专题3.5 圆锥曲线压轴大题归纳（期末复习讲义）原卷版

1/3专题3.5圆锥曲线压轴大题归纳（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律面积最值掌握面积的表达式、求最值最常用的方法。高频必考点，在圆锥曲线大题第二问出现，跟函数与导数结合考求最值。面积比考察几何转化能力，将面积比转化为线段比、坐标比。高频必考点，在圆锥曲线大题第二问出现。三点共线问题考察几何转化能力，将三点共线问题转化为斜率相等、向量共线等。高频必考点，在圆锥曲线大题第二问出现。四点共圆问题考察几何转化能力，将四点问题转化为斜率问题或对接互补等。高频必考点，在圆锥曲线大题第二问出现。定点问题掌握定点问题的运算方法，怎么进行猜想证明，消参。重点必考点，在圆锥曲线大题第二问出现。点在定直线上掌握点在定直线上的运算方法，怎么进行猜想证明，消参。重点必考点，在圆锥曲线大题第二问出现。定值问题掌握定值问题的运算方法，怎么进行猜想证明，消参。重点必考点，在圆锥曲线大题第二问出现。定比点差法掌握定比点差法的应用条件及方法的运用基础必考点，在一些条件下，用定必点差法比传统曲直联立跟韦达定理更方便。移动齐次化掌握移动齐次化的应用条件及方法的运用基础必考点，斜率和差的条件下，用移动齐次化比传统曲直联立跟韦达定理更方便。非对称韦达掌握非对称韦达的应用方法。基础必考点，在非对称条件出现的情况下，应用非对称韦达常用的方法处理。知识点01面积最值求面积最值这类问题的核心是：将面积表示为某个变量的函数，然后通过代数方法求该函数的最值。

一、设参建模设直线：根据题意设出直线方程。如果直线过定点，使用点斜式y=k(x−x₀)+y₀最为常见。如果直线与y轴平行，需单独考虑。设交点：设出直线与圆锥曲线两个交点的坐标A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。二、联立方程将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x或y，得到一个关于x(或y)的一元二次方程。三、表达目标量1、弦长公式设M(x1 ，  ①设直线为y=kx+m上，代入化简，得|MN|=1+②设直线方程为x=ty+m，代入化简，得|MN|=2、三角形的面积①SΔ②SΔ③在平面直角坐标系xOy中，已知△OMN的顶点分别为O(0 ，  0)，M(x四、求最值目标量（弦长或面积）通常表示为一个关于参数（如斜率k）的函数f(k)。定义域优先：在求最值前，必须确定参数的取值范围。常用求最值方法：配方法：适用于二次函数。基本不等式法：适用于能化为a+b≥2ab或ab≤导数法：当函数形式复杂（如分式、高次）时，这是最通用的方法。求导，找驻点，判断单调性。知识点02面积比求面积比的核心在于将面积的比值转化为线段比、坐标比或直接面积表达式之比，然后利用韦达定理和“设而不求”的思想进行整体代换，最终化为一个变量的函数来求解或证明定值、或求范围。利用几何关系转化比值共线或共点三角形：如果两个三角形有公共顶点或底边在同一直线上，它们的面积比往往等于对应底边或高线的比值。这是最有效的简化方法。平行线：题目中若存在平行线，必然产生相似三角形，要充分利用其带来的比例关系。分解复杂图形：对于复杂的多边形面积比，可以将其分割成若干个三角形面积之和或差，然后分别计算这些三角形的面积，再求比值。“设而不求”的极致运用不仅对交点坐标“设而不求”，对于比值中出现的复杂项，有时可以将其视为一个整体，在化简过程中可能会被约去，从而避免繁琐的计算。变量归一化当问题中有多个变量时，要努力利用已知条件（如点共线、线垂直等）找到变量之间的关系，减少自由变量的个数，最终将比值化为单变量函数或常数。知识点03三点共线问题在圆锥曲线大题中证明三点共线是一个经典问题。其核心思想是：将几何共线关系转化为代数关系式。利用三点

A(x₁,斜率相等：从三点中任意选择两点构成两条直线，证明两直线斜率相等，注意斜率不存在的情况。向量共线：如果向量

AB

与向量

AC（或

BC）共线（即平行），则

A点在直线上：求出直线

AB

的方程，然后证明点

C

的坐标满足该方程。知识点04四点共圆问题以四点共圆为背景的圆锥曲线大题是压轴题中的经典类型，最经典例题为2021年新高考I卷中的21题。其核心在于

“如何将几何的圆问题转化为可操作的代数条件”

。四点共圆中常用的几何性质有以下几点一、对角互补当四点在某种对称结构下，常可简化为两组对边的斜率互为相反数。则直接转化为直线的斜率关系，非常适合与韦达定理结合。二、相交弦定理（幂定理）若四点共圆，两条弦AC，BD相交于P点，满足

PA·PB=PC·PD。对于四点共圆问题，要建立起强大的信心：它看似是“圆”的问题，但本质上是通过一些优美的几何定理（如对角互补），被转化成了一个纯粹的直线斜率关系问题，从而能够完美地融入我们熟悉的韦达定理和“设而不求”的框架中予以解决。知识点05定点问题找到动直线（或动点）方程中参数（如斜率k）的“不变部分”。将方程整理为关于参数的恒等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。一、直接推导设参：设出动直线的方程。通常已知直线过某个定点或已知斜率，常用点斜式：y=kx+m。寻找关系：利用题目条件（如直线与圆锥曲线相切、相交，或与其他几何条件如垂直、中点等相关），找到一个关于k和m的关系式。消参定型：将找到的k和m关系式代回原始的直线方程y=kx+m中。得到只含一个参数的解析式。关键步骤：将此方程整理为关于参数k的方程，要使这个方程对所有k值都成立，则k的系数和常数项必须同时为零。对于y−C=k(x−D)形式，定点显然是(D,C)。对于更复杂的形式，将方程按k的幂次项整理，令各项系数为零，解方程组即可求出定点(x,y)。二、先猜后证法当直接推导复杂或难以进行时，此方法能指明方向，简化计算。猜定点：特殊位置法：取参数（如斜率k）的两个特殊值（如0,斜率不存在（竖直直线）,1,-1等），画出两条对应的特殊位置直线。求交点：解这两条特殊直线的交点，该点即为猜測的定点(x0证定点：则动直线的方程可以化简为y−y0=f(k)(x−x0)知识点06点在定直线上将动点的坐标表示为某个参数（通常是斜率k）的函数，然后消参，得到一个关于x,y的二元一次方程，即为定直线方程。主要步骤为：1、设参并表示动点2、建立关系3、消参4、得到定直线方程在解题过程中，可以使用几何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题知识点07定值问题将待证的目标量（如斜率积、线段乘积、面积等）用参数（通常是斜率

k）表示出来，通过代数运算消去参数，若结果是一个常数常见的定值类型有：1、斜率的和、积、比为定值2、线段长度、乘积或倒数和为定值3、面积为定值4、向量数量积为定值“先猜后证”：取参数的特殊值（如

k=0,

k=1,

k→∞），快速计算出目标量的值。这个值很可能就是定值。这不仅能预知结果、增强信心，还能用来验证最终化简结果是否正确。“设而不求”的极致运用：不仅对交点坐标“设而不求”，对于复杂的中间量，也保持其整体形式，在后续运算中可能会相互抵消。参数关系式的挖掘：定值问题的核心往往在于题目中隐藏的参数关系。知识点08定比点差法定比点差法是解决圆锥曲线中涉及线段定比分点或中点问题的一柄利器。它绕开了传统的联立和韦达定理，直接从点的坐标关系入手，具有思路清晰、计算简捷的特点。核心思想：“设分点，代曲线，作差化简”直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若P点满足线性关系AP=λPB（λ≠−1),，通过将

A，B坐标代入曲线方程，然后利用定比分点坐标公式作差，直接建立起点

定比点差法通过巧妙地构造方程间的加权差，利用平方差公式和定比分点公式，直接沟通了分点坐标、曲线参数和弦的斜率，实现了“化曲为直”，是解决此类结构化问题的典范方法。知识点09平移齐次化1、齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率之和与斜率之积。此时我们可以将曲线方程构造成x2,xy,y2的齐次式方程，再除以2、如果目标点不在原点，则需要平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”.知识点10非对称韦达我们常规解决圆锥曲线问题时，都是用到韦达定理，根据x1+x2=−ba , x1x1x2x1x2题型一面积最值解｜题｜技｜巧将面积表示为某个变量的函数，然后通过代数方法求该函数的最值。

【典例1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点．(1)若l的倾斜角为，求弦长的值；(2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值，【典例2】（24-25高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.【变式1】（24-25高二上·广西玉林·期末）已知为坐标原点，椭圆的两个顶点坐标为和，短轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，若，求直线的方程；(3)若直线的斜率为，与椭圆交于、两点，记以、为直径的圆的面积分别为、，的面积为，求的最大值.【变式2】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点分别为，下上顶点分别为．(1)若为直角三角形，的面积为，求椭圆方程．(2)过右焦点的直线交椭圆C于P，Q两点（P，Q分别在第一、四象限），连接并延长交椭圆C于点N；①若，求椭圆的离心率e．②在（1）条件下，求四边形面积的取值范围．题型二面积比解｜题｜技｜巧求面积比的核心在于将面积的比值转化为线段比、坐标比或直接面积表达式之比，最终化为一个变量的函数来求解或证明定值、或求范围。【典例1】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且.(1)求的方程；(2)若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，.①证明：；②证明：（S表示面积）.【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长．(1)求椭圆的方程；(2)过原点的直线与相交于B，C两点，直线AB，AC分别与相交于P，Q两点．

①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；

②记和的面积分别是，，求的最小值．【变式1】（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与两点，点的坐标为，当点运动时，点的轨迹为曲线.记，直线的方程为，直线与曲线交于两点（点，点均位于轴右侧）.记直线和的交点为点，设直线，的斜率分别为.(1)求曲线的标准方程；(2)记，的面积分别为，，求的最小值.【变式2】（24-25高二上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．（i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值；（ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．题型三三点共线问题解｜题｜技｜巧利用三点

A(x₁,【典例1】（24-25高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且．(1)求点A的坐标；(2)设点在上．（ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值；（ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线．【典例2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点.(1)求的方程.(2)过点且不与轴重合的直线与交于两点.（ⅰ）若的面积为，求的方程；（ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线.【变式1】（24-25高二上·河北邢台·期末）若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标；(3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线.【变式2】（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的方程为，过点，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆的右焦点，M，N是椭圆上的两点且直线MN与曲线相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是.题型四四点共圆解｜题｜技｜巧四点共圆本质上是通过一些几何性质（如对角互补），转化成了代数问题，从而能够完美地融入我们熟悉的韦达定理和“设而不求”的框架中予以解决。【典例1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知双曲线E经过点(1)求E的方程．(2)若直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D（C与A不重合），的中点为M，l与直线交于点G，直线与E交于另一点N，证明：（i）轴；（ii）四点共圆．【典例2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴.(1)求抛物线的方程；(2)已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆.【变式1】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的离心率为2，且过点．(1)求双曲线的标准方程；(2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点），①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标；②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：．【变式2】（24-25高三下·江苏·月考）已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）.(1)求的方程；(2)求的面积的最大值；(3)若直线与轴交于点，求证：四点共圆.题型五定点问题解｜题｜技｜巧推荐先猜后证法【典例1】（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由.【典例2】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与椭圆交于点，且点在第一象限，直线与直线交于点，过点且平行于的直线与直线交于点.（ⅰ）若，求直线的斜率；（ⅱ）轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为．(1)求出椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点．（i）当线段的中点坐标为时，求直线的方程．（ii）若直线分别与轴交于两点，且，试探究此时直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．【变式2】（24-25高二上·广西梧州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A，B两点；①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.题型六点在定直线上解｜题｜技｜巧在解题过程中，可以使用几何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题【典例1】（24-25高二下·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求直线l的方程；(3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．【典例2】（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点.（i）证明：点在定直线上；（ii）求的最大值.【变式1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，．(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的下焦点为，若，求；(3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上．【变式2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．①若的面积为，求直线的方程；②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．题型七定值问题解｜题｜技｜巧将待证的目标量（如斜率积、线段乘积、面积等）用参数（通常是斜率

k）表示出来，通过代数运算消去参数，若结果是一个常数【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和．(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值；(3)若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值．【典例2】（25-26高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线.(1)求椭圆的离心率；(2)设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值.【变式1】（25-26高二上·重庆·月考）已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数.(1)求点的轨迹的方程；(2)已知定点，直线的方程为，直线上有一动点，轨迹上有一动点，求的最小值；(3)若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点S，T，使为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点．(1)求曲线的方程；(2)证明：为定值；(3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值．题型八定比点差法解｜题｜技｜巧定比点差法通过巧妙地构造方程间的加权差，利用平方差公式和定比分点公式，直接沟通了分点坐标、曲线参数和弦的斜率，实现了“化曲为直”，是解决此类结构化问题的典范方法。【典例1】（25-26高三上·山西太原·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的周长为6，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．【典例2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值.【变式1】（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆I的长轴长为4，左，右焦点分别为，，直线与椭圆Γ交于M、N两点，(点M在点N的上方)，与y轴交于点E.(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若直线l过点时，设求证：为定值，并求出该值；(3)当为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值.【变式2】（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，的周长为8，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求点到椭圆上点的距离的最大值；(3)设，试判断是否为定值？请说明理由．题型九平移齐次化解｜题｜技｜巧处理斜率和、斜率积时，可以考虑用平移齐次化方法去解决。【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，射线与椭圆交于点，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线过点且与椭圆只有一个公共点，求直线的方程；(3)过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于，两点，且，证明：直线过定点.【典例2】（24-25高二上·河南许昌·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)不经过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与直线的斜率之积为，作于点．①证明：直线过定点，并求此定点的坐标；②是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．【变式1】（24-25高三上·山西阳泉·期末）已知椭圆C：的离心率为，且过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，．（i）求证：为定值；（ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点．【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知圆，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率，k，成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为，，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．题型十非对称韦达解｜题｜技｜巧x1x2x1x2【典例1】（25-26高二上·广东广州·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．

(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形面积的最大值．(3)记直线、的斜率分别为、，证明：为定值．【典例2】（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过作点直线与椭圆相交与两点，（i）在轴上存在一点，使得两条直线恰好关于轴对称，求点的坐标；（ii）再过该点作轴的垂线与交于点，过作直线与平行，交轴于点，交直线于点，求的值．【变式1】（25-26高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值.【变式2】（25-26高三上·陕西·月考）已知在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离是它到点距离的2倍.点在曲线上．(1)求的方程；(2)若直线，关于轴对称，求直线MN的斜率的取值范围；(3)若，直线过且直线与，交于P，Q，证明：为定值.期末基础通关练（测试时间：10分钟）1.（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图．(1)求抛物线的标准方程；(2)证明：为定值；(3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值．2.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于．(1)求椭圆的标准方程；(2)若，直线与的斜率分别为与，求的值；(3)求证：．3．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，其离心率为，且过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和；(3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值．4．（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，左顶点为，右顶点为，下顶点为，的面积为.(1)求椭圆的方程.(2)设是椭圆上异于的两点，直线的斜率分别为，且满足=，求证：直线过定点.5．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知抛物线与直线相交于，两点（在左侧），给定点、在抛物线上．(1)用表示；(2)若，，，四点共圆，求实数的值；(3)在（2）的条件下，求过，，，四点的圆的方程．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程；(3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值.2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线：上一点到抛物线M的焦点的距离为2，圆E：，如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次交于A，B，C，D四点，.(1)求抛物线M的方程；(2)当，，作D关于x轴的对称点N，求证：T，A，N三点共线；(3)设O为坐标原点，当，时，直线，分别交抛物线M于P，