2026届上海市杨浦区市级名校高二上数学期末学业水平测试试题含解析

2026届上海市杨浦区市级名校高二上数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的准线方程是，则实数的值为（）A. B.C.8 D.2．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5223．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）A. B.C. D.4．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.5．方程化简的结果是（）A. B.C. D.6．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（）A. B.C. D.7．知点分别为圆上的动.点，为轴上一点，则的最小值（）A. B.C. D.8．设直线的倾斜角为，且，则满足A. B.C. D.9．数列的通项公式是（）A. B.C. D.10．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为12，则（）A. B.C.2 D.311．已知，且，则的最大值为（）A. B.C. D.12．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个C.个 D.个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下图是个几何体的展开图，图①是由个边长为的正三角形组成；图②是由四个边长为的正三角形和一个边长为的正方形组成；图③是由个边长为的正三角形组成；图④是由个边长为的正方形组成.若几何体能够穿过直径为的圆，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的序号）.14．必然事件的概率是________.15．已知函数的导函数为，，，则的解集为___________.16．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）当时，证明，，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点（1）若，证明：直线必过坐标原点；（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门科目中自选3门参加考试．下面是某校高一200名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示（1）求频率分布直方图中的值；（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60百分位数；（3）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率20．（12分）某高中招聘教师，首先要对应聘者的简历进行筛选，简历达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得4分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得3分，答错得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊来应聘，他们中仅有3人的简历达标，若从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人简历达标的概率；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响，求该应聘者的面试成绩X的分布列及数学期望21．（12分）已知直线与直线交于点.（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.22．（10分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥P­ADM的体积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】化简方程为，求得抛物线的准线方程，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线，可得，所以，所以抛物线的准线方程为，因为抛物线的准线方程为，所以，解得.故选：B.2、B【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，则需要分为组，每组人；设第组抽取的编号为，故可设，又第一组抽中号，故可得，解得故，当时，.故选：.3、B【解析】先求出基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，由此能求出和至少有一辆与和车相邻的概率【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着车和车，同时进来，两车，在，不相邻的条件下，基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，和至少有一辆与和车相邻的概率：故选：B4、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D5、D【解析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.【详解】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；∴；∴椭圆的方程是，即为化简的结果故选：D6、B【解析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率.【详解】依题意可知，所以.故选：B7、B【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为1，∴若与关于x轴对称，则，即，当三点不共线时，当三点共线时，所以同理(当且仅当时取得等号)所以当三点共线时，当三点不共线时，所以∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，∴.故选：B.8、D【解析】因为，所以，，，，故选D9、C【解析】根据数列前几项，归纳猜想出数列的通项公式.【详解】依题意，数列的前几项为：；；；……则其通项公式.故选C.【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.10、D【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可解得；【详解】解：因为，所以又汽车在时的瞬时速度为12，即即，解得故选：D【点睛】本题考查导数在物理中的应用，属于基础题.11、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到结果.【详解】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：A.12、A【解析】利用极小值的定义判断可得出结论.【详解】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值点有个，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与比较大小，即可确定答案.【详解】①由题设，几何体为棱长为的正四面体，该正四面体可放入一个正方体中，且正方体的棱长为，该正四面体的外接球半径为，满足要求；②由题设，几何体为棱长为的正四棱锥，如下图所示：设，连接，则为、的中点，因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，所以，，所以，，，所以点为正四棱锥的外接球球心，且该球的半径为，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为的正八面体，该正八面体可由两个共底面，且棱长均为的正四棱锥拼接而成，由②可知，该正八面体的外接球半径为，不满足要求；④由题设，几何体为棱长为的正方体，其外接球半径为，不满足要求；故答案为：①.14、1【解析】直接由必然事件的定义求解【详解】因为必然事件是一定要发生的，所以必然事件的概率是1，故答案为：115、【解析】根据，构造函数，利用其单调性求解.【详解】因为，所以，令，则，，所以是减函数，又，即，，所以，所以，则的解集为故答案为：16、【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.【详解】依题意在区间上恒成立，在上恒成立，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析：（2）【解析】(1)代入,求导分析函数单调性,再的最小值即可证明.(2),若函数在上存在两个极值点,则在上有根.再分,与,利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可.【详解】(1)证明：当时,,则,当时,,则,又因为,所以当时,,仅时,,所以在上是单调递减,所以,即.(2),因为,所以,①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.②当时,在区间上单调递增,因为.当时,,所以在上单调递减,没有极值点.当时,,所以存在,使当时,时,所以在处取得极小值,为极小值点.综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数的单调性与最值,进而证明不等式的方法.同时也考查了利用导数分析函数极值点的问题,需要结合零点存在定理求解.属于难题.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程【小问1详解】设，则，即因为，，所以因为，所以，所以.同理可证.因为，，所以四边形为平行四边形，因为为的中点，所以直线必过坐标原点【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立，整理得，则，，.因为，所以，因为，解得或.当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；所以直线的方程为，所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.故直线过定点.因为为的中点，为的中点，所以过定点.因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，该圆的半径，圆心坐标为，故动点的轨迹方程为．19、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由频率和为1列方程求解即可，（2）由于前3组的频率和小于0.6，前4组的频率和大于0.6，所以三科总分成绩的第60百分位数在第4组内，设第60百分位数为，则0.45+0.0125×(−220)=0.6，从而可求得结果，（3）利用列举法求解即可【小问1详解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小问2详解】因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科总分成绩的第60百分位数在[220，240)内，设第60百分位数为，则0.45+0.0125×(−220)=0.6，解得=232，即第60百分位数为232【小问3详解】将物理、化学、生物、政治、技术5门学科分别记作．则事件A表示小明选中“技术”，则，所以P(A)=20、（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，再利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出对应的概率，列出分布列即可求出数学期望【小问1详解】从这5人中随机抽取3人，恰有2人简历达标的概率为【小问2详解】由题可知，X的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，则，，，，，.故X的分布列为：X0346710P所以21、（1）；.（2）或.【解析】(1)首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，再根据两平行直线之间距离公式即可计算距离；(2)根据截距式方程的求法解答【小问1详解】由得设直线的方程为，代入点坐标得，∴直线的方程为∴两平行线间的距离【小问2详解】当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，∴直线的方程的方程为，即综上所述，直线的方程为或22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）过M作MN∥CD交PD于点N，证明四边形ABMN为平行四边形，即可证明BM∥平面PAD.（2）过B作AD的垂线，垂足为E，证明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.【详解】解：（1）证明：如图，过M作MN∥CD