福建省闽侯第二中学五校教学联合体2026届高二数学第一学期期末考试试题含解析

福建省闽侯第二中学五校教学联合体2026届高二数学第一学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.1 B.2C. D.2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（）A. B.C D.3．已知随机变量，，则的值为（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.764．设双曲线（）的焦距为12，则（）A.1 B.2C.3 D.45．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-26．已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.7．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（）A. B.C. D.78．设等差数列的公差为d，且，则（）A.12 B.4C.6 D.89．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A.经过点 B.经过点C.平行于直线 D.垂直于直线10．已知双曲线，过左焦点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若弦的长恰等于实铀的长，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．下列直线中，与直线垂直的是（）A. B.C. D.12．不等式的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.14．已知为椭圆上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为______15．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________16．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）给定函数.（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；（2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；（3）求出方程的解的个数.18．（12分）已知是等差数列，，.（1）求的通项公式；（2）设的前项和，求的值.19．（12分）某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排.中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩.该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：（1）求图中的值；（2）估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？（3）由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差.已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）附：，，.20．（12分）已知是各项均为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列通项公式为，求数列的前n项和.21．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在50~60公里小时之间的车辆有200辆.（1）求n的值；（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，以频率作为概率的估计值，估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚款的概率.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，.（1）求证：平面PAC；（2）已知点M是线段PD上的一点，且，当三棱锥的体积为1时，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出结果【详解】双曲线中，焦点坐标为渐近线方程为：∴双曲线的焦点到渐近线的距离故选：A2、A【解析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，，即，因为，，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A3、A【解析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A4、B【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.【详解】因为可化为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.5、C【解析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以,故.所以.故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.6、A【解析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.【详解】由可得：，由可得，所以直线：过定点，由可得，作出图象如图所示：，，若直线与线段相交，则或，解得或，所以实数的取值范围是或，故选：A.7、B【解析】求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.【详解】对求导得：，因函数的一个极值点为2，则，此时，，，因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：B8、B【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.【详解】，所以.故选：B9、A【解析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.【详解】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：A.10、B【解析】求出，进而求出，之间的关系，即可求解结论【详解】解：由题意，直线方程为：，其中，因此，设，，，，解得，得，，弦的长恰等于实轴的长，，，故选：B11、C【解析】，，若，则，项，符合条件，故选12、A【解析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.【详解】设等差数列的公差为由题可知即因为，所以解得：所以.故答案为：14、8【解析】根据椭圆的定义、点到圆上距离的最小值，即可得到答案；【详解】设为椭圆的左右焦点，则，等号成立，当共线，共线，的最小值为，故答案为：15、【解析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，由点到直线的距离公式求出半径，然后可得.【详解】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.故答案为：16、【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；（2）具体见解析；（3）具体见解析.【解析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案.【小问1详解】，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.【小问2详解】作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.【小问3详解】结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.18、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，数列的通项为；（2）数列的前项和，由，化简得，即，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）（2）85（3）23【解析】（1）根据所有矩形面积之和等于1可得；（2）先根据矩形面积之和判断达到等级的最低分数为x所在区间，然后根据矩形面积之和等于0.9可得；（3）由题知，所以由可得.【小问1详解】由得【小问2详解】由题意可知，要使等级达到等级及以上，则成绩需超过的学生.因为，记达到等级的最低分数为x，则，则由，解得所以该市学生中考化学原始成绩不少于85分才能达到等级及以上.【小问3详解】由题知，因为所以故该校学生的化学原始成绩达到等级及以上的人数大约为人.20、（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，利用基本量运算求出公比，可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法计算出数列的前n项和【详解】（1）设的公比为，由题意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，则，因此，又，两式相减得所以.【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：

公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；

裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；

错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；

倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和21、（1）（2）（3）【解析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解（2）根据已知条件，结合中位数公式，即可求解（3）在这500辆小车中，有40辆超速，再结合古典概型的概率公式，即可求解【小问1详解】解：由直方图可知，速度在公里小时之间的频率为，所以，解得【小问2详解】解：设这辆小汽车车速的中位数为，则，解得小问3详解】解：由交通法则可知，小车速度在66公里小时以上需要罚款，由直方图可知，小车速度在之间有辆，由统计的有关知识，可以认为车速在公里小时之间的小车有辆，小车