2023-2024学年广州市各区高一上学期数学期末试题汇编《解答题》含答案

高中2023~2024学年广东省广州市各区高一上学期数学期末试题汇编：解答题（原卷版）集合与常用逻辑用语1.（2024年广东省广州市天河区）已知集合，全集．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．2.（2024年广东省广州市九区）设全集为，集合，（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.一元二次函数、方程和不等式1.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数.（1）求函数的最大值；（2）求不等式的解集．2.（2024年广东省广州市番禺区）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.3.（2024年广东省广州市天河区）某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时，(万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.（1）求年利润(万元)关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本)（2）当年产量为多少时，年利润最大?并求出最大年利润.4.（2024年广东省广州市九区）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求值；（2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）5.（2024年广东省广州市越秀区）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系．（1）若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；（2）若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围．函数的概念与性质1.（2024年广东省广州市番禺区）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）画出函数的图象，并写出的单调区间；（2）求出的解析式.2.（2024年广东省广州市天河区）已知函数．（1）判断的奇偶性，并根据定义证明；（2）判断函数在区间上单调性，并根据定义证明．3.（2024年广东省广州市九区）已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.4.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明．指数函数与对数函数1.（2024年广东省广州市番禺区）（1）根据定义证明函数在区间上是单调递减；（2）比较下列三个值的大小：，，.函数类压轴题1.（2024年广东省广州市九区）已知函数图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为，且满足.（1）求的解析式；（2）已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值.2.（2024年广东省广州市天河区）定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，．（1）求的值；（2）当时，求函数的解析式；（3）若存在，满足，求的取值范围．3.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．（1）求证：；（2）求的值；（3）当时，求不等式的解集．4.（2024年广东省广州市番禺区）已知函数（），.（1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（2）若对任意，存在，使得，求的取值范围.

2023~2024学年广东省广州市各区高一上学期数学期末试题汇编：前四个解答题（解析版）集合与常用逻辑用语1.（2024年广东省广州市天河区）已知集合，全集．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再由补集的定义求解即可；（2）根据子集的关系建立不等式求解即可.【小问1详解】由题意，解得：，则.【小问2详解】由题意，可知因为，所以，解得：，即，实数的取值范围.2.（2024年广东省广州市九区）设全集为，集合，（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出集合，，再利用交并补运算求解即可；（2）讨论和两种情况，再利用交并补运算求解即可.【小问1详解】，当时，，，，；【小问2详解】，当时，，即，符合；当时，或解得，综上或.实数的取值范围为.一元二次函数、方程和不等式1.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数.（1）求函数的最大值；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）借助基本不等式即可得；（2）解一元二次不等式即可得.【小问1详解】，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为；【小问2详解】，，即，解得或，又，故或，即不等式的解集为或.2.（2024年广东省广州市番禺区）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.【答案】米，米；立方米【解析】【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解.【详解】由题意，，即，，所以，即，解得，当且仅当，即时等号成立，因为，所以.即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米.3.（2024年广东省广州市天河区）某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时，(万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.（1）求年利润(万元)关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本)（2）当年产量为多少时，年利润最大?并求出最大年利润.【答案】（1）（2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.【解析】【分析】（1）根据题意，分与两种情况，求出年利润(万元)关于年产量（百台）的函数解析式；（2）在第一问的基础上，分别求出与时的年利润最大值，通过比较，最终求得结果.【小问1详解】当时，；当时，，综上：【小问2详解】当时，，当时，取得最大值为1700万元，当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元，因，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.4.（2024年广东省广州市九区）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求值；（2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）【答案】（1）（2）（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.【解析】【分析】（1）依题意当时，代入计算可得；（2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得.【小问1详解】由题意可知，当时，，所以，解得；【小问2详解】由于，故，由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：，当销售吨时，年销售收入为：，由题意，，即.【小问3详解】由（2）知：，即，当且仅当，又，即时，等号成立.此时，.该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.5.（2024年广东省广州市越秀区）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系．（1）若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；（2）若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围．【答案】（1），函数符合预测①与预测②，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）分别将“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得的值，进而判断函数是否符合预测①与预测②即可；（2）同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得，再结合对数函数的性质分两种情况判断函数是否符合预测①与预测②，进而求得的取值范围.【小问1详解】由于函数，第1年参观人数为12万人，即；第2年参观人数为14万人，即；联立可得：，所以，设，，且，得，，所以，即，所以在区间上单调递增，符合预测①，同时，，符合预测②；【小问2详解】由于函数，第1年参观人数为12万人，即；第2年参观人数为14万人，即；联立可得：，由指数函数的性质可知：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；若符合预测①，则或，当时，，符合预测①，此时，，，，再符合预测②，只需即可，由，且，得：；当时，，符合预测①，此时函数在区间上单调递增，同时，，解方程，可得，其中，，，即当时，，不符合预测②；综上所述，的取值范围是：.函数的概念与性质1.（2024年广东省广州市番禺区）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）画出函数的图象，并写出的单调区间；（2）求出的解析式.【答案】（1）图象见解析；增区间为，减区间为；（2）【解析】【分析】（1）先作出函数在区间上的图象，结合奇函数的对称性可得出该函数在区间上的图象，根据图象可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）设，可得出，由奇函数的性质得出，可得出函数在上的解析式，进而可得出该函数在上的解析式.【小问1详解】函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，且当时，，则函数的图象如下图所示：由图象知，增区间为，减区间为【小问2详解】设，则，则.因此，时，，所以函数在上的解析式为.2.（2024年广东省广州市天河区）已知函数．（1）判断的奇偶性，并根据定义证明；（2）判断函数在区间上单调性，并根据定义证明．【答案】（1）奇函数，证明见解析.（2）减函数，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可.【小问1详解】为奇函数，证明如下：函数定义域为R，所以，，则.所以为奇函数.【小问2详解】在上单调递减，证明如下：任取，且，则因为，所以，，所以，即，故函数在上是减函数.3.（2024年广东省广州市九区）已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（1）（2）函数在内单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）由奇函数的定义，通过变形即可求解；（2）任取，可证，从而得出结论.【小问1详解】函数的定义域为，由得，整理可得；【小问2详解】函数在内单调递减；证明如下：由（1）知，在上任取，，且，，由，得，，，所以，即，所以函数在内单调递减.4.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明．【答案】（1）为奇函数，理由见解析（2）当时，单调递减，当时，单调递增，理由见解析【解析】【分析】（1）求出定义域，计算出，得到答案；（2）利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论.【小问1详解】为奇函数，理由如下：的定义域为R，又，故为奇函数；【小问2详解】当时，单调递减，当时，单调递增，，且，则，因为，且，所以，当时，，即，故单调递减，当时，，即，故单调递增，指数函数与对数函数1.（2024年广东省广州市番禺区）（1）根据定义证明函数在区间上是单调递减；（2）比较下列三个值的大小：，，.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义及对数函数的单调性证明即可；（2）分析所给式子的正负，再由对数的运算及（1）的性质判断即可.【详解】（1）设任意且，则，由，可知，所以，，又，所以，即，所以函数在区间上是单调递减.（2）因为，，，所以只需比较，的大小即可，因为，而由（1）可知，所以，即，所以.函数类压轴题1.（2024年广东省广州市九区）已知函数图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为，且满足.（1）求的解析式；（2）已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图求出即可.（2）求出函数在上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解.【小问1详解】依题意，函数的周期，则，由，得函数图象的一个对称中心为，即有，而，则，所以的解析式为.【小问2详解】由（1）知，，当时，，因此在上单调递增，函数值集合为，值域为，由有且只有一个实数，对于，，使得，得函数在上的值域包含，并且实数唯一，当时，函数在上单调递增，的值域为，由，得，解得，显然符合条件的实数不唯一；当时，函数的图象对称轴为，当，即时，在上单调递增，的值域为，于是，解得，显然，当且仅当时，且唯一，因此；当，即时，，，，当是最小值时，而，不满足函数在上的值域包含，则不是最小值，必有，得，于是，解得，当时，且，此时且唯一，并且当时，，，实数不唯一，因此，所以实数的值是或.【点睛】结论点睛：函数，，若，，有，则的值域是值域的子集．2.（2024年广东省广州市天河区）定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，．（1）求的值；（2）当时，求函数的解析式；（3）若存在，满足，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义即可求得的值；（2）根据奇函数的定义求解析式；（3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出的关系，把化为的函数，从而得其范围.小问1详解】∵，是奇函数，∴，则；【小问2详解】当时，，，又是奇函数，则，当时，，，又是奇函数，则，因为是定义在R上的奇函数，则，故；【小问3详解】若，则由，有，且，从而有，若，则由，有，而，所以等式不成立；若，则由，有，即，且，从而有，综上：的取值范围为3.（2024年广东省广州市越秀区）已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．（1）求证：；（2）求的值；（3）当时，求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析（2）（3）