2025 八年级数学下册矩形折叠后重叠部分面积计算课件

一、教学背景分析：为何聚焦矩形折叠的重叠面积？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何聚焦矩形折叠的重叠面积？教学目标与重难点：明确方向，有的放矢教学过程设计：从现象到本质，层层递进课堂巩固与反馈：分层练习，强化应用总结与升华：从“解题”到“思维”的跨越课后作业（分层布置）目录2025八年级数学下册矩形折叠后重叠部分面积计算课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为，几何问题的核心在于“以形驭数，以数解形”。矩形折叠问题作为八年级下册“矩形与轴对称”章节的典型综合题型，既是对矩形性质的深化应用，也是对轴对称变换本质的直观诠释。今天，我将以“矩形折叠后重叠部分面积计算”为主题，结合教学实践中的典型案例，带领同学们从观察现象到揭示本质，从基础模型到综合应用，逐步构建解决此类问题的思维框架。01教学背景分析：为何聚焦矩形折叠的重叠面积？1教材地位与作用矩形是继平行四边形后学习的特殊平行四边形，其“四个角为直角”“对角线相等”的特性使其成为几何变换的理想载体。折叠问题本质是轴对称变换，而重叠部分面积的计算需要综合运用矩形性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形甚至方程思想。这一内容既是对“图形的轴对称”（八年级上册）的延伸，也是后续学习“图形的旋转”“二次函数与几何综合”的重要铺垫，在初中几何知识体系中起到“承上启下”的关键作用。2学情分析与教学定位八年级学生已掌握矩形的基本性质（对边相等、四个角为直角、对角线相等且平分）、轴对称的基本概念（对应点连线被对称轴垂直平分），以及勾股定理的应用。但面对动态折叠问题时，常存在三大困难：难以将“折叠操作”转化为“静态图形中的等量关系”（如对应边相等、对应角相等）；对重叠部分的形状（三角形、四边形或其他多边形）缺乏直观判断；不会通过“设元列方程”将几何问题代数化。因此，本节课的教学需以“操作-观察-猜想-验证”为主线，通过具体案例帮助学生建立“折叠→轴对称→找对应→列方程”的思维路径。02教学目标与重难点：明确方向，有的放矢1三维教学目标010203知识与技能：掌握矩形折叠后重叠部分面积的计算方法，能准确识别折叠前后的对应边、对应角，会利用勾股定理、全等三角形或相似三角形建立方程求解。过程与方法：通过动手折叠、画图分析、小组讨论，经历“动态操作→静态建模→代数求解”的全过程，培养空间想象能力和转化思想。情感态度与价值观：在解决实际问题的过程中感受几何的对称美，体会数学“以简驭繁”的魅力，增强探索复杂问题的信心。2教学重难点重点：利用折叠的轴对称性质，找到重叠部分的关键边、角关系，建立面积计算的数学模型。难点：动态折叠过程中隐含的等量关系（如折痕的垂直平分线性质、重叠部分与原图形的位置关系）的挖掘，以及多变量问题中方程的合理构建。03教学过程设计：从现象到本质，层层递进1情境引入：从生活折叠到数学问题（展示实物：一张A4纸、一本笔记本）同学们，当我们将矩形纸张沿某条直线折叠时，总会出现两个部分重叠的区域。比如，将笔记本封面向内折叠，重叠部分可能是一个矩形；将A4纸斜着折叠，重叠部分可能是一个三角形。今天，我们的任务就是：给定一个矩形的长和宽，以及折叠的方式（如沿对角线折叠、沿某边中点折叠等），计算重叠部分的面积。（学生活动：每人发一张矩形纸片，标上长a=8cm，宽b=6cm，尝试不同折叠方式，观察重叠部分形状并描述其特征。）设计意图：通过动手操作建立直观感知，激发探究兴趣，同时为后续抽象建模积累经验。1情境引入：从生活折叠到数学问题3.2知识回顾：折叠的本质是轴对称CDFEAB对应边相等（如折叠后点A落在A'，则折痕是AA'的垂直平分线，OA=OA'，∠AOP=∠A'OP）；重叠部分是两个全等图形的交集，其形状由折叠方式决定。关键提醒：折叠问题中，“折痕”是对称轴，“对应点连线”与折痕垂直且被折痕平分，这是解题的“突破口”。要解决折叠问题，首先需明确折叠的数学本质——轴对称变换。折叠前后的图形关于折痕所在直线对称，因此：对应角相等（如∠ABC=∠A'BC）；（板书：折叠→轴对称→对应边等、对应角等→重叠部分为对称图形的交集）ABCDEF3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.1模型一：沿矩形对角线折叠（基础型）例1：如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，沿对角线BD折叠，点A落在点A'处，求重叠部分△BED的面积。（教师分步引导）画图分析：画出折叠后的图形，标注已知边AB=6，AD=8，BD=√(6²+8²)=10cm（勾股定理）。找对应关系：折叠后，△ABD≌△A'BD，故∠ABD=∠A'BD，A'D=AD=8cm，A'B=AB=6cm。确定重叠部分形状：重叠部分为△BED，其中E是A'D与BC的交点（折叠后A'落在矩形外，A'D与BC相交于E）。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.1模型一：沿矩形对角线折叠（基础型）列方程求解：设DE=x，则A'E=A'D-DE=8-x。由折叠对称性知∠EDB=∠ADB（对应角相等），而AD∥BC（矩形对边平行），故∠ADB=∠EBD（内错角相等），因此∠EDB=∠EBD→△EBD为等腰三角形→EB=ED=x。在Rt△ABE中，AB=6，BE=x，AE=BC-EC=8-EC？不，应在Rt△BCE中分析：BC=AD=8，EC=BC-BE=8-x？不对，BC是长边，BE是从B到E的线段，E在BC上吗？不，A'D与BC相交于E，因此E在BC上吗？需重新标注坐标：设D为原点(0,0)，C(6,0)，B(6,8)，A(0,8)。对角线BD的方程为y=(8/6)x=(4/3)x。折叠后A(0,8)关于BD的对称点A'，可通过对称点公式计算：设A'(m,n)，则BD的中垂线过AA'中点(m/2,(n+8)/2)，且斜率为-3/4（BD斜率为4/3，中垂线斜率为负倒数）。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.1模型一：沿矩形对角线折叠（基础型）故有：(n-8)/m=-3/4（AA'与BD垂直），且(n+8)/2=(4/3)(m/2)（中点在BD上）。解得m=(48/25)×2=96/25？可能更简单的方法是利用全等：△BED中，EB=ED=x（等腰），在△ABE中，AB=6，AE=AD-DE=8-x？不，AD是竖直边8cm，A'D=AD=8cm，A'在BD的另一侧，所以A'D与BC的交点E满足BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB=6，BE=x，AE=√(x²-6²)？不对，应考虑坐标法：设E点坐标为(x,8)（在BC上，BC从B(6,8)到C(6,0)？不，原矩形ABCD，AB=6（水平边），AD=8（竖直边），故坐标应为A(0,8),B(6,8),C(6,0),D(0,0)。BD是从B(6,8)到D(0,0)，方程y=(4/3)x。折叠后A(0,8)关于BD的对称点A'坐标可通过公式计算：对称点坐标公式为：对于直线ax+by+c=0，点(x0,y0)的对称点(x',y')满足：3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.1模型一：沿矩形对角线折叠（基础型）ax0+by0+c=4×0+(-3)×8+0=-244x'=0-2×4×(-24)/(4²+(-3)²)=0+192/25=192/255x'=x0-2a(ax0+by0+c)/(a²+b²)1y'=y0-2b(ax0+by0+c)/(a²+b²)2BD的方程为4x-3y=0（由y=(4/3)x变形），故a=4,b=-3,c=0。代入A(0,8)：3y'=8-2×(-3)×(-24)/25=8-144/25=200/25-144/25=56/2563探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.1模型一：沿矩形对角线折叠（基础型）故A'(192/25,56/25)。A'D的直线方程：从D(0,0)到A'(192/25,56/25)，斜率为(56/25)/(192/25)=56/192=7/24，方程为y=(7/24)x。BC的直线方程是x=6（因为B(6,8),C(6,0)）。求E点坐标：x=6代入y=(7/24)x，得y=7/24×6=7/4=1.75，故E(6,7/4)。重叠部分△BED的三个顶点：B(6,8),E(6,7/4),D(0,0)。面积可通过底乘高计算：以BD为底，长度10cm，高为E到BD的距离。但更简单的是用坐标法：面积=1/2|(6×(7/4-0)+6×(0-8)+0×(8-7/4))|=1/2|6×7/4+6×(-8)+0|=1/2|42/4-48|=1/2|10.5-48|=1/2×37.5=18.75cm²。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.1模型一：沿矩形对角线折叠（基础型）但学生可能更易接受的方法是利用全等和勾股定理：由折叠知∠ADB=∠EDB，AD∥BC→∠ADB=∠EBD→∠EDB=∠EBD→EB=ED=x。在Rt△CDE中（D(0,0),C(6,0),E(6,y)），DE=√(6²+y²)=x（因为E(6,y)到D(0,0)的距离），而EB=8-y（B(6,8)到E(6,y)的距离为8-y），故x=8-y→y=8-x。代入DE=√(6²+y²)=x，得x²=36+(8-x)²→x²=36+64-16x+x²→0=100-16x→x=100/16=25/4=6.25cm。重叠部分面积=1/2×EB×AB？不，△BED的面积=1/2×BD×高，或用底EB=25/4，高为AB=6？不，正确的面积计算应为1/2×DE×AB（以DE为底，AB为高？不对，需明确△BED的底和高。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.1模型一：沿矩形对角线折叠（基础型）实际上，EB=ED=25/4cm，BD=10cm，由余弦定理可得cos∠EBD=(EB²+BD²-ED²)/(2×EB×BD)=((25/4)²+10²-(25/4)²)/(2×25/4×10)=(100)/(125)=4/5，故sin∠EBD=3/5，面积=1/2×EB×BD×sin∠EBD=1/2×25/4×10×3/5=(25×10×3)/(2×4×5)=(750)/(40)=18.75cm²，与坐标法一致。总结：沿对角线折叠时，重叠部分为等腰三角形，可通过“等角对等边”找到等腰关系，结合勾股定理列方程求解。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.2模型二：沿矩形一边中点折叠（进阶型）例2：如图2，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，E为AD中点（AE=ED=3cm），沿BE折叠使点A落在点A'处，求重叠部分△BEF的面积（F为A'B与CD的交点）。（学生分组讨论，教师巡视指导）画图标注：画出矩形ABCD，A(0,6),B(10,6),C(10,0),D(0,0)，E(0,3)（AD中点）。BE的方程为从B(10,6)到E(0,3)，斜率为(3-6)/(0-10)=3/10，方程y=(3/10)x+3。找对称点A'：A(0,6)关于BE的对称点A'。设A'(m,n)，则AA'中点((m/2),(n+6)/2)在BE上→(n+6)/2=(3/10)(m/2)+3→n+6=(3/10)m+6→n=(3/10)m。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.2模型二：沿矩形一边中点折叠（进阶型）AA'与BE垂直，斜率为-10/3（BE斜率为3/10），故(n-6)/m=-10/3→n=-10/3m+6。联立n=(3/10)m和n=-10/3m+6：(3/10)m=-10/3m+6→两边乘30得9m=-100m+180→109m=180→m=180/109≈1.65cm，n=3/10×180/109=54/109≈0.495cm。求F点坐标：A'B的直线方程：A'(180/109,54/109)到B(10,6)，斜率为(6-54/109)/(10-180/109)=(654/109-54/109)/(1090/109-180/109)=(600/109)/(910/109)=600/910=60/91，方程为y-6=(60/91)(x-10)。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.2模型二：沿矩形一边中点折叠（进阶型）CD的直线方程是y=0（D(0,0),C(10,0)），求F点：令y=0，解得0-6=(60/91)(x-10)→-6×91/60=x-10→-91/10=x-10→x=10-91/10=9/10=0.9cm，故F(9/10,0)。计算重叠部分面积：重叠部分△BEF的三个顶点B(10,6),E(0,3),F(9/10,0)。用坐标法面积公式：面积=1/2|10×(3-0)+0×(0-6)+9/10×(6-3)|=1/2|30+0+27/10|=1/2×(327/10)=327/20=16.35cm²。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.2模型二：沿矩形一边中点折叠（进阶型）另一种思路：利用折叠性质，A'E=AE=3cm，∠A'BE=∠ABE。设∠ABE=θ，则tanθ=AE/AB=3/10，故sinθ=3/√(10²+3²)=3/√109，cosθ=10/√109。在△A'BF中，A'B=AB=10cm（折叠后A'B=AB），BF=√(BC²+CF²)=√(6²+(10-x)²)（设CF=x，F在CD上，坐标(x,0)），但可能更简单的是用相似三角形：由A'E∥BF（？不一定），或利用勾股定理在△A'EF中：A'E=3，EF=ED+DF=3+DF（D(0,0),F(x,0),DF=x），A'F=AF（折叠后AF=A'F？不，A是沿BE折叠到A'，故AF≠A'F，而是A'E=AE=3，BA'=BA=10。关键突破：折叠问题中，“对应点到折痕的距离相等”“折痕是对应点连线的垂直平分线”是不变的规律，通过坐标法或设元列方程可将几何问题代数化，避免复杂的角度推导。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.3模型三：沿任意直线折叠（拓展型）例3：如图3，矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，沿直线MN折叠（M在AB上，N在CD上），使点B落在AD边上的点B'处（AB'=1cm），求重叠部分△BMN的面积。（教师引导学生自主分析）设元表示：设M点坐标为(a,3)（AB边从A(0,3)到B(5,3)），N点坐标为(b,0)（CD边从C(5,0)到D(0,0)），折痕MN的方程为y=kx+c。折叠性质应用：B(5,3)与B'(1,3)（AD边坐标为x=0到x=5，y=3？不，AD是竖直边，A(0,3),D(0,0)，故AD边为x=0，y从0到3，所以B'在AD上，坐标应为(0,t)，AB'=1cm，故A(0,3)到B'(0,3-1)=(0,2)（因为AD长度为3cm，向下1cm）。3探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.3模型三：沿任意直线折叠（拓展型）正确坐标：A(0,3),B(5,3),C(5,0),D(0,0)，B'在AD上，AD为x=0，y∈[0,3]，AB'=1cm，故B'(0,3-1)=(0,2)（AB'是线段长度，从A(0,3)到B'(0,2)，长度1cm）。01折痕MN是BB'的垂直平分线：BB'的中点为(5/2,5/2)，BB'的斜率为(2-3)/(0-5)=(-1)/(-5)=1/5，故折痕MN的斜率为-5（垂直），方程为y-5/2=-5(x-5/2)→y=-5x+25/2+5/2=-5x+15。02确定M、N坐标：M在AB上（y=3），代入MN方程：3=-5x+15→x=12/5=2.4，故M(12/5,3)。N在CD上（y=0），代入得0=-5x+15→x=3，故N(3,0)。033探究建模：从基础到综合的三类典型模型3.3模型三：沿任意直线折叠（拓展型）计算重叠部分面积：△BMN的顶点B(5,3),M(12/5,3),N(3,0)。底BM=5-12/5=13/5cm，高为N到AB的距离=3cm（AB在y=3，N在y=0，垂直距离3cm），但实际面积需用坐标法：面积=1/2|5×(3-0)+12/5×(0-3)+3×(3-3)|=1/2|15-36/5+0|=1/2×(75/5-36/5)=1/2×39/5=39/10=3.9cm²。总结：任意直线折叠时，折痕是对应点连线的垂直平分线，利用中点坐标和斜率关系可确定折痕方程，进而求出重叠部分的顶点坐标，最终计算面积。4方法提炼：解决折叠重叠面积问题的“四步走”通过以上案例，我们可总结出通用解题步骤：画草图：根据题意画出折叠前后的图形，标注已知边、角及对应点（如A→A'）。标等量：利用折叠的轴对称性，标注对应边相等（如AB=A'B）、对应角相等（如∠ABC=∠A'BC）、折痕是对应点连线的垂直平分线（如AA'⊥MN，且中点在MN上）。定形状：观察重叠部分的形状（三角形、四边形等），判断其是否为特殊图形（等腰三角形、平行四边形等）。列方程：选择合适的变量（如设某边为x），利用勾股定理、全等/相似三角形性质或坐标法建立方程，求解关键边长后计算面积。04课堂巩固与反馈：分层练习，强化应用1基础题（面向全体）矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm，沿对角线AC折叠，求重叠部分面积。（答案：24/5=4.8cm²）2提升题（面向中等生）矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，E为BC中点，沿A