北京市海淀区知春里中学2026届高二上数学期末考试模拟试题含解析

北京市海淀区知春里中学2026届高二上数学期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．己知命题；命题，则下列命题中为假命题的是（）A. B.C. D.2．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A.13时~14时 B.16时~17时C.18时~19时 D.19时~20时3．当圆的圆心到直线的距离最大时，（）A B.C. D.4．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（）A. B.C. D.5．数列中，满足，，设，则（）A. B.C. D.6．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间上的随机数和，因此得到1000个点对，再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.927．“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要8．已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）A.1 B.2C.3 D.49．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.4510．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.与均为的最大值11．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.1C.2 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.14．写出一个数列的通项公式____________，使它同时满足下列条件：①，②，其中是数列的前项和.（写出满足条件的一个答案即可）15．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.16．设函数（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知锐角的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且，求的面积.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D（1）求椭圆M的标准方程；（2）设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值18．（12分）已知三点共线，其中是数列中的第n项.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）如图，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，平面.（1）若，求与所成角的余弦值；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，（1）证明：；（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若与相交于A、两点，设，求.22．（10分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据或且非命题的真假进行判断即可.【详解】当,故命题是真命题，，故命题是真命题.因此可知是假命题，是真命题，，均为真命题.故选:A2、B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B.【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.3、C【解析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.【详解】解：因为圆的圆心为,半径，又因为直线过定点A(-1,1),故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得.故选：C.4、B【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，则，解得，即.根据椭圆的定义可知，，当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，由且，得，因此椭圆C的短轴的最小值为.故选：B.5、C【解析】由递推公式可归纳得，由此可以求出的值【详解】因为，，所以，，，因此故选C【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力6、D【解析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.【详解】易知，根据几何概型的概率公式，得，所以.故选：D.7、B【解析】求出方程表示椭圆的充要条件是且,由此可得答案.【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是,解得且,所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉,本题属于基础题.8、D【解析】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解【详解】解：根据双曲线方程可知右顶点为，使与有且只有一个公共点情况为：①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，②当与轴不垂直时，可设直线方程为联立方程可得当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，当时，，整理可得即故选：D9、B【解析】根据已知求出公差即可得出.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，则.故选：B.10、C【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.【详解】由可得，由可得，故选项B正确；由可得，因为公差，故选项A正确，，所以，故选项C不正确；由于是等差数列，公差，，，，所以都是的最大值，故选项D正确；所以选项C不正确，故选：C11、D【解析】由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【详解】，故，故恒成立等价于，即恒成立，化简得到，因为，当且仅当，即时取等号，所以故选：D12、C【解析】直接运用正弦定理可得，解得详解】由正弦定理，得，所以故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.【详解】，当时，，所以切线方程为，即；令可得，令可得；所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.14、(答案合理即可)【解析】当时满足，利用作差比较法即可证明.【详解】解：当时满足条件①②，证明如下：因为，所以；当时，；当时，；综上，.故答案为：(答案合理即可).15、【解析】由条件可得存在实数，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.详解】P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得所以即所以，解得故答案为：16、（1）的最小正周期为，的最大值为1（2）【解析】（1）直接根据的表达式和正弦函数的性质可得到的最小正周期和最大值；（2）先根据求得角的大小为，然后在中利用余弦定理求得，最后根据三角形的面积公式即可【小问1详解】已知则的最小正周期为：则的最大值为：【小问2详解】由可得：（）或（）又为锐角，则可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：则的面积为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；（2）设出直线CF的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【小问1详解】（1），，∴，，，∴；【小问2详解】设，，则，CF：联立∴，∴【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.18、（1）（2）【解析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.【小问1详解】三点共线，【小问2详解】①②①—②得19、（1）（2）【解析】（1）以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；（2）计算出平面的法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】解：如图，以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，，则，则，故，因为平面，平面，则，若，则，故、、、，则，，.因此，若，则与所成角的余弦值为.【小问2详解】解：若，则、，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以直线与平面所成角的正弦值为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明平面ABD即可；（2）以A为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，分别求得平面BCD的一个法向量和平面DCM的一个法向量，然后由求解【小问1详解】证明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小问2详解】如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，则，，，，，依题意，可得，设为平面BCD的一个法向量，则，不妨令，可得设为平面DCM的一个法向量，则，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为21、（1）曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为（2）【解析】（1）直接利用转换关系式把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）易得满足直线的方程，转化为参数方程，代入曲线的普通方程，再利用韦达定理结合弦长公式即可得出答案.【小问1详解】解：曲线的参数方程为（为参数），转化为普通方程为，曲线的极坐标方程为，即，根据，转化为直角坐标方程为；【小问2详解】解：因为满足直线的方程，将转化为参数方程为（为参数），代入，得，设A、两点的参数分别为，则，所以.22、（1）证明见解析，直线与平面的距离为（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用