则y随x的增大而减小；此时函数的有最大值为11.利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下：①设未知数，用含未知数的代数式表示销售单价或销售量及销售收入②用含未知数的代数式表示销售商品成本③用含未知数的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值12.结合二次函数表达式及其性质的实际问题，比如图形运动问题，面积问题等；首先根据题意列出自变量与函数值之间的二次函数关系，然后解决实际问题13.结合二次函数图象的实际问题，比如抛球问题、喷水问题和拱桥问题，都需要通过图象相关的已知条件的描述求出对应图象的二次函数表达式，然后解决图象中要解决的实际问题14.最值问题的实际应用，一般都是先求出对应的二次函数表达式，结合表达式反映的最值情况解决实际问题中的最值问题。如图形的最大面积、经营问题的最大利润、等。特别要注意的是，实际问题中x有取值范围，需要在取值范围中考虑函数值的最大最小值，同时也要结合增减性一同判断。15.二次函数的图象与一元二次方程间的关系当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴无交点；同样的，可以通过观察一元二次方程对应的二次函数的图象与x轴的交点个数，判断其系数的关系，或根据x轴交点的具体位置，估计出一元二次方程的解。一、二次函数及其表达式1.二次函数的定义错误：在二次函数的定义一般表达式中，忽略a≠0；或忽略最高次数为2的条件。注意：二次函数一般式中，a≠0，且最高次次数为2，在判断时，应先化简函数表达式，合并同类项。存在字母参数的，应讨论。例1（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的函数y=(1)当m为何值时，此函数是二次函数？(2)当m为何值时，此函数是一次函数？【答案】(1)m≠0且(2)m【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如y=kx+（1）根据二次函数的定义即可求解；（2）根据一次函数的定义即可求解．【详解】（1）解：由二次函数的概念可得m解得m≠0且m（2）解：由一次函数的概念可得m2解得：m=0或m=1，且∴m=12.求解二次函数表达式错误：在代入三组（x，y）的数据，解三元一次方程组时容易出错。注意：三元一次方程的计算要过关，在代入时也要注意不要代错位置。例2关于二次函数y=ax2+bx+c，已知当x=﹣2时，y=﹣2；x=0时，y=3；x=4时，y=【答案】y=-【分析】分别将x=﹣2，y=﹣2；x=0，y=3和x=4，y=﹣11代入到表达式中，列三元一次方程组并解方程组即可。【详解】x=﹣2，y=﹣2；x=0，y=3和x=4，y=﹣11分别代入表达式中，得三元一次方程组4a-2b+c3.根据题意列式并解决问题错误：对实际应用题的数量关系不够熟悉。注意：图形问题需要掌握基本的周长面积计算方式，以及图形的性质的运用，勾股定理的运用等；实际应用题要根据题意列式，行程问题的速度、时间与路程关系，经营问题的单价、数量与销售额关系，增长率问题等这些都要熟悉。例3某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m（1）长方体的长和宽用x(m)（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？【答案】（1）S=6x2+2【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到S=2[（2）把（1）中的S除以5即可得到y．【详解】解：（1）S=6x（2）y=5例4如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？【答案】(1)5s(2)y【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=DF，可得关于t的方程，求解即可；（2）由直角三角形的性质可求DF，BF的长，即可求解．【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C=30°，∴CD=2DF，AC=2AB，∵AC＝30cm，∴AB=15cm，根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，∴DF=2tcm，∴DF=AE，∵DF⊥BC，∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，即30-4t=2t，解得：t=5；（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，∴BC=AC由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，∴y=二、二次函数的图象（一）y=ax²及其图象1.二次项系数a对图象开口的影响错误：混淆a的正负与开口方向，或单纯认为a越大开口越大（越小）注意：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；当要比较开口大小时，要比较|a|，|a|越大，开口越小。例5（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3A．a3<aC．a4<a【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，a的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可．【详解】解：∵由图像可知y1=a1x2，∴a∵由图像可知y3=a3x2，∴a又a∴a∴a4故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；故选：C．2.数形结合解决问题错误：抛物线表示的二次函数图象与二次函数表达式无法建立联系，数形结合的意识与数学建模的意识不足。比如不会将点的坐标正确地代入二次函数表达式，比如不会建立二次函数图象模型解决桥洞隧道问题。注意：点在图象上⇆点的坐标代入对应的二次函数表达式。根据这个，可以解决：（1）已知二次函数表达式与点的横坐标（或纵坐标），求该点的纵坐标（或横坐标）.（2）已知点的坐标，求经过点的抛物线的二次函数表达式.（3）已知抛物线信息，建立平面直角坐标系求解二次函数表达式，并结合（1）的方法解决实际问题.例6（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数y=x2的图象经过点A2,【答案】4【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，把点A2,b直接代入函数解析式求出【详解】解：∵二次函数y=x2∴b故答案为：4．例7（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形OABC是正方形，且点A，C恰好在抛物线y=12x2上，点B在y轴上，则【答案】4【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点A作AE⊥x轴于点E，设Ax,12x2，由四边形ABCO是正方形，且点B在y轴上，得∠AOB=∠AOE=45°，得出△AOE【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点设Ax∵四边形ABCO是正方形，且点B在y轴上，∴∠AOB∴∠OAE∴OE=∴x=解得：x=0（舍去）或x∴A2,2∴AO=∴AB=∴OB=故答案为：4．例8某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由【答案】（1）y=-13x【分析】（1）根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解；（2）车从中间过，即x＝1.5，代入解析式求出y值后，比较即可．【详解】(1)如图，设抛物线对应的函数关系式为y=ax2抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，所以抛物线过点A(−3,−3)，代入得−3=9a，解得a=−13所以函数关系式为y=-(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=−0.75，此时集装箱角离隧道的底为5−0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<4.5.从而此车不能通过此隧道.(二）y=a（x-h）²+k及其图象1.正确认识二次函数顶点表达式错误：在判断对称轴或者顶点时，横坐标经常搞错正负符号。如认为y=2（x-1）2+2的对称轴为注意：y=2（x-1）2+2是符合顶点式y=a（x-h）²+k例9（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）抛物线y=3x+1A．x=1 B．x=-1 C．x=4【答案】B【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是明确顶点式y=ax-h2【详解】解∶抛物线y=3x+1故选∶B．例10（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数y=-x2【答案】0,3【分析】本题考查了抛物线顶点式及顶点坐标，掌握顶点式是解题关键．根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标．【详解】解：二次函数y=-x故顶点坐标为0,3故答案为：0,3．2.一般表达式向顶点式的转化错误：无法掌握将一般式转化为顶点式的步骤，尤其在两个方面：①丢失二次项系数a，②配平方时常数项配平后忘记补回来，或者补回来时忘记乘以括号外的二次项系数，或者补回来的时候混淆加还是减。具体案例如下：y=2x错误①：y=y=错误②：y=2y=2（x2－2x+1）+4得到y=2（x-1）2注意：关于转化y=2x（1）提出二次项系数（可保留常数项），得到：y=2（2）括号内配方，并在常数项上补回，得到y=2（3）化为顶点式，得到：y=例11（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数y=-2【答案】图象的开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标是【分析】本题考查二次函数的性质，将y=-2x2+4x+3化为顶点式即可得解．解题的关键是掌握：二次函数的顶点式为：y=ax-h²+k【详解】解：y=-2∵-2<0∴该二次函数图象的开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标是1,53.图象平移与表达式的变化规则错误：错误理解“左加右减，上加下减”，如将y=2（x-1）2+2向右平移注意：y=2（x-1）2+2向右平移2个单位的正确结果为y=2（x-3例12（24-25九年级上·重庆秀山·期末）将抛物线y=x-32+1先向右平移【答案】y【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据左加右减，上加下减求解作答即可．【详解】解：将抛物线y=x-32+1先向右平移即y=故答案为：y=4.图象平移、对称等变换的扩展错误：在二次函数图象其他变化中，无法举一反三得确定顶点和开口方向，得到新图象错误的表达式。注意：二次函数图象的其他变换，和平移的原则是一样的，最主要是确认两点：①新的顶点坐标，当图象变换时，顶点也随之变换，但只要知道了顶点的信息，图象表达式就知道了一大半；②图象开口是否变化，如果不变，则a不变；如果变化，则a变为原来的相反数。具体如下：原式变换新的顶点开口变化新的表达式y=a顶点：（h，k）关于x轴对称（h，﹣k）变化y=关于y轴对称（﹣h，k）不变y=a关于原点中心对称（﹣h，﹣k）变化y=关于顶点中心对称（h，k）变化y=例13（24-25九年级上·广西钦州·期中）将二次函数y=4x-22A．直线x=-2 B．直线x=2 C．直线x=-1【答案】A【分析】本题主要考查了抛物线的翻折问题．将原二次函数图象沿y轴翻折后，顶点坐标的横坐标变为相反数，纵坐标不变，对称轴也随之改变．【详解】解：原二次函数为顶点式y=4x-22沿y轴翻折后，顶点变为-2,1，故新抛物线的对称轴为直线x故选：A．（三）二次函数图象上的求解问题6.求二次函数图象上的点错误：不会将有字母参数的点代入对应的二次函数表达式中求解这个点，或代入时出错。注意：与y=ax²中求点的问题类似，只要将点正确代入到对应二次函数y=a（x-h）例14（24-25九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数y=-2x-(1)当a=3时，若点A4，b(2)小明说该二次函数图象的顶点在直线y=-12【答案】(1)-(2)小明说法正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．（1）把点a=3，A4，（2）根据题意得出顶点是2a,3-a【详解】（1）解：当a=3时，y把A4，b代入y∴当a=3时，求b的值为-（2）解：小明说法正确．∵二次函数y=-2∴顶点坐标为2a当x=2a时，∴顶点坐标为2a,3-a，在直线∴小明说法正确．7.系数a，b，c与图象的关系错误：a与c的正负值较好判断，但判断b时不会用“左同右异”原则结合a的正负。在判断含有a和b字母的代数式的大小、判断同时含有a，b和c字母的代数式时不能找到较好的途径解决。注意：利用图象判断关于a，b，c相关的代数式，主要注意一下几点：二次函数y=ax2+bx+c的图象①单个系数的判断，a看开口，开口向上a为正，反之为负；c看图象与y轴交点，交点即（0，c）；b要结合对称轴位置和a的正负来看，即“左同右异”，即当图象对称轴在y轴左侧时，b与a的符号相同；反之b与a的符号相反。这是基于对称轴的正负决定的，如右图中可知，对称轴在y轴左侧（-b2a＜二次函数y=a②判断关于a和b表示的代数式的大小，首先根据对称轴的具体位置列不等式，如判断对称轴是否大于（或）小于1，是否大于（或小于）﹣1，这是最常见的，还是要结合图象反映的信息来具体列式，同时注意在化简不等式时a的正负。如右图中，可知对称轴-b2a＞﹣1，化简可得b③判断关于a，b，c同时存在的代数式的大小，首先考虑使用特殊值法，即将图象中体现的当x等于某个具体值时函数值的正负，来列不等式，如右图中可知，当x=﹣1时，y＜0，所以当x=﹣1代入得到a－b+c＜0；同时看到当x=1时，y=2，所以有a+b+c=2；④判断复杂的代数式，要结合已求得的一些代数的值或者正负，综合判断，比如从③的结论a－b+c＜0和a+b+c=2可知，两式相减得b＜1；两式相加得a+c＜1.例15（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，且过点12,0，有下列结论①abc>0【答案】①②③【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．【详解】由图像可知a<0，b<0，∴abc>0，故①当x=12时，y=0即1∴a∴a∴a-2b由对称轴为x=-1，与x轴一个交点为(12,0)即25化简得25a-10∵对称轴为x∴-∴b=2a将a=121即b∴3b+2c综上所述①②③正确．故答案为①②③．例16（2025·四川自贡·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点①abc<0；②a-b+c=0；③3a+2【答案】②③④⑤【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．根据对称轴位置及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④；由a-b+c=0,2a=-【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a∵抛物线对称轴为直线x=1∴-b∴2a∴b∵抛物线与y轴交于点B在y轴的负半轴，∴c∴abc故结论①错误；∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点∴a故结论②正确；∵∴9a∵2a∴9a∵c∴3a故结论③正确；∵对称轴为直线x=1∴函数的最小值为y=∴a∴a故结论④正确；∵a∴3a∴a∴b∴3a∵-3≤∴-2≤2∴-2≤3故结论⑤正确；综上所述，结论正确的是②③④⑤；故答案为：②③④⑤．三、二次函数的性质1.用公式法求最值错误：尤其当a＜0时，代入到4ac-b注意：先将二次函数转化为一般式，代入时一定首先确定a，b，c的值，然后再利用公式。例17求函数y=【答案】-【分析】直接利用二次函数的最值公式，即可即可得到答案．【详解】解：二次函数y=∴a=1，b=-3∵a∴该二次函数开口向上，∴函数有最小值，最小值为4ac例18（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数y=mx2+(【答案】m的值为1【分析】本题考查了解分式方程，二次函数的图象性质，结合二次函数y=mx2+(m-【详解】解：∵y=mx∴4m(解得m=1或m经检验：m=1是该方程的解．即m的值为12.根据增减性比较函数值的大小错误：不结合增减性和开口方向，只根据x的大小盲目判断对应函数值的大小。注意：在二次函数中通过图象性质判断函数值的大小，要结合增减性来判断。具体情况有以下几种（假设比较对象为y1，y2，对应的横坐标为x1，x2。对称轴为x=x0，对应的最值为y0）：开口方向x0与x1、x2的关系图示y1、y2与y0的大小a＞0，开口向上x1＜x2＜x0xx03x23x13y0＜y2＜y1x1＜x0＜x2xx03x23x13y0＜y2＜y1x0＜x1＜x2xx03x23x13y0＜y2＜y1A＜0，开口向下x1＜x2＜x0xx03x23x13y1＜y2＜y0x1＜x0＜x2xx03x23x13y1＜y2＜y0x0＜x1＜x2xx03x23x13y1＜y2＜y0例19（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点A-2,y1,B2,A．y1<y2<y3 B．【答案】A【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线x=-1【详解】解：抛物线y=2x+1点A-2,y点B2,y2点C3,y3由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，∵4>3>1，∴y1故选：A．3.根据对称性求交点坐标或对称轴错误：当二次函数图象不完整时，无法通过二次函数的性质确定完整图象，并得到有效信息，如与x轴的交点。注意：结合对称性，我们可以通过已知的点和对称轴得出其对称点的信息，也可以通过两个纵坐标相等的点得到对称轴的信息。如下图①所示，根据二次函数的对称性可知，二次函数与x轴的交点除了（4,0），还有（-2,0）；如图②所示，在已知图象与x轴交点为（-1,0）和（3,0）时，其对称轴即为x=1；如图③所示，已知对称轴为x=﹣1，且估计其中一个与x轴的交点的横坐标在﹣3~﹣2之间，那么另一个交点的横坐标就在0~1之间。①①②③例20（2025·贵州·模拟预测）已知二次函数y=axA．直线x=12 B．直线x=1 C．直线【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案．【详解】解：∵该二次函数的图象与x轴交于点-1,0和点3,0∴该二次函数图象的对称轴为直线x=故选：B．例21（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图是函数y=ax2+bx+c【答案】(1,0)【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线与x轴交点坐标为-5,0【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为-5,0，抛物线对称轴为直线x∴另一交点的横坐标为-2×2-∴抛物线与x轴另一交点坐标为1,0，故答案为：1,0．4.用合理的方式求解二次函数的表达式错误：求解二次函数的表达式，不根据已知条件合理使用更加方便的表达式来作待定系数法，或者对顶点式的待定系数法求解表达式的方式不熟练，尤其是根据已知顶点判断顶点式写法的时候出错。注意：不同的已知条件，可以采用不同的方式待定系数法，然后求解二次函数表达式。具体情况如下：主要条件待定系数法方式其他条件已知图象上两点及以上设一般式：y=a再确认一个已知点并代入，解三元一次方程组已知顶点设顶点式：y=a再确认一个已知点并代入，解一元一次方程已知对称轴设顶点式：y=a再确认两个已知点并代入，解二元一次方程组已知x轴上两个交点设交点式：y=a再确认一个已知点并代入，解解一元一次方程例22（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与y=12x2+72的形状相同，对称轴为x【答案】y=1【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为y=a(x+1)(【详解】解：∵对称轴是直线x=-2，且与x轴的两交点之间的距离为2∴由对称性可知，与x轴的交点分别为(-1,0)，(-3,0)，设抛物线解析式为y=∵抛物线的形状与抛物线y=∴a=±∴抛物线解析式为y=±即抛物线解析式为y=12例23（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线过点2,m，1,n，求【答案】(1)y(2)m【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．（1）依据题意，由抛物线顶点为-1,2，故可设抛物线的解析式为y=ax+1（2）依据题意，由（1）y=x+12+2，又抛物线过点2,【详解】（1）解：∵抛物线y=ax∴可设抛物线的解析式为y=又∵∵抛物线过0,3，∴a∴a∴抛物线的解析式为y=（2）解：由（1）中求得的解析式y=∵抛物线过点2,m，1,∴m∴m5.二次函数图象相关的实际应用错误：不能理解题意，提炼出关于二次函数图象的已知条件来计算出表达式，比如图象上的点的坐标、顶点的坐标、在x轴或者y轴上的特殊点，起点和落点等这些特殊点。注意：学会根据题意确定二次函数图象相关的已知条件，主要有：（1）点的坐标。有些已知条件描述了实际问题中某个点在二次函数图象上的横纵坐标，可以据此确定点的坐标。（2）在（1）的基础上，如果确定某点是顶点，就可以更快确定二次函数图象的表达式。（3）实际问题在坐标系中的体现，尤其是地面都是与x轴对应，因此落地点即为x轴上的点的意思，求解时应使得函数值为0.（4）实际问题中求解的问题也可以转化为二次函数中的图象问题，比如求物体掉落在多远处，即已知函数值y的情况下求该点x的值；比如求某处立柱的长就是在已知x的值的情况下求解y的值。例24（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度ym与水平距离x m之间的函数图象如图所示（P

【答案】9【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过0,32，顶点坐标为3,2，设二次函数图象的解析式为y=ax【详解】解：根据题意，二次函数图象经过0,32，顶点坐标为∴设二次函数图象的解析式为y=∴a0-3解得，a=-∴抛物线的解析式为y=-令y=0时，-解得，x1=9，故答案为：9．例25（2025·新疆乌鲁木齐·二模）根据以下素材，探索完成任务：如何调整篮球的投球高度素材1如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离）AB=5m，篮圈距地面高度BD=3.3m．小亮站在素材2如图，点C为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为1.8m，即EF=1.8m，此时水平距离CF=3m，以点C

问题解决任务1篮球运动的高度ym与水平距离x任务2小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？【答案】任务1：y=-0.2x-3x【分析】本题考查了二次函数的实际应用，合理分析题意结合二次函数的图象性质是解题的关键．（1）利用待定系数法列式运算即可；（2）运算出抛物线的解析式后把x=0【详解】解：任务1．由题意得：抛物线的顶点坐标为：3,1.8，∴设抛物线的解析式为y=∵经过点0,0，∴0=a解得：a=-0.2∴篮球运动的高度ym与水平距离xm之间的函数关系式为当x=5时，y∵1+2.1<3.3，∴此球不能投至篮圈中心；任务2．当y=3.3-2.1=1.2设抛物线解析式为：y=∵过5,1.2，∴1.2=m解得：m=-0.15∴抛物线解析式为：y=-0.15当x=0时，y∴0.45+2.1=2.55，答：小亮出手的高度距地面2.55米时能将篮球投至篮圈中心．6.根据增减性求解函数值的取值范围错误：在求解函数值的取值范围时没有充分考虑x的取值范围，注意：（1）当不涉及x的取值范围时，开口向上，y的取值范围是≥最小值；开口向下，y的取值范围是≤最大值。（2）当涉及到x具体的取值范围时，需要根据取值范围和最值对应的x0的值的包含关系，确定最终函数值的取值范围。一般情况下，先结合本内容中第三项“2.根据增减性比较函数值的大小”的知识点来比较x取值范围两端的函数值，确定端点函数值大小，再结合最值，确定x在取值范围内函数值的最大值和最小值，写出函数值的取值范围。（3）解决实际问题时特别要注意，x的取值范围不是直接给出，也需要通过题意描述具体分析并计算得出。（4）含有字母参数的x的取值范围，需要讨论x的取值范围内是否包含了对称轴，分情况说明函数值的取值范围或最大最小值。具体也需要结合第三项“2.根据增减性比较函数值的大小”中的各类情况。例26（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）设二次函数y=x2+bx+2b-3，当【答案】-【分析】先将二次函数y=x2+bx+2b-3化成顶点式y=x+b22-b【详解】解：∵y∴二次函数y=x2∵a∴抛物线开口向上，分三种情况讨论：①当-b即b>2时，此时x=-1时，函数有最小值将x=-1-1解得：b=-13与b>2②当-1≤-即-4≤∴-b解得：b=-4或12∴b③当-b即b<-4时，此时x=2时，函数有最小值将x=222解得：b=-4与b<-4综上，b的值为-4故答案为：-4例27（24-25九年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax(1)求该抛物线的解析式；(2)若(5,n),(m(3)当-3≤x≤3时，直接写出y【答案】(1)y(2)m(3)-【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数值，二次函数图象的性质，对于（1），将这三点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可；对于（2），当x=5代入关系式求出y，再根据函数值相等求出x对于（3），先求出对称轴可得最大值，当x=3时，求出y【详解】（1）解：将点A(0,3),B(1,-2),c=3解得a=-1所以抛物线的关系式为y=-（2）解：当x=5时，n当n=-42时，-解得x1∴m=-9（3）-18≤解：抛物线的关系式为y=-∴抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小，当x=-2时，函数有最大值7∵x=-2在-∴y的最大值为7，∵3--2>-3-∴y的最小值为-18∴y的取值范围是-18≤故答案为：-18≤7.根据函数值的取值范围，讨论x的取值。错误：通过求解当函数值取得最大值或者最小值对应的x的值，直接得出x的取值范围。没有根据题意要求进行讨论。注意：在具体求解确定x的取值范围时，应能包尽包。如果x的取值范围有字母参数，则同样需要讨论x的取值范围是否包含了对称轴，这样的情况比较复杂，常见的如：关于二次函数y=2（1）4≤x≤t时，4≤y≤20。此时因为4≤x≤t的范围均在对称轴右侧，函数值y随着x的增大而增大，因此当x=t时，y=20，解得t=6，可知x的取值范围。（2）1≤x≤t时，4≤y≤10。因先判断x的取值范围是否包含对称轴，因为二次函数的最小值为2，由4≤y≤10可知，没有包含，因此x的去取值范围在对称轴的左边，y随x的增大而减小，因此只有当x=t时，y=4，解得t=2，可知x的取值范围。（3）1≤x≤t时，2≤y≤10。因为y最小值为2，因此明确可知x的取值范围包含了对称轴，所以t＞3，又因为x=1时，y=10，结合增减性和对称性可知，t应不大于5，所以3≤t≤5。（4）1≤x≤t时，2≤y≤20。因为y最小值为2，因此明确可知x的取值范围包含了对称轴，所以t＞3，又因为x=1时，y=10，结合增减性和对称性可知，只有当x=t时，y=20，解得t=6，可知x的取值范围。......通过以上不同情况的举例我们发现，想要知道x的取值范围，或知道x的取值范围中字母参数的值，就一定要结合对称轴和x的取值范围位置关系、图象的增减性和对称性等要素综合讨论分析，才能得出结果。例28（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数y=x2-2x+3，当0≤x≤【答案】1≤【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当x=1时，y有最小值2，再把y=3代入y=x2【详解】解：∵y=x2∴当x=1时，y有最小值2把y=3代入y=x解得：x1∵当1≤x≤m时，有最大值3∴1≤m故答案为：1≤m例29已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是．【答案】1<【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标，将x＝0代入解析式求出抛物线与y轴交点坐标，进而求解．【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，7），把x＝0代入y＝﹣x2+2x+6得y＝6，∴抛物线经过（0，6），（0，6）关于对称轴的对称点为（2，6），∴1＜m≤2时满足题意，故答案为：1＜m≤2．例30（2023·浙江绍兴·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点(-1,m)，(2,n(1)当m=n时，求(2)在（1）的条件下，当-3<x<2(3)若-1≤x≤2时，函数的最小值为-【答案】(1)b=-1(2)y的取值范围为-(3)m+n【分析】本题考查了二次函数的性质，求函数值；（1）把点(-1,m)，(2,n)代入y=x2+bx-3（2）分别将x=12，x（3）二次函数y=x2+bx-3的对称轴为x=-b2，①当-b2≤-1即b≥2时，x=-1【详解】（1）解：把点(-1,m)，(2,n)代入y=x∵m∴-b∴b（2）∵y∴当x=12当x=-3时，y当x=2时，y∴当-3<x<2时，y（3）二次函数y=x2+①当-b2≤-1即b≥2时，∴y∴当x=-1时，m=-5；当∴m②当-1<-b2<2即-4<b<2时，x=-b∴y∴当x=-1时，m=22∴m③当-b2≥2即b≤-4时，x=2的函数值最小，y综上，m+n=-2例31（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数y=x2-2(1)若m=2(2)若存在实数k，使得y2-1=ky(3)当m-1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与【答案】(1)顶点坐标(2,-4)(2)-(3)m的值是1+62【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；（1）当m=2（2）先计算y1,y2，用m表示，进而可得（3）根据当m-1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，可得点Bm-1,y2抛物线对称轴x=m的左侧，点A【详解】（1）解：若m=2则y=x2（2）解：把x=2m+1把x=m-∵y∴k∵1<k∴1<-1∴-4<m（3）解：∵二次函数y=x2当m-1≤x≤2m∴点Bm-1,点A2m+1,∴当x=m时，y的最小值是若2m+1-m>m∴2m解得：m1若2m+1-m<m∴1-m解得：m3综上，m的值是1+62或四、二次函数的应用1.最值问题中x的取值范围错误：没有计算x的取值范围的意识，只考虑列式并计算。注意：应充分读题，提炼条件，关注x在实际应用中的限制，据此求出x的取值范围。结合图象及其性质，求出符合实际要求的最值，并解答实际问题中的最值问题。如：x在实际问题中一般大于0，销售问题中售价x一般大于进价，在点的运动中x表示时间的，一般到终点即停止不会无限大...例32（2025·广东东莞·二模）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系．(1)求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式；(2)根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于50%，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900【答案】(1)y(2)当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元【分析】本题主要考查了二次函数的二次函数的应用、根据实际问题列一次函数关系式、根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．（1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解；（2）根据利润=销售量×(销售单价-成本)，代入代数式求出函数关系式；根据厂商每月的制造成本不超过900万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．【详解】（1）解：设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=把32,36，24,52代入y=kx+∴k∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=-2（2）解：设每月的利润w万元，由题意得，w===-2=-2(商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元，∴每月的生产量为：小于等于90018=50(万件∴y∴x又由销售利润率不能高于50%，得x∴25≤x∵-2<0，∴图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，∴当x=27时，w取最大值，最大值为414答：当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元．2.几何动点中的最值问题错误：最大的问题是在解决几何问题时，无法根据几何性质列等式，从而列出二次函数表达式来。比如利用勾股定理表示线段长，用时间t的代数式分别表示出相关线段的长，再列出面积相关的二次函数表达式。注意：学会用未知数x表示相关几何线段、角的代数式。比如动点问题，当函数值y表示三角形的面积时，就要用时间t分别表示出该三角形底边的代数式，高的代数式，然后用面积公式列出二次函数，同时注意t的取值范围（有的时间里没有构造的三角形，有的时间里三角形面积的列式方式不一样）。例33（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，设点E运动的路程为x(1)当x=2时，y=_______；当x=8时，(2)求点E在整个运动过程中y的最大值．【答案】(1)8；32(2)36【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键；（1）由题意先得出当正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边BC上时的AE的长，然后分别求当x=2和x（2）由（1）可分①当0<x≤4时，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为正方形EFGH的面积，【详解】（1）解：当正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边∵四边形EFGH是正方形，∴EF=EH=∴∠EHB∵在等腰Rt△ABC中，AB=∴△AEF∴EF=∴BE=∴AE+∴x=4∴当x=4时，即AE=AF=4，正方形EFGH的边GH在等腰当x=2时，则有AE∴BE=CF=此时正方形EFGH在等腰Rt△∴y=当x=8时，则有AE∴BE=∴EM=同理可得：EF=此时y=故答案为：8；32；（2）解：由（1）可分：①当0<x≤4时，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为正方形∴当0<x≤4时，y随∴当x=4时，y有最大值，最大值为32②当4<x此时正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为∵AE=∴BE=∴EM=∴y=∴当x=6时，y有最大值，最大值为36综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36．3.经营问题中列式时要考虑的多项收入或支出错误：在计算函数值利润时，列式是所有销售收入－所有消耗成本和进货成本，很多时候往往会漏掉比如消耗成本，比如每天人工的成本，也有比如涉及到销售收入的低价促销获益，或者补贴等等。注意：应该充分读题，将所有题干条件分门别类并表示出其值，在最终列式时避免遗漏。例34（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植x棵甲果树（x为正整数），每年所获得的利润W1（元）与x之间的函数关系式为W1=-8x2+mx-60，且当x=20时，W1=6340；种植z棵乙果树（z（棵）1040W249207920(1)求出W1关于x，W2关于(2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？【答案】(1)W1=-8x(2)当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入-总支出的关系式和待定系数法是解题的关键．（1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到W2（2）设每年的总利润为W元，则W=W1+W【详解】（1）解：∵当x=20时，W∴6340=-8×20∴m=480∴W1由题意得：W2由表格可得：当z=10时，W2=4920，当z∴4920=800×10-100a∴a=10∴W2（2）解：设每年的总利润为W元，则W=由题意：z=2∴W=-8=-48=-48x∵-48<0∴当x=352时，W有最大值，但x∴当x=17或18时，W有最大值，W的最大值为14548∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元．4.抛球问题中确定特定位置物体的高度的问题错误：没有数形结合的意识，尤其是无法将实际问题转化成二次函数图象中要解决的数学问题。注意：我们在前面讨论过，实际问题要问的问题，要能解读成二次函数图象上的问题，具体有：（1）要求某处物体高度，就是二次函数图象中，该处横坐标代入解得y的值，再翻译成实际问题中的高度，并解决问题。（2）在（1）的基础上，若要求该处物体是否通过某个高度，只要求出y的值，与实际问题中的高度进行比较即可。常见于解决排球、乒乓球过网，足球进门等问题。（3）实际问题中的最高点即图象的顶点。例35（2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，击球点P在击球方案：扣球羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足一次函数关系C1：y=-0.4x吊球羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1高远球羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足二次函数关系C3：y=a探究：(1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；(2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少；②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；(3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m【答案】(1)扣球：y=-0.4x(2)①1.6m②(3)-【分析】（1）把1,2.4代入y=-0.4x+b可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为（2）①把x=3代入y=-0.4x+2.8可得AB的高度；②把（3）依题意，即接球点的临界坐标为6,2.8和8,2.8，结合表格高远球最大高度与a值大小关系设出对应临界值的顶点式，代入接球点的临界坐标解之即可得出范围．【详解】（1）解：∵扣球时，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4∴-0.4+b=2.4∴一次函数解析式为y=-0.4当x=0时，y则点P的坐标为0,2.8，∵当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．设抛物线为：y=∴2.8=a解得a=-0.4∴y=-0.4（2）解：①当x=3时，y∴球网AB的高度为1.6m②当y=0时，yx1=1+22落地点到球网的距离：1+22（3）解：由题意可得：接球点的临界坐标为6,2.8和8,2.8；接球点为6,2.8时，若最大高度为5.8，a为最小，设y=∴0-32∴a接球点为8,2.8时，若最大高度为4.8，a为最大设y=∴0-4解得：a2则a的范围是-1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（）A．y=x2C．y=2x-【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（其中【详解】解：y=2x-由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数，故选：C．2．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数y=-x-A．图象经过原点 B．开口向上C．对称轴是直线x=-2 D．最高点是【答案】D【分析】本题主要考查了y=【详解】解：当x=0时，y=-4，则图象经过0,-4，故因为-1<0，则抛物线开口向下，故BC、对称轴是直线x=2，故CD、顶点坐标为2,0，即最高点是2,0，故D选项正确，符合题意；故选：D3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数y=x2-4x+3A．y=x-62-C．y=x+22-【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：依题意，y∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位，∴y故选：D．4．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数y=a-2x2-A．a<2 B．a≤3 C．a<3且a≠2 D【答案】D【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x轴的交点问题，先得出a-2≠0，再结合二次函数y=a-【详解】解：∵二次函数y=a-∴a-2≠0，解得a≤3且a故选：D．5．（24-25九年级下·河南周口·期中）九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量yA，yB(克)随时间x(分钟A．yA是关于xB．yB是关于xC．当y=15时，A场景用的时间大于BD．10分钟时，A场景剩余质量小于B场景剩余质量【答案】D【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与二次函数图象的识别，根据函数图象所给的信息逐一判断即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，yA是关于x的二次函数，yB是关于x的一次函数，故A、由函数图象可知，当y=15时，A场景用的时间大于B场景用的时间，故C由函数图象可得，10分钟时，A场景剩余质量大于B场景剩余质量，故D错误，符合题意；故选：D．6．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y=axA．y1<y2<y3 B．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线x=1，然后根据点M、N、K【详解】解：∵二次函数y=∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1∵M-2,y1，∴8-1>∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大，∴y2故选：B．7．（24-25九年级上·重庆永川·期中）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是s=60t-A．200 B．400 C．600 D．800【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机滑行距离的函数为二次函数，其最大值对应飞机停下来的总滑行距离．通过将二次函数配方成顶点式，可求出最大值．【详解】解：s∵t代入得：s∵二次项系数-1.5<0∴顶点20,600为最大值点，当t=20秒时，滑行距离最大，即飞机停下来的总距离为600故选：C8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数y=-x-12A．-14≤y≤1 B．1≤y≤2 C【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可．【详解】解：∵y=-∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵0≤x∴当x=5时，函数值最小为y当x=1时，函数值最大为2∴-14≤故选C．9．（2025·四川广元·三模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+①cb②2a③3a④关于x的方程ax⑤a<其中结论正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系．由抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，结合点的坐标特点逐一分析判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0∵抛物线与y轴交点在负半轴，∴c<0∵对称轴为x=-∴b=-2∴cb>0，2a∵抛物线y=ax2+∴9a∵b=-2∴c=-3∴3a+2b∵函数y=ax∴关于x的方程ax2+∵-3∵c<-1∴-3∴a>13故选：C．10．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口AB=8cm，杯深CD=12cm．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜45°（即AB与液面FG所在直线相交，所夹较小角为45°），液面FG与CD交于点E，且点E距杯口AB的距离ED=7A．22cm B．1023cm C【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作FH⊥AB于点H，作GQ⊥FH于点Q，则∠QGF=45°，求解二次函数解析式为【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作FH⊥AB于点H，作GQ⊥则∠QGF则各点坐标为：A(-4,12)，B(4,12)，C(0,0)，D设抛物线的表达式为y=把点A坐标代入解析式，得12=a解得a=∴y=∵∠QGF=45°，E点坐标为∴直线FG与x轴的交点为(-5,0)．设FG所在直线解析式为y=把点(0,5)，(-5,0)代入解析式，得y=令34得3x解得x1=10∴GQ=∴FG=故答案为：C．11．（24-25九年级下·浙江·假期作业）若关于x的函数y=2-ax2-【答案】a【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为y=【详解】解：由题意得：2-a解得：a≠2故答案为：a12．（2025·广东广州·二模）抛物线y=(x【答案】x【分析】本题考查了二次函数顶点式y=a(x-h)2+k【详解】解：抛物线y=(x故答案为：x=113．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知二次函数图象与x轴的一个交点坐标为4,0，顶点坐标为1,1，则该二次函数的解析式为．【答案】y【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；②已知顶点和一点时，设顶点式：y=ax-h2+k（a≠0已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式．【详解】解：∵二次函数图象的顶点为1,1，∴y=又由二次函数图象与x轴的一个交点坐标为4,0，∴0=9a+1解得a=-1∴y=-故答案为：y=-14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线y=ax2-x-1与x轴交于A【答案】34/【分析】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程，由一元二次方程根的判别式可得a>-14，再利用二次函数解析式可得AB=1+4aa，点C到x轴的距离CD为-4a-1【详解】解：∵抛物线y=ax2-∴Δ=解得a>-∵抛物线y=∴抛物线与x轴交点的横坐标为1±1+4a2a，顶点∴AB=1+4aa，点C到x轴的距离∵△ABC为直角三角形，点A∴△ABC∴AB=2∴1+4a整理得，16a解得a1=3∴a=故答案为：3415．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=ax2+2ax+ca<0的图象上有两点【答案】m<-3或【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线x=-1，当x1=-3或x1=1时，y1=y2，由a<0，得到函数值离对称轴越远函数值越小．可分【详解】解：二次函数的对称轴为x=-∵Ax∴当x1=-1×2-1=-3或x1∵a<0∴抛物线的开口向下，∴离对称轴越远函数值越小．分类讨论：①x1<-3恒成立，则∴m<-3②x1>1恒成立，则∴m-1>1．即综上所述．m的取值范围是m<-3或m故答案为：m<-3或m16．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度OA为65m，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点32m处，已知BC【答案】0.3【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将x=3【详解】解：由题意可知点A的坐标为0,65，抛物线顶点坐标为设y与x之间的函数表达式为y=将点A0,65代入，得解得a=-∴y与x之间的函数表达式为y=-当x=3时，y即BC的长为0.3m故答案为：0.3．17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数y=(1)求m的值；(2)当x=1时，求y【答案】(1)m(2)-【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键．（1）根据二次函数的定义可得m-（2）由（1）可得二次函数解析式，把x=1【详解】（1）解：函数y=∴m-解得，m≠1,∴m=-2（2）解：当m=-2时，二次函数解析式为y∴当x=1时，y18．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点P2, 3(1)求a的值；(2)若将抛物线y=ax2-1先向右平移2个单位长度，再向下平移【答案】(1)a(2)t【分析】本题考查了二次函数的平移问题，待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．（1）将P2, 3（2）先表示平移后的函数解析式，再代入A4,【详解】（1）解：将P2, 3代入y解得：a=1（2）解：由（1）可得二次函数的解析式为y=∴经过平移后的解析式为y=∵平移后的图象经过点A4,∴4-22解得t=319．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小区工人用长为17m的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为9m），且为了方便出入，在AB段用其他材料做了一扇宽为1(1)若种植园的面积为40m2，求此时围栏AD(2)当AD为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积．【答案】(1)5米(2)AD【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，对于（1），解：设AD=xm，则AB对于（2），设AD=am，则AB=(17-2【详解】（1）解：设AD=