专题3.3 椭圆双曲线的离心率问题（期末复习讲义）原卷版及全解全析

1/3专题3.3椭圆双曲线的离心率问题（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律利用a,b,c的齐次式求离心率根据题目条件构造齐次式求离心率基础必考点，常出现在小题中利用椭圆双曲线的几何性质求离心率掌握椭圆的几何性质并转化为可列出的条件来求离心率基础必考点，常出现在小题中根据解三角形的方法求离心率掌握解三角形方法并使用在圆锥曲线的三角形内。高频必考点，常出现在小题中根据双曲线的渐近线性质求离心率掌握双曲线的渐近线的一些性质。高频必考点，双曲线有关的小题中，渐近线是很容易考察的知识点。求离心率的范围掌握圆锥曲线中的一些限制范围，如焦半径，点坐标，焦点三角形顶角等，根据限制条件列出不等式。高频必考点，常出现在小题中知识点01利用a，b，c的齐次式求离心率将题目中几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）转化为一个只包含基础量

a,b,c

的齐次式方程。由于离心率

e=ca，且圆锥曲线中a,b,c

存在固有关系（椭圆：c2知识点02利用椭圆双曲线的几何性质求离心率1、对称性：充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于

a,b,c

的方程。2、当题目条件中出现

“中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于

a,c

的等量关系。3、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。知识点03根据解三角形的方法求离心率在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把圆锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。利用余弦定理利用正弦定理利用面积公式知识点04根据双曲线的渐近线性质求离心率双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为a,b,c2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为P(a,b知识点05求离心率的范围要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有：1、焦半径的取值范围2、圆锥曲线上的坐标的取值范围3、焦点三角形的顶角的取值范围4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。题型一利用a,b,c的齐次式求离心率解｜题｜技｜巧由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；【典例1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·广东阳江·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·江西吉安·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为．题型二利用对称性求离心率解｜题｜技｜巧充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性来转化关系。【典例1】（24-25高二上·福建莆田·期末）设椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于M、N两点，.且，则C的离心率为（）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0，b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．+1【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·广东茂名·期末）设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为.题型三构造中位线求离心率解｜题｜技｜巧遇到中点或者角分线时，可以考虑需不需要构造中位线来解决问题。【典例1】（25-26高二上·江苏常州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【变式1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．题型四顶角为直角求离心率解｜题｜技｜巧当顶角为直角时，也是常考的一种焦点三角形的类型，这是多次使用勾股定理来解决问题。【典例1】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·河南信阳·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于，，若，设双曲线的离心率为，则．【变式1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为.题型五利用余弦定理求离心率解｜题｜技｜巧根据题目条件一次或多次使用余弦定理，列出a，b，c的关系，从而求出离心率【典例1】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·福建三明·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（

）．A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·重庆·期末）如图：，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．题型六利用正弦定理求离心率解｜题｜技｜巧题目中如果有角度关系，三角形的两边比值时，可以考虑用正弦定理构a，b，c的关系，从而求出离心率。【典例1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是.【典例2】（24-25高二下·浙江温州·期末）如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于．【变式1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是．【变式2】（多选）（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．椭圆C的离心率为D．题型七由双曲线的渐近线性质求离心率解｜题｜技｜巧双曲线的渐近线有很多的二级结论，这里题型偏基础一些渐近线性质。【典例1】（24-25高二下·云南临沧·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为.【典例2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，垂线与另一条渐近线相交于点.若点是线段的中点，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．题型八求离心率的范围解｜题｜技｜巧根据题目条件以及圆锥曲线的一些限制条件来构造离心率的不等式，从而求离心率的范围。【典例1】（24-25高二上·陕西汉中·期末）椭圆E:的左、右焦点分别为，若椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，则E的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是．【变式1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是.【变式2】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为．2．（24-25高二上·广东广州·期末）在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为.3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26高三上·陕西西安·月考）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为.2.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得，则的离心率的取值范围为．3．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为，抛物线与交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为．4．（24-25高二上·浙江宁波·期末）椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为.5．（多选）（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（

）A． B．C．，C的离心率为 D．四边形的面积为期末综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（24-25高三下·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，点满足，且，则双曲线的离心率为.2．（多选）（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（

）．A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为C．四边形的面积为15 D．3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是.4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．

专题3.3椭圆双曲线的离心率问题（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律利用a,b,c的齐次式求离心率根据题目条件构造齐次式求离心率基础必考点，常出现在小题中利用椭圆双曲线的几何性质求离心率掌握椭圆的几何性质并转化为可列出的条件来求离心率基础必考点，常出现在小题中根据解三角形的方法求离心率掌握解三角形方法并使用在圆锥曲线的三角形内。高频必考点，常出现在小题中根据双曲线的渐近线性质求离心率掌握双曲线的渐近线的一些性质。高频必考点，双曲线有关的小题中，渐近线是很容易考察的知识点。求离心率的范围掌握圆锥曲线中的一些限制范围，如焦半径，点坐标，焦点三角形顶角等，根据限制条件列出不等式。高频必考点，常出现在小题中知识点01利用a，b，c的齐次式求离心率将题目中几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）转化为一个只包含基础量

a,b,c

的齐次式方程。由于离心率

e=ca，且圆锥曲线中a,b,c

存在固有关系（椭圆：c2知识点02利用椭圆双曲线的几何性质求离心率1、对称性：充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于

a,b,c

的方程。2、当题目条件中出现

“中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于

a,c

的等量关系。3、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。知识点03根据解三角形的方法求离心率在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把圆锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。利用余弦定理利用正弦定理利用面积公式知识点04根据双曲线的渐近线性质求离心率双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为a,b,c2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为P(a,b知识点05求离心率的范围要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有：1、焦半径的取值范围2、圆锥曲线上的坐标的取值范围3、焦点三角形的顶角的取值范围4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。题型一利用a,b,c的齐次式求离心率解｜题｜技｜巧由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；【典例1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率.【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为.如图，由，，可得，代入椭圆方程，得，又，故，解得（舍去），所以.故选：A.【典例2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】表达出，将其代入双曲线上，整理得到，计算出.【详解】由对称性，知轴，，，四边形是正方形，则，，则，，则在双曲线上，，即，即，化简整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故选：C．【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).【变式1】（24-25高二上·广东阳江·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用得，即轴，进而求得，再利用勾股定理得转化为，解方程可得答案.【详解】由，得为的中点，又坐标原点为的中点，则，于是轴，，则，因此，即，整理得，则，而，所以.故选：A【变式2】（24-25高二上·江西吉安·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据给定条件，确定直角三角形的直角顶点位置，建立方程并结合双曲线定义求出，再借助相似三角形性质列式求解作答.【详解】根据题意轴，所以为直角三角形，由有，设，把代入有，所以，即，由有，由，即.故答案为：.题型二利用对称性求离心率解｜题｜技｜巧充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性来转化关系。【典例1】（24-25高二上·福建莆田·期末）设椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于M、N两点，.且，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆对称性利用勾股定理以及椭圆定义计算可得离心率.【详解】连接，如下图所示：由对称性可知四边形为平行四边形，由可得；又可得，因此；因此，即，即，可得；由椭圆定义可得，即.故选：D【典例2】（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0，b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．+1【答案】D【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率.【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以,记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为,所以，所以,所以点的纵坐标为,所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得,整理得：，联立,得：,化简得：两边同除以,得：,解得：,.因为双曲线的离心率大于1，所以.方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以,记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为,所以，所以,所以点的纵坐标为,所以,以,由双曲线的定义，知,所以,所以,双曲线C的离心率为.故选：D.【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示，

又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即，所以，即.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【变式2】（24-25高二上·广东茂名·期末）设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为.【答案】【分析】由双曲线的对称性可得，，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，则，即，，所以.故答案为：题型三构造中位线求离心率解｜题｜技｜巧遇到中点或者角分线时，可以考虑需不需要构造中位线来解决问题。【典例1】（25-26高二上·江苏常州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得．【详解】因为为的中点，而是中点，所以，所以的周长是周长的一半，又的周长为6，所以周长是12，即，得，又，所以，．故选：B．【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】作出辅助线，得到，故，，由双曲线定义得到方程，求出，求出离心率.【详解】设直线与的切点为，连接，则，因为，所以，而，所以，，而，所以，所以，．因此，所以，离心率.故选：B．【变式1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可.【详解】延长交的延长线于，连接，由题意知：，，所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆，所以与短轴顶点的最短距离为，所以，所以，则.故选：C.【变式2】（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解.【详解】根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知，由椭圆的定义可得，所以，所以，由是的中位线，可得，所以，解得，所以的离心率为.故选：B.题型四顶角为直角求离心率解｜题｜技｜巧当顶角为直角时，也是常考的一种焦点三角形的类型，这是多次使用勾股定理来解决问题。【典例1】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，不妨设，则，因为，且，可知为矩形，则，，又因为，，即，可得，，则，在中，，即，解得，可得，则，即，可得，所以椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．【典例2】（24-25高二上·河南信阳·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于，，若，设双曲线的离心率为，则．【答案】/【分析】设，根据双曲线定义表示出，在中，由勾股定理解得，从而各边都可以用表示，在中得到和的关系，从而得到的值.【详解】设，因为，所以，，因为点、在双曲线右支上，根据双曲线定义得，，因为，所以，在中，由勾股定理得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：双曲线定义的应用双曲线上的点均符合双曲线的定义，即，，再根据点在右支得到，，再结合，从而各边均可用来表示.【变式1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率.【详解】如图，

由，得，，其中，所以，可得为直角三角形，，且，解得，，再由勾股定理可得：得，．故选：D．【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为.【答案】【分析】根据题意得到，设，则，由勾股定理得，由双曲线定义得到方程，求出，故，，在中，由勾股定理得到方程，求出，得到离心率.【详解】因为，所以，又，所以，设，则，由勾股定理得，由双曲线定义得，故，故，由双曲线定义得，故，解得，故，，在中，由勾股定理得，即，解得，故离心率.故答案为：题型五利用余弦定理求离心率解｜题｜技｜巧根据题目条件一次或多次使用余弦定理，列出a，b，c的关系，从而求出离心率【典例1】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率.【详解】因为，又因为，所以，因为，则，，在中，，所以，所以，所以，所以.故选：D.【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据条件和双曲线定义表示出，然后结合余弦定理求解，可得为等腰三角形，则离心率可求.【详解】设，所以，又因为成等差数列，所以，所以，所以，因为，解得，

所以，所以为等腰三角形，即，化简可得，所以.故选：A【变式1】（24-25高二上·福建三明·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由点、N关于的角平分线对称，可得，设，根据椭圆的定义求出，再在中，利用余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解.【详解】由题意可得共线，因为点、N关于的角平分线对称，所以，设，则，故，由，得，在中，由余弦定理得，，即，即，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即椭圆C的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【变式2】（24-25高二上·重庆·期末）如图：，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设圆的半径为，由条件结合双曲线的定义证明，结合双曲线定义及余弦定理列方程确定关系，由此可得结论.【详解】设圆的半径为，则，因为，所以，由双曲线定义可得，所以，故，，，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由已知，所以，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：D.

题型六利用正弦定理求离心率解｜题｜技｜巧题目中如果有角度关系，三角形的两边比值时，可以考虑用正弦定理构a，b，c的关系，从而求出离心率。【典例1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是.【答案】【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，利用正弦定理得到，再由椭圆的定义及双曲线的定义得到，结合得到，两边除以得到的方程，解得，再求出.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，由正弦定理得.∵，∴，∴.∵，，∴，∴.又∵，所以，两边除以并化简得，∴或（舍去），则.故答案为：【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．【典例2】（24-25高二下·浙江温州·期末）如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于．【答案】【分析】根据题意可设，则，由，可得，作的角平分线，在和中，利用正弦定理建立方程可求，再在中，利用余弦定理即可求.【详解】设的角平分线交与，，，设，则，又，，所以，，又为的角平分线，所以，，，在中，，在中，，所以，整理得，，解得（舍去），所以，在中，，又，所以，所以.故答案为：.【变式1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是．【答案】【分析】利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率的取值范围．【详解】

椭圆的左右焦点分别为，，，，抛物线以为焦点，，解得，抛物线方程为，在中，由正弦定理得，，，解得，，，在抛物线上，，由椭圆的焦半径公式得：，，解得，则，，整理得，解得，又，．故答案为：．【变式2】（多选）（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．椭圆C的离心率为D．【答案】ABD【分析】选项A，由正弦定理和角平分线得到；选项B，利用，可得，再由三角形的面积公式，求解即可；选项C，根据A选项与椭圆的定义可得，，再在中，利用余弦定理，结合离心率的计算公式，求解即可；选项D，由，，推出N是的中点，从而知，得解．【详解】选项A，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由于PM平分，故，又，故，所以，即选项A正确；选项B，设椭圆的焦距，，故，，由题意知，，，所以，所以，所以，，所以，即选项B正确；选项C，由选项A知，，由椭圆的定义知，，所以，，在中，由余弦定理知，，所以，整理得，两边同时除以，得，解得离心率或，即选项C错误；选项D，由选项A和B知，，，所以，又，所以直线l垂直平分，即N是的中点，因为O是的中点，所以，即D正确．故选：ABD题型七由双曲线的渐近线性质求离心率解｜题｜技｜巧双曲线的渐近线有很多的二级结论，这里题型偏基础一些渐近线性质。【典例1】（24-25高二下·云南临沧·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为.【答案】2【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率.【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如上图，设点在上，则，故，所以，则，故，所以，故，则椭圆离心率为.故答案为：2【典例2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据双曲线左焦点和直线斜率求出直线的方程，然后联立直线与圆的方程求出点的坐标.接着利用点是中点这一条件，联立直线与双曲线渐近线方程求出、横坐标，再根据中点坐标公式列出等式，最后求解出双曲线的离心率.【详解】由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，半径为c，直线的斜率为，则直线方程为，由，得，即点P的坐标为，双曲线渐近线方程为，设点，点，则①，，由，得，由，得，代入①得，解得，所以双曲线C的离心率故选：

【变式1】（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量等式可得，由焦点到渐近距离，结合离心率的意义求得答案.【详解】设双曲线的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为，由，得，则，即，，，由，得，所以的离心率为.故选：B【变式2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，垂线与另一条渐近线相交于点.若点是线段的中点，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设，另一个焦点为，设l与垂直，垂足为点A，与交于点B，因为A是线段FB的中点，l与垂直，所以，因此三角形是等腰三角形，因此，由双曲线和渐近线的对称性可知：，所以有，因此.故选：C.题型八求离心率的范围解｜题｜技｜巧根据题目条件以及圆锥曲线的一些限制条件来构造离心率的不等式，从而求离心率的范围。【典例1】（24-25高二上·陕西汉中·期末）椭圆E:的左、右焦点分别为，若椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，则E的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，可得以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，建立不等式求出离心率范围.【详解】由椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，得以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，因此椭圆半焦距，即，则，解得，而，所以E的离心率的取值范围为.故选：B【典例2】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是．【答案】【分析】设的左焦点为，由已知作图，可得，根据圆周角定理得，再由三角形外角可得，即得，结合双曲线定义和勾股定理，即可化简得到，进而求出离心率的范围.【详解】因为，所以是以为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，设的左焦点为，则，，，又，，则．在双曲线的右支上，，，又在中，，，即，解得，又，．

故答案为：【变式1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是.【答案】【分析】设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围.【详解】由双曲线的右焦点为，则，又由圆的圆心为，半径为，设圆上的一点，可得的中点坐标为，因为双曲线的渐近线方程为，可得，即，又因为直线与圆存在公共点，则圆心到直线的距离，即，可得，所以，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为.故答案为：.【变式2】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围．【详解】由已知，点，，，，，则线段的方程为，则，在线段上取一点，，，所以，由，得，因为，所以，从而，整理得，即，即，即，结合，解得．故选：B．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为．【答案】【分析】设，根据题设有，，从而有，再结合，可得到，即可求解.【详解】设，，又，，则，，所以，又，代入，整理得到，所以，的离心率为，故答案为：.2．（24-25高二上·广东广州·期末）在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为.【答案】【分析】作出图，连接，则由椭圆的对称性易得，，所以，所以.由相似三角形的性质求解即可.【详解】

如图，连接，则由椭圆的对称性易得，，所以，所以.因为，所以，因为，所以，

从而有，又因为是线段的中点，所以，故答案为：.3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率.【详解】设，，，，，，又，，解得，，此时，，，，解得，又点在上，，，，又，即，解得，，即.故选：4．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解.【详解】由椭圆的定义得，又，故，由，得，又椭圆的离心率，则.故选：B5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解．【详解】由椭圆的对称性可得，因为为直角三角形则，则不妨设，将点的坐标代入得：，所以，所以的离心率．故选：B.期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26高三上·陕西西安·月考）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为.【答案】【分析】根据题意，令，得到，求得，结合椭圆的定义及勾股定理，得到和，联立方程组，进而求得椭圆的离心率.【详解】如图所示，令，因为，可得，所以，可得，因为，令，则，由椭圆的定义，可得，又由，则，所以，整理得，又因为，可得，所以，整理得，所以，整理得，联立方程组，解得，故，又因为，所以，所以.故答案为：.

2.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得，则的离心率的取值范围为．【答案】【分析】设，由题意，根据两点距离公式化简求解点的轨迹，作出图形，将圆的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和求出的取值范围，结合离心率的概念计算即可求解.【详解】设，由，得，整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.因为椭圆与圆有3个不同的交点，由椭圆，则.结合图形可知，点是椭圆与圆的一个公共点.由，消去，整理得，易知，且为该方程的一个根，由椭圆与圆有3个不同的交点，则方程必有另一根，且在内.设另一个根为（），且此根对应椭圆与圆的个公共点，由韦达定理得，即，所以，解得，所以，又，所以.故答案为：【点睛】思路点睛：解决本题的思路是先求解确定点的轨迹为圆，将条件转化为圆与椭圆需有3个不同的交点，联立方程组，利用韦达定理和根的范围求出的取值范围，结合计算即可.3．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为，抛物线与交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为．【答案】【分析】设，由对称性得，由直线斜率的定义可得,，进而可得，又，得，进而可得.【详解】由题意可知，设，由对称性可知，则，，，，由得，化简得，即又，得，即，故，故答案为：4．（24-25高二上·浙江宁波·期末）椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为.【答案】.【分析】由切线方程求得与坐标轴的两交点坐标，利用基本不等式可得当时面积取得最小值，再根据余弦定理计算可得，再由等面积法可知，可得，可求得离心率.【详解】由题可知满足，切线与两坐标轴交点为，如下图所示：易知的面积为，又，即，因此，当且仅当示，即时，等号成立；又因为，即，解得；易知的面积为，又，即可得，所以，可得，所以.即C的离心率为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用基本不等式求得面积最小时的交点坐标，再由余弦定理由三角形面积公式计算得出的关系式，可求得离心率.5．（多选）（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知双曲线（，）