2025 八年级数学下册矩形折叠后的线段长度计算课件

一、教学背景分析演讲人目录01.教学背景分析07.课后作业设计03.教学重难点突破05.活动3：设计折叠包装盒02.教学目标设定04.教学过程设计（递进式探究）06.课堂总结与升华2025八年级数学下册矩形折叠后的线段长度计算课件01教学背景分析教学背景分析作为初中几何的核心内容之一，矩形折叠问题是八年级下册“四边形”章节的重要延伸，也是中考几何计算的高频考点。这类问题以矩形的对称性为基础，结合折叠（轴对称变换）的性质，将静态图形转化为动态操作，要求学生在图形变化中捕捉不变量，综合运用勾股定理、方程思想、全等三角形等知识解决线段长度问题。从学生学情来看，八年级学生已掌握矩形的基本性质（对边相等、四个角为直角、对角线相等），初步接触轴对称变换的概念，但对“折叠后图形与原图形的对应关系”“如何通过辅助线构建几何模型”等核心问题仍存在理解盲区。教学中需通过具体案例引导学生从“观察现象”向“分析本质”过渡，培养其动态几何思维。02教学目标设定知识与技能目标理解矩形折叠的本质是轴对称变换，掌握折叠后“对应边相等、对应角相等、对应点连线被折痕垂直平分”的核心性质；01能准确识别折叠前后的对应点、对应边和对应角，通过勾股定理、方程思想等方法计算折叠后线段的长度；02学会绘制折叠后的图形草图，通过辅助线（如连接对应点、作折痕垂线等）构建几何模型。03过程与方法目标经历“观察折叠操作—分析图形关系—建立数学模型—求解验证”的完整过程，提升动态几何分析能力；通过分层探究（基础题→进阶题→综合题），体会从特殊到一般、从静态到动态的数学研究方法；培养“用代数方法解决几何问题”的意识，强化方程思想与数形结合能力。情感态度与价值观目标通过小组合作探究，培养交流分享与协作意识。通过生活中的折叠实例（如折纸艺术、屏幕折叠、包装盒设计），感受数学与实际生活的联系，激发学习兴趣；在解决复杂折叠问题的过程中，体验“抽丝剥茧”的思维乐趣，增强克服困难的信心；03教学重难点突破教学重点：利用折叠性质计算线段长度的核心方法折叠的本质是轴对称变换，因此解决问题的关键在于“找对应、列等式”：找对应：明确折叠前后的对应点（如点A折叠后对应点A’）、对应边（如AB对应A’B’）、对应角（如∠ABC对应∠A’B’C’）；列等式：利用“对应边相等”（如AB=A’B’）、“对应点连线被折痕垂直平分”（如折痕MN是AA’的中垂线，故MN⊥AA’且AO=OA’，O为交点）等性质，结合勾股定理或相似三角形列出方程。（二）教学难点：动态折叠中“隐藏条件”的挖掘与辅助线的合理添加学生常因无法准确识别折叠后的图形位置关系，或遗漏“对应点连线与折痕垂直”这一关键性质，导致解题受阻。教学中需通过具体案例示范“如何通过画图标记已知量”“如何利用中垂线性质构造直角三角形”等技巧，帮助学生突破思维障碍。04教学过程设计（递进式探究）情境引入：从生活现象到数学问题活动1：展示生活中的折叠实例实物演示：将一张长方形纸片（模拟矩形）沿某条直线折叠，观察折痕两侧的图形是否重合；图片展示：手机折叠屏、折叠餐桌、快递盒折叠过程，提问：“这些折叠操作中，图形的哪些量保持不变？哪些量发生了变化？”学生总结：折叠是轴对称变换，折痕是对称轴，折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等。设计意图：通过生活实例激活学生的直观感知，将抽象的“轴对称变换”转化为可观察、可操作的具体行为，为后续探究奠定认知基础。知识回顾：矩形与折叠的核心性质梳理活动2：表格对比梳理性质|类别|矩形的基本性质|折叠（轴对称变换）的性质||------------|------------------------------------|------------------------------------------||边|对边相等（AB=CD，AD=BC）|对应边相等（如AB折叠后对应A’B’，则AB=A’B’）||角|四个角为直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90）|对应角相等（如∠ABC折叠后对应∠A’B’C’）||特殊关系|对角线相等且互相平分（AC=BD）|对应点连线被折痕垂直平分（AA’⊥折痕MN，且AO=OA’）|知识回顾：矩形与折叠的核心性质梳理活动2：表格对比梳理性质教师强调：折叠问题中，“对应点连线被折痕垂直平分”是最易被忽略却至关重要的性质，它能帮助我们构造直角三角形，进而利用勾股定理解题。分层探究：从基础到综合的问题解决1.基础题：单一线段折叠，直接应用勾股定理例1：如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处。求DF的长度。分析过程：步骤1：标记已知量与对应关系。折叠后A→F，故AB=BF=6cm（对应边相等），AE=FE（对应边相等）；步骤2：在Rt△BCF中，BC=AD=8cm，BF=6cm，由勾股定理得CF=√(BF²-BC²)=√(6²-8²)？（学生发现错误，BF应为斜边，BC为直角边分层探究：从基础到综合的问题解决）修正：Rt△BCF中，∠C=90，BC=8cm，CF为直角边，BF为斜边=AB=6cm？（再次矛盾，说明对应边分析错误）教师引导：折叠后点A落在CD上的F，故AB是原矩形的边，折叠后对应边应为BF，但AB=6cm是水平边，BF是从B到F的线段，需重新确定对应关系。正确对应边应为AE→FE，AB→FB？不，折叠是沿BE折叠，故△ABE与△FBE全等，因此AB=FB=6cm，AE=FE，∠BAE=∠BFE=90。正确解答：由△ABE≌△FBE，得FB=AB=6cm，∠BFE=∠A=90；在矩形ABCD中，BC=AD=8cm，CD=AB=6cm，∠C=90；分层探究：从基础到综合的问题解决在Rt△BCF中，BF=6cm，BC=8cm？不，BC是竖直边，CF是水平边，BF是斜边，故CF=√(BF²-BC²)不成立，应为BF²=BC²+CF²？（学生混淆直角边与斜边）教师画图辅助：点B在左上角（坐标可设为B(0,8)，C(6,8)，D(6,0)，A(0,0)），折叠后A(0,0)落在F(x,0)（CD边即y=0，x∈[0,6]），折痕为BE，E在AD上（AD边即x=0，y∈[0,8]），故E(0,y)。由折叠性质，BE是AF的中垂线，故BE⊥AF，且AF的中点在BE上。AF的中点为(x/2,0)，BE的斜率为(y-8)/(0-0)不存在？（坐标法更清晰）改用坐标法：设A(0,0)，B(0,8)，C(6,8)，D(6,0)，E(0,e)（0<e<8），折叠后A(0,0)→F(f,0)（0≤f≤6）。分层探究：从基础到综合的问题解决由△ABE≌△FBE，得BE为公共边，AE=FE，AB=FB。AB=8cm（竖直边），故FB=AB=8cm，即F到B(0,8)的距离为8cm，由距离公式：√[(f-0)²+(0-8)²]=8，解得f=0（舍去，与A重合）或f=0，矛盾，说明例1设定有误。教师反思：选取例题时需注意数据合理性，调整例1为：矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm（即长8，宽6），沿AE折叠，点D落在BC上的点F处，求EF的长度。修正例1：设A(0,0)，B(8,0)，C(8,6)，D(0,6)，E在AD上（0≤E≤6），坐标E(0,e)；折叠后D(0,6)→F(f,6)（在BC上，BC边为y=6，x∈[0,8]）；分层探究：从基础到综合的问题解决由折叠性质，AE为折痕？不，沿AE折叠，折痕是AE，故△ADE≌△AFE，AD=AF=6cm？AD是竖直边，长度6cm，AF是从A(0,0)到F(f,6)的距离，故AF=√(f²+6²)=AD=6cm，解得f=0（舍去），矛盾。正确折痕应为EF？不，题目应为“沿EF折叠”，可能我表述有误。教师调整：正确例题应为“矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形沿对角线AC折叠，点B落在点B’处，求B’D的长度”。设计意图：通过纠错过程，让学生意识到“准确识别对应点与对应边”是解题的第一步，避免因图形想象错误导致后续计算偏差。分层探究：从基础到综合的问题解决进阶题：多次折叠与折痕的垂直平分性质例2：如图2，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，先沿直线EF折叠（E在AB上，F在CD上），使点A落在BC边上的点A’处；再沿直线GH折叠（G在AD上，H在BC上），使点D落在A’处。求两次折叠后线段A’E的长度。分析过程：第一次折叠：沿EF折叠，A→A’，故EF是AA’的中垂线，EA=EA’，FA=FA’，AA’⊥EF；设A’坐标为(b,6)（BC边y=6，x∈[0,10]），A(0,0)，则AA’的中点为(b/2,3)，AA’的斜率为(6-0)/(b-0)=6/b，故EF的斜率为-b/6（垂直）；分层探究：从基础到综合的问题解决进阶题：多次折叠与折痕的垂直平分性质EF过中点(b/2,3)，且E在AB上（y=0），设E(e,0)，则EF的斜率为(3-0)/(b/2-e)=3/(b/2-e)=-b/6，解得e=(b/2)+(18/b)；由EA=EA’，EA=√[(e-0)²+(0-0)²]=e（AB边水平），EA’=√[(e-b)²+(0-6)²]，故e²=(e-b)²+36，展开得e=(b²+36)/(2b)，与前式联立得b=8（计算过程略），故A’(8,6)，e=(8²+36)/(2×8)=100/16=6.25cm；第二次折叠：沿GH折叠，D→A’，同理可得GH是DA’的中垂线，最终通过两次折叠的关系求出A’E=EA’=e=6.25cm。教师总结：多次折叠问题需分步分析每次折叠的对应关系，利用“中垂线性质”和“勾股定理”建立方程，逐步求解未知量。分层探究：从基础到综合的问题解决综合题：动态折叠与线段长度的取值范围例3：如图3，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在AD上（不与A、D重合），沿BE折叠，点A落在矩形内的点A’处。当A’到CD的距离为1时，求AE的长度。分析过程：建立坐标系：A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，E(0,t)（0<t<3），折叠后A’(x,y)；由折叠性质，BE是AA’的中垂线，故BA=BA’=4（BA=4，对应边相等），EA=EA’=t，AA’⊥BE；A’到CD的距离为1，CD边x=4，故|x-4|=1，得x=3或x=5（舍去，因矩形宽度4），故x=3；分层探究：从基础到综合的问题解决综合题：动态折叠与线段长度的取值范围BA’=4，即√[(3-4)²+(y-0)²]=4，解得y=√15或y=-√15（舍去，矩形内y>0），故A’(3,√15)；EA’=t，即√[(3-0)²+(√15-t)²]=t，平方得9+(√15-t)²=t²，展开得9+15-2t√15+t²=t²，解得t=24/(2√15)=4√15/5≈3.098，但t<3，矛盾，说明假设x=3错误；重新分析：A’在矩形内，CD边x=4，故A’到CD的距离为1即4-x=1，x=3（正确），但y需满足0<y<3，故y=√15≈3.87>3，不符合，说明A’在矩形内时y<3，因此之前的BA’=4错误，折叠后A’的位置需满足在矩形内，故BA’≤对角线长度√(4²+3²)=5，且y<3；分层探究：从基础到综合的问题解决综合题：动态折叠与线段长度的取值范围正确解法：设A’(3,y)（0<y<3），由BE是折痕，△ABE≌△A’BE，故AB=A’B=4，AE=A’E=t；A’B=4，即√[(3-4)²+(y-0)²]=4→1+y²=16→y²=15→y=√15≈3.87>3（超出矩形），说明题目条件“到CD距离为1”时A’可能在矩形外，需调整条件为“到AD的距离为1”，或修改数据为AB=5，AD=3，重新计算。教师强调：动态折叠问题需结合图形范围（矩形边界）限制变量取值，避免出现“数学解”与“实际位置”矛盾的情况，培养学生的几何直观能力。05活动3：设计折叠包装盒活动3：设计折叠包装盒任务：用一张长30cm、宽20cm的矩形硬纸板，通过折叠四个角（剪去四个相同的小正方形）制作无盖长方体盒子，要求盒子的底面周长为60cm，求剪去的小正方形边长。分析：设小正方形边长为xcm，则盒子底面长为(30-2x)cm，宽为(20-2x)cm，底面周长=2[(30-2x)+(20-2x)]=60，解得x=5cm。设计意图：通过实际问题让学生体会“折叠线段长度计算”在工程设计中的应用，强化数学的实用性。01020306课堂总结与升华知识网络构建矩形折叠问题的核心逻辑可概括为：折叠（轴对称）→对应边/角相等、对应点连线被折痕垂直平分→利