四川省达州市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷 含解析

达一中高2025级2025年秋季第二次月考

数学试题

满分：150分考试时间：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

∣Bx∣x3ABx∣1x3

1.已知集合A{x1xa}..若，则a的取值范围为（）

A.1a3B.a3

C.a3D.a3

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可.

【详解】集合A{x∣1xa}.Bx∣x3.

ABx∣1x3，

a3.

故选：C

2

2.命题“xR，xa1x10”为真命题，则实数a的取值范围为（）

A.a|a3或a1B.a|a3或a1

C.a|3a1D.{a|3a1}

【答案】C

【解析】

【分析】由不等式恒成立进行求解．

22

【详解】因为“xR，xa1x10”为真命题，即xa1x10恒成立，

2

则a140，即a22a30，解得3a1，

故选：C.

2

3.已知fx2x1，则f5（）

A.50B.48C.26D.29

【答案】A

【解析】

【分析】利用赋值法，令x7即可求解.

【详解】解：令x7，则f5f7272150．

故选：A.

4.已知x0,y0，且2xy2xy，则xy的最小值为（）

353

A.B.C.22D.2

422

【答案】D

【解析】

21

【分析】由题意可得2，利用基本不等式求解即可.

yx

12

【详解】因为x0,y0，且2xy2xy，所以2，

xy

12112xy12xy3

所以xy()(xy)(3)(32)2，

2yx2yx2yx2

21

x

2xy2

当且仅当，即时，等号成立，

yx22

y

2

3

所以xy的最小值为2.

2

故选：D.

logx,x0

已知函数2，，则的图象大致是（）

5.fx2gxfx1gx

(x1),x0

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

2

【分析】计算出x0时，gxx11，可排除A、B、D．

【详解】令x0，则x0，所以fx(x1)2，

2

gxfx1x11，故可排除A、B、D．

故选：C．

f2x1

6.已知函数yfx的定义域是8,1，则函数gx的定义域是（）

x2

99

A.,22,3B.8,22,1C.,22,0D.,2

22

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式82x11和x20可得．

9

【详解】由题意得：82x11，解得：x0，

2

由x20，解得：x2，

9

故函数的定义域是,22,0，

2

故选：C.

2x24ax3a5,x1,

7.已知定义域为R的函数fxa单调递增，则实数a的取值范围是（）

,x1

x

77

A.,1B.1,0C.,1D.,1

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次函数和反比例函数的单调性，列出不等式求解即可.

4a

1,

22

7

【详解】由题意fx在R上单调递增，则a0,解得a1．

2

a24a3a5,

故选：D．

aab

8.已知实数a，b满足alog512log12125，51213，则（）

A.ab2B.ba2

C.a2bD.b2a

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式，对数的运算法则及指数函数与对数函数的单调性判定即可.

【详解】易知ylog5x在0,上单调递增，且log5120，

log5211

故5，

alog512log12125log5122log512log5122

log511log511log512

即a2，

又y5x,y12x,y13x在R上单调递增，且x0时有5x12x13x，

所以5a12a13b时有13b5a12a52122132，

故b2，可排除C、D.

令g(x)5x12x13x,(x2)，

故g(x)525x212212x213213x2(52122)12x213213x2169(12x213x2)0，

即有g(x)5x12x13x0,(x2)，所以5a12a13a0，

即5a12a13a，即13b13a，故ba，故ab2.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.命题“xR,x2x20”的否定是“xR,x2x20”

B.若命题“xR，x24xm0”为假命题，则实数m的取值范围是4,

C.若a,b,cR，则“ab2cb2”的充分不必要条件是“ac”

1

D.“a1”是“1”的充分不必要条件

a

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据命题的否定即可判断A；利用根的判别式即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等

式的性质可判断CD

【详解】对于A，命题“xR,x2x20”的否定是“xR,x2x20”，故A正确；

对于B，∵命题“xR，x24xm0”为假命题，

则关于x的方程x24xm0无实数根，

故164m0，解得m4，故B正确；

对于C，∵ab2cb2可得ac；但当ac，b0时，有ab2cb2；

∴“若a,b,cR，则ac是ab2cb2的必要不充分条件，故C错误；

11

对于D，当“a1”时，则“1”成立；但当“1”时，“a1或a0”；

aa

1

故“a1”是“1”的充分不必要条件，故D正确．

a

故选：ABD.

2xb3

10.已知函数f(x)，且f(2)，则（）

2xb5

A.b＝1B.f(x)是减函数

C.函数f(x)的值域为1，1D.不等式f(3x21)f(x3)0的解集为

4

,1

3

【答案】ACD

【解析】

32x12

【分析】由f(2)求出b可判断A；利用f(x)1可判断B；利用分离常数法求值域可

52x12x1

判断C；利用f(x)单调性和奇偶性可判断D．

4b3

【详解】f(2)，解得b1，A正确；

4b5

2x12

f(x)1，f(x)是R上的单调递增函数，B错误；

2x12x1

12

∵2x0，∴2x11，01，20，

2x12x1

2

∴111，∴f(x)的值域为(1,1)，C正确；

2x1

xx

2112

f(x)的定义域为R，∵f(x)xxf(x)，∴f(x)为奇函数，

2112

∵f3x21f(x3)0f3x21f(x3)f(3x)，

∴3x213x，即3x2x40，

4

解集为,1，D正确．

3

故选：ACD．

11.用x表示不小于x的最小整数，例如，1.31，1.62．已知fxxx，则（）

A.f2.40.6B.fx为奇函数

5

C.fx的值域为0,1D.方程x2x1所有根的和为

2

【答案】AD

【解析】

【分析】利用新函数的定义直接计算可判定A，利用特殊值可判定B，分区间结合定义可判定C，分类讨论

解方程可判定D.

【详解】对于A，易知f2.42.42.432.40.6，故A正确；

对于B，因为f2.40.6，且f2.42.42.422.40.4，

即f2.4f2.4，所以函数fx不是奇函数，故B错误；

对于C，由定义不妨设xn,n1,nZ时，则xn1，

可得fxxxn1x0,1，所以fx的值域为0,1，故C错误；

对于D，x2x1，因为xxx1，即x2x1x1，解得1x2，

当x1时，满足方程，即x1是方程x2x1的根；

3

当1x2时，x2，故22x1，解得x，

2

35

故方程x2x1所有根的和为1，故D正确.

22

故选：AD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知：关于x的不等式ax2bxc0的解集为1,2，则关于x的不等式ax2bxc0的解集为

__________.

【答案】x|2x1

【解析】

【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到ba,c2a，且a0，从而得所求不等式等价

于x2x20，即可求解.

【详解】因为关于x的不等式ax2bxc0的解集为1,2，

则方程ax2bxc0的两根为1和2，且a0，

b

12

a

所以，得到ba,c2a，且a0，

c

12

a

由ax2bxc0，得到ax2ax2a0，即x2x20，

即x2x10，解得2<x<1，所以不等式ax2bxc0的解集为x|2x1，

故答案为：x|2x1.

的

13.函数yloga2x38（a0且a1）图象恒过定点A，且点A在幂函数fx的图象上，则

f3_________．

【答案】27

【解析】

【分析】根据对数函数的性质求得定点A的坐标，再据此求出fx的表达式，最后再求f3的值即可．

【详解】由题意2x31，x2，则y8，函数yloga2x38恒过的定点A为2,8，

aa

设fxx，fx过A点，f228，解得a3，

∵∴

fxx3，f33327．

故∴答案为：27．∴

14.当x2时，函数y4ax1（a0，且a1）的图象恒在函数y3x4的图象下方，则a的取值范

围为_______.

1

【答案】0,

2

【解析】

3x1

【分析】由题意，得当x2时不等式4ax13x4恒成立，即ax1x1，令fxa，

4

3

g(x)x1，分类讨论a1和0a1两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，

4

由图像得到关于a的不等式，解不等式得解

3

【详解】由题意，得当x2时不等式4ax13x4恒成立，即ax1x1，

4

3

令fxax1，g(x)x1，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，

4

当a1时，如图所示，

3

由图可知，xR，ax1x1恒成立，故不满足题意；

4

当0a1时，如图所示，

331

由图可知，要x2，ax1x1恒成立，需f2g2，即a2121，解得a，故

442

1

0a

2

1

综上可知：a的取值范围是0,.

2

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立即可或恒成立（即可）；

afx(afxmax)afxafxmin

②数形结合(yfx图像在ygx上方即可)；

③讨论最值fx0或fx0恒成立

minmax.

四、解答题：本题共5小题，共77分．

1

332

15.令0.254270，.

P822021Q2log32log3log38

649

（1）分别求P和Q；

11

（2）若2a5bm，且Q，求m.

ab

7

【答案】（1）P，Q2

3

（2）10

【解析】

【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q.

11lgmlgm

（2）2a5bm，且Q2，利用对数换底公式可得a，b，代入解出即可得出.

ablg2lg5

【小问1详解】

1

313

3

解：44447

P22121.

333

3232228

Q2log2loglog8log4loglog8loglog92

339333933323.

9

【小问2详解】

11

解：2a5bm，且Q2，

ab

lgmlgm

∴a，b，

lg2lg5

lg2lg51

∴2，可得lgm，

lgm2

∴m10.

2222

16.已知函数fx2xaxa4，gxxxa8，aR.

（1）当a1时，解不等式fx0；

（2）若对任意x0，都有fxgx成立，求实数a的取值范围；

（3）若对任意x10,1，任意x20,1，使得不等式fx1gx2成立，求实数a的取值范围.

3

【答案】（1）1,；（2）a5；（3）a,6.

2

【解析】

【分析】

2

（1）把a1代入解析式，解一元二次不等式即可；（2）把问题转化为求x1ax40在x0恒

h040

2

成立，令hxx1ax40，x0，当，成立；当0，只需1a，求解

0

2

221

即可得解；（3）把问题转化fxgx，x0,1，对于gxxxa8，对称轴x，

minmax2

a

gxg0g1a28；对于fx2x2axa24，对称轴x，对称轴与区间端点值的

max4

大小进行讨论即可得出结论.

2

【详解】解：（1）a1时，fx2xx3，

令fx0，

得：2x3x10，

3

解得：1x，

2

3

所以fx0的解集为：1,；

2

（2）若对任意x0，都有fxgx成立，

即x21ax40在x0恒成立，

令hxx21ax40，x0，

2

1a160，

即3a5时，

hx和x轴无交点，开口向上，符合题意，

0时，解得：a5或a3，

h040

只需1a，

0

2

解得：a1，

又a5或a3，

得a3；

综上：实数a的取值范围是a5；

（3）若对任意x10,1，任意x20,1，使得不等式fx1gx2成立，

即只需满足，，

fxmingxmaxx0,1

1

gxx2xa28，对称轴x，

2

11

gx在0,递减，在,1递增，

22

∴2，

gxmaxg0g1a8

fx2x2axa24，

a

对称轴x，

4

a

①0，

4

即a0时，fx在0,1递增，

22恒成立；

fxminf0a4gxmaxa8

a

②01，

4

即0a4时，

aa

fx在0,递减，在,1递增，

44

a722

fxfa4，gxa8，

min48max

7

∴a24a28，

8

故：0a4；

a

③1，

4

即a4时，fx在0,1递减，

2，2，

fxminf1aa2gxmaxa8

∴a2a2a28，

解得：4a6，

综上：实数a的取值范围为：,6.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数yfx,xa,b，ygx,xc,d

（）若，，总有成立，故；

1x1a,bx2c,dfx1gx2fxmaxgx2min

（）若，，有成立，故；

2x1a,bx2c,dfx1gx2fxmaxgx2max

（）若，，有成立，故；

3x1a,bx2c,dfx1gx2fxmingx2min

（4）若x1a,b，x2c,d，有fx1gx2，则fx的值域是gx值域的子集．

17.某科研小组研究发现：一颗梨树的产量y（单位：百千克）与肥料费用x0x10（单位：百元）

2

满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，y4；投入的肥料费用超过6百元且不超过10

x1

11

百元时，yx2x．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）3x百元．已知这种梨的

1836

市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为Lx（单位：百元）．

（1）求利润Lx的函数解析式；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？

36

724x,0x6

x1

【答案】（1）Lx

1

x214x,(6x10)

2

（2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元

【解析】

【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可；

（2）当0x6时，由基本不等式求解；当6x10时，由二次函数的性质求解，综合可得答案.

【小问1详解】

2

1844x,0x6

x1

由题意，Lx18yx3x，

121

18xx4x,(6x10)

1836

36

724x,0x6

x1

即Lx；

1

x214x,(6x10)

2

【小问2详解】

当0x6时，1x17，

363636

Lx724x764x17624x152，

x1x1x1

36

当且仅当4x1，即x2时，等号成立，

x1

所以当x2时，Lx取得最大值52；

12

当6x10时，Lxx214xx749.5，

2

所以当x7时，Lx取得最大值，最大值为L749.5，

所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．

xx

18.已知函数fxa22是定义在R上的奇函数．

（1）求a的值；

2

（2）解不等式f3x5xfx40；

xx

（3）若gx442mfx在区间1,上的最小值为2，求m的值．

【答案】（1）a1

2

（2）{x|x2或x}

3

25

（3）m2或

12

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；

（2）结合函数的单调性及奇偶性即可求解；

xx2

（3）令tfx22，可得gttm2m2，求出t的范围进一步再对m分类讨论，即可求

2

得gttm2m2的最小值，结合题意即可得m的值．

【小问1详解】

f(x)是定义域为R上的奇函数，

f(0)0，a20200，a10，a1，

此时fx2x2x，fx2x2xfx，

经检验，a1符合题意．

【小问2详解】

f(x)2x2x，y2x为增函数，y2x为减函数，

\f(x)是在R上单调递增的奇函数，

由f3x25xfx40可得f3x25xf4x，

2

3x25x4x，即3x4x43x2x20，

2

x2或x，

3

2

不等式的解集为{x|x2或x}．

3

【小问3详解】

fx2x2x，gx4x4x2mfx，

2

gx22x22x2m2x2x2x2x2m2x2x2，

xx3

令tfx22，x1，tf1，

2

2

gtt22mt2tm2m2，

3

当m时，当tm时，gtgm2m22，则m2（m2舍去）；

2min

33317253

当m时，当t时，gtg3m2，解得m，符合要求；

22min24122

25

综上所述，m2或．

12

19.已知函数fxlogax1log2x2，其中a0且a1.

（1）若yfx的图象过点8,2，求实数a的值；

x

（）若方程有两个实数根，且14,42，求实数a的取值范围；

2fx1x1,x2

x2

xyxyz

（3）若xylog222，xyzlog2222，求z的最大值.

【答案】（1）2

2

（2）a,11,22

4

（3）2log23

【解析】

【分析】（1）代入点的坐标，即可求出参数a的值；

（）利用换底公式化方程为2，利用换元法及韦达定理得

2log2x2log2alog2xlog2a0

2

x2x1

log14loga，根据4,42解出a的范围；

22x

x22

（3）根据指数与对数的关系得到2x2y2xy、2x2y2z2xyz，从而得到2xy2z2xy2z，

1

再设sxy，t2zt0，即可得到t1，再求出s的取值范围，即可求出t的最小值，从而

2s1

得解.

【小问1详解】

因为yfx图象过点8,2，

所以f8loga81log2822，即loga812，

3

所以loga83，即a8，解得a2.

【小问2详解】

因为fx1，则logax1log2x21x0，

因为a0且a1，所以log2a0，

2

logxlogx

可化为2，整理得22log2xlog2a，

1log2x21x0log2x0x0

log2alog2alog2alog2a

所以原式可化为2