河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试卷

下列直线中，倾斜角为

的是（y

3x

y

3x

y

3x

y

3xP

1P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ A．

B．

C．

ABx,1x1),CDy36ABCDy（ C．- D．-Ax2)2y2)22Bx2)2y2)218的位置关系是（内 B．相 C．外 D．外P是圆Ox2y220HxHPPMMH，则动点M的轨迹为（）长轴长为454x长轴长为454y长轴长为45，短轴长为 ，焦点在x轴上的椭长轴长为45，短轴长为

y若双曲线C:的斜率为（

14，直线l与CA，BAB

N

，则直线 B．

D．10AC2AA13BB13BD,G为△A1B1C1的重心，则点GACD的距离为（4

5

7, 2 该椭圆的离心率为（ B． 1

1PABCPAPBAPCBPC60DEPB，ACPB1PA2PC3，则（ DE

(PBPA

PBACDE(PBPA

PCAB若圆xm)2y1)24上到直线3x4ym012个，则m（

​

已知椭圆C:x2y2

则下列说法正确的是（PPFPF的斜率分别为k2k(k0)，则C PPFPF的斜率分别为k2k(k0)，则C 两条平行直线x5y30,2x25y30之间的距离 M

2x

1N:

1有公共点，则M的实轴长的取值范围 ， 的离心率的取值范围 ，C1FCE，则点F的轨迹长度 15（1） 求过点(11x2y0AxByC0的倾斜角为20AxByC0的倾斜角EABCDEAABCDAB//CDADABAB//ABADAE4,CD1ADBCECDEBCE7A(30),O为坐标原点，动点T满足|TA|2|TO|，记点T的轨迹为曲线C求C的标准方程ykx(2k1与CEFEF的最大值y2x2

已知椭圆C:

0)

的两个焦点为 sinPFFsinPFF23sinFPF1 2 求C的方程设直线l:ykx

3与CA，BByD若k43BAAD的斜率AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由

A2,3已知P，Q是双曲线 y1(a0)上两个不同的点，O为坐标原点，点 2 A在上，求的渐近线方程O，P，Q，A|PQ|107B(20)求B，P，Q三点共线，P，Qx轴上，M，N分别为PMQN交DD在一条定直线上.由倾斜角为π，则该直线的斜率为3，逐项判断即可3，则该直线的斜率为3所以这四条直线中，倾斜角为的是y

3x7根据双曲线的定义进行求解即可

1的实半轴长为

，则a 所以P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为2a 根据向量平行，列等式求解即可ABCDx1x1，解得x

y写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系ABA(22B(22)，则|AB|42AB的半径分别为2

，则|AB

，则这两个圆的位置关系是外切PMHPMMH列出等式，代入圆的方程中即可得到M的轨迹为椭圆PMxx0yy0MHx0xyx0PMMH，所以y2x2y220x22y)220x2y2 则动点M的轨迹是长轴长为

，短轴长为

x轴上的椭圆m【详解】由双曲线C的焦距为4，得 4，解得mm x2 设Ax,y,Bx, ，则

，则xxxxyyyy 1

x2y2

x1x2224y1y2212，所以2x1x2y1y2所以

y1y22x1ACD的法向量的坐标，进而根据向量的数量积ACFA1C1EEFBFB1ABBC

10AC2BF⊥ACBF

FFCFBFE所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，A100C100D03,1G0,13，设平面ACD的法向量为n(x,y,z)，则→AC2x →ADx3yz0y1，得n0,13，所以点GACD的距离为|n→DG||n

410长，从而解得椭圆的离心率【详解】设球的半径为r，则椭圆的短轴长2b2r，即brDEBCDE，AD，BE是光线，A，B是光线与球面的切点，则ACBθ,AB2r，椭圆的长轴长2aDEBC2r，即a 11故椭圆的离心率ec

2θ

1 A、CB、D，EPB，AC 1 1 1 所以DEDPPEPB(PAPC)(PBPAPC)，A正确，C错误 PAPBAPCBPC60PB1PA2PC3 PBACPBPCPA)PBPCPBPA13cos

12cos

3，B正确 PCABPC(PBPA)PCPBPCPA31cos

32cos

，D错误先求得圆心到直线的距离d|4m4|，再由r1dr1，求解即可【详解】圆xm)2y1)24的圆心为(m,1，半径r2圆心到直线3x4ym0的距离d|4m4|依题意得r1dr1，即1|4m4|3解得m199111 4 4

c2 PA1PA2x0ay0x0a2ax02x0c x0aPA1PA2PA1PA2的最大值为0A正确

c2

xPF1PF2x0cy0x0c2ax0

2x0

c，当

PF1PF2的最大值为b2，B x0

x0cC、D，设

，因为k0

x03c0x0a 0 x00ec1，C错误，D正确 3利用两平行线间的距离公式求解x5y302x25y662225x5y302x622253即直线2x25y60,2x25y30之间的距离 436 (0,

由双曲线方程写出a2b2，即可表示出离心率e，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中1111【详解】由my2x21，得

x1，则a2

1b21，所以e

mN的上顶点的坐标为(02M的上顶点的坐标为m

2即a2140a2，所以M的实轴长的取值范围为(01且m1，所以e1

511(04]5 F的坐标，利用C1FCE得到ab的关系式，再判断轨迹形状即可求解AABADAA1x，y，zC(62,62,0)，E(0,32,62)，C1(62,62,62)F(a0ba[062b[062则CE623262C1Fa6262b62QC1FCE，C1FCE0即62(a62)3662(b62)0，ab 0当a62时，b ，此时F为棱BB1的中点当a32b0FABAB的中点为MBB1NMNFQ

6，F615（1）（2）x0y0法一：由垂直设直线方程2xyt0，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式法一：由倾斜角得到tan20A（1（ xy2xy轴上的截距分别为10,4 （方法二）x0y4，y0x10，xy2xy轴上的截距分别为10,4 （2（方法一）依题意设所求直线方程为2xyt0，将点(11)的坐标代入得3t0，解得t3所以所求直线的方程为2xy30（方法二）x2y0的斜率为1y12(x1，y2x3（或2xy30）.（3（方法一）AxByC0的倾斜角为20所以tan20AAxByC0AAtan20tan160AxByC0的倾斜角为160（方法二）AxByC0AxByC0的斜率互为相反数，AxByC0的倾斜角为1802016016．(1)（ii）直接运用线面平行的判定定理证明即可（2（i）（1）AB//CDCD平面CDEABCDE，AB//CDE.D(0,0,4),E(4,0,0),B(0,4,0),C(0,1,4)则CE414BC034

→nCE4xy4z设平面BCE的法向量为n(x,y,z)，则→ y4，得n443ADBCE所成角为θn→4n→4n,AD004

sinθcos

nAD

341ADBCE341CDE的法向量为mxyzDC0,10)→–––→4xy4zmm则ym

,x1，得m10,1CDEBCE的夹角为→cosβcos→→

nm 77 n,

→ ，41n41所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 17．(1)(x1)2y2设T(x,y，根据题意，结合两点间距离公式，化简计算，即可得答案根据（1）可得圆心为C(10)2Cykxd的表达式，代入弦长公式，k的范围，即可求得答案.(x3)2（1）设T(xy，因为|TA|2|TO|，所以x26x9y24x2y2x22xy23.所以C的标准方程为(x1)(x3)2

x2（2）由（1）知，曲线C为一个圆，且圆心为C(1x2因为圆心Cykx的距离d

|kkk24d4d

23 k4kk4k2又2k1，所以1k24所以当k1时，EF取得最大值，且最大值 x(2)（i）143（ii）AD过定点，且定点的坐标为043 3 （1）因为sinPFFsinPFF23sinFPF1 2

FF2 12则2a232c 则a24c24a2b2CP(10)，故b 所以a24，所以C

y2

（2）

Ax1,y1,Bx2,y2

ykx

代入 x2得k24x223kx10xx23k,xx k241

k2（i）若k43，则有52x224x10x

1x

153,

1,

ByDDx2y2则

y2

143

2 （ii）当k0ADADy

y1y2xxx1ADyx0yyx1y1y2x1y2x2x1 x1x1kx2

3x2kx13x12kx1x2

k24 42x2

k2AD过定点，且定点的坐标为043 319．(1)y

131（ii）（1）A在

9又a0，所以a4故ybx

13x（2（i）OAy3xy3 由

169a2 y216因为a0，所以x161313416

10PQ10

16解得a21，故x2y2P，QxPQ0PQx