专题04 计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（湘教版2019选择性必修第一册）（原卷版及全解全析）

专题04计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练）题型一分类加法计数原理题型二分步乘法计数原理题型三涂色问题题型四数字排位问题题型五与排列组合数有关的运算题型六分组分配问题题型七相邻与不相邻问题捆绑插孔法题型八定序问题题型九根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）题型十利用赋值法进行求有关系数和题型一分类加法计数原理1．（23-24高二下·广西玉林·期末）某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（

）．A．10种 B．15种C．20种 D．25种2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（

）种.A．23 B．22 C．24 D．263．（23-24高二下·河南漯河·期末）现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（

）A． B． C． D．题型二分步乘法计数原理6．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（

）A． B．C． D．7．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（

）A． B． C． D．8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）A．30种 B．60种 C．120种 D．24种9．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（

）A．21种 B．27种 C．30种 D．42种10．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（

）A．8 B．12 C．18 D．72题型三涂色问题11．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（

）A．120种 B．360种 C．420种 D．540种12．（23-24高二下·山东青岛·期末）我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（

）A． B． C． D．13．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（

）A．264种 B．216种 C．192种 D．144种14．（23-24高二下·四川凉山·期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（

）A．14种 B．16种 C．20种 D．18种15．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（

）种．A．1440 B．1920 C．2160 D．3360题型四数字排位问题16．（23-24高二下·江苏徐州·期末）用数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（

）A．48 B．60 C．96 D．12017．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（

）A． B．12 C．18 D．2418．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（

）A．42 B．38 C．54 D．4819．（23-24高二下·吉林通化·期末）从由数字组成没有重复数字的五位数中任取一个，则取到数字1和2相邻的五位数的概率为（

）A． B． C． D．20．（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（

）A．52个 B．64个 C．66个 D．70个题型五与排列组合数有关的运算21．（23-24高二下·新疆·期末）（

）A．6 B．7 C．8 D．922．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．23．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（

）A． B． C． D．24．（23-24高二下·吉林通化·期末）若，则（

）A．6 B．5 C．4 D．325．（22-23高二下·河南郑州·期末）下列各式中与不相等的是（

）A． B． C． D．题型六分组分配问题26．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（

）A． B． C． D．27．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（

）A．10种 B．12种 C．14种 D．16种28．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（

）A．2730 B．10080 C．20160 D．4032029．（23-24高二下·山东枣庄·期末）将座位号为1，2，3，4的四张电影票分给甲、乙两人，每人至少一张.若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（

）A．6 B．9 C．14 D．2030．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则不同的方案数为（

）A．52 B．60 C．72 D．360题型七相邻与不相邻问题捆绑插孔法31．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（

）A． B． C． D．32．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种33．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（

）A．24 B．36 C．40 D．4834．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（

）A．36 B．72 C．144 D．28835．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（

）A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种题型八定序问题36．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．16种37．（23-24高二下·海南海口·期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（

）A．48种 B．54种 C．60种 D．72种38．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（

）A．24 B．48 C．360 D．72039．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（

）A．216 B．240 C．432 D．72040．（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（

）A．360种 B．300种 C．180种 D．120种题型九根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）41．（23-24高二下·广东广州·期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（

）A．160 B．20 C． D．42．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（

）A．21 B．42 C．84 D．16843．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（

）A．0 B． C． D．44．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（

）A．1 B．2 C． D．45．（23-24高二下·广西·期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（

）A．第4项 B．第5项C．第6项 D．第7项题型十利用赋值法进行求有关系数和46．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.(1)求的值：(2)求展开式中的系数.47．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256.(1)求展开式中的系数；(2)求展开式中所有的有理项.48．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．49．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知的展开式中所有的二项式系数之和为64．(1)求n的值；(2)求该展开式的常数项．50．（23-24高二下·福建南平·期末）已知的展开式中，二项式系数和为64．(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项．

专题04计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练）题型一分类加法计数原理题型二分步乘法计数原理题型三涂色问题题型四数字排位问题题型五与排列组合数有关的运算题型六分组分配问题题型七相邻与不相邻问题捆绑插孔法题型八定序问题题型九根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）题型十利用赋值法进行求有关系数和题型一分类加法计数原理1．（23-24高二下·广西玉林·期末）某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（

）．A．10种 B．15种C．20种 D．25种【答案】B【分析】由于其中2名学生必须同时参加或同时不参加，进行分类，由分类加法计数原理求解即可.【详解】某校有5名学生参加数学竞赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，所以设这两名同学为甲乙，当甲乙同时参加时，剩下的三名同学可能有：没有同学参加有种情况，恰有一名同学参加有种情况，恰有两名同学参加有种情况，三名同学都参加有种情况，所以共有种组合；当甲乙同时不参加时，剩下的三名同学可能有：恰有一名同学参加有种情况，恰有两名同学参加有种情况，三名同学都参加有种情况，所以共有种组合；所以不同的参赛组合数为：种，故选：B2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（

）种.A．23 B．22 C．24 D．26【答案】B【分析】分2男1女和3男0女两种情况求解即可.【详解】由题意知，选取的3人中女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况.若3人中有2男1女，则不同的选法共有（种）；若3人中有3男0女，则不同的选法共有（种）.根据分类计数原理，所有不同的选法共有（种）.故选：B3．（23-24高二下·河南漯河·期末）现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将六本书先分组再分配，按照三组本数为，和三种情况讨论可得总分法.每种情况下优先分甲可得满足条件的分法，然后由古典概型概率公式可得.【详解】第一类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种，其中满足条件的分法：先将两本分给甲，然后将4本书分成两组分给乙、丙，共有种；第二类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种，其中满足条件的分法：先从4本书中取2本连同分给甲，剩下的分给乙、丙，共有种；第三类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种，其中满足条件的分法：1）甲得2本：将分给甲，然后将剩余4本分成两组分给乙、丙，共有种；2）甲得3本：先从4本书中取1本连同分给甲，再将剩余3本分成两组分给乙、丙，共有.综上，将六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，共有种，满足条件的分法有种.所以，两本书被分给甲的概率为.故选：C4．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分类计数原理求解．【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：，故选：A5．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位.【详解】根据题意，可将四位数分成两类：第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个；第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个.由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为.故选：A.题型二分步乘法计数原理6．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法，然后我们把他们捆绑为一个整体，再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确.故选：D7．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法；再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种，根据分步相乘计数原理，共有种排法．故选：C．8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）A．30种 B．60种 C．120种 D．24种【答案】D【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的一人在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即可得到答案.【详解】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：第一步，先从四人中任选三人，有种方法；第二步再选这三人所在的区域，有种方法；第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法.故选：D.9．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（

）A．21种 B．27种 C．30种 D．42种【答案】D【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解．【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）.故选：D10．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（

）A．8 B．12 C．18 D．72【答案】D【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果.【详解】从1，3，5，7中任取2个数的方法数有；从2，4中任取1个数的方法数有；选出的3个数的排列有；再利用分步计数乘法原理得：可以组成没有重复数字的三位数的个数有.故选：D.题型三涂色问题11．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（

）A．120种 B．360种 C．420种 D．540种【答案】C【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色，此时不同的涂色方案有种；若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色，余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种；若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种；综上，不同的涂色方案有：种.故选：C.12．（23-24高二下·山东青岛·期末）我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由计数原理结合古典概型概率计算公式即可求解.【详解】事件“相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域3只有1种涂色方法，若区域4、区域2颜色相同，则区域3只有2种涂色方法，所以相邻区域颜色不同包含的基本事件有：；事件“区域1和3颜色相同”，先对区域1、区域3涂色有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，有2种涂色方法，区域1和3颜色相同所包含的基本事件有：；故所求概率为.故选：C.13．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（

）A．264种 B．216种 C．192种 D．144种【答案】A【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法，用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法，因此不同涂色方法数为；用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法，因此不同涂色方法数为，所以不同的涂色方案有（种）.故选：A14．（23-24高二下·四川凉山·期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（

）A．14种 B．16种 C．20种 D．18种【答案】D【分析】分A与C同色与不同色两类，每一类中利用分步计数原理求解，可得总的方法数.【详解】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法，当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法，所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种.故选：D.15．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（

）种．A．1440 B．1920 C．2160 D．3360【答案】B【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法，②与相邻，有4种颜色可选，若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选，此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法，若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选，此时有种涂色方法，则、、有种涂色方法，故有种涂色方法．故选：B．题型四数字排位问题16．（23-24高二下·江苏徐州·期末）用数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（

）A．48 B．60 C．96 D．120【答案】A【分析】考查排列组合中的分步计数原理，先确定个位数字，再确定其他位数字即可.【详解】第一步，个位为2或4，共两种排法；第二步，千、百、十位有种排法.所以，共种排法.故选：A.17．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（

）A． B．12 C．18 D．24【答案】A【分析】按个位数字是0和2分类求解即得.【详解】当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是，当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是，所以不同的排法种数为.故选：A18．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（

）A．42 B．38 C．54 D．48【答案】A【分析】根据表示数字的火柴棒的根数分类讨论，即可求解.【详解】因为10根火柴可以摆出的数字为2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以组成个无重复数字的三位数.故选：A19．（23-24高二下·吉林通化·期末）从由数字组成没有重复数字的五位数中任取一个，则取到数字1和2相邻的五位数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出数字组成的五位数的个数，再利用捆绑法求出数字1和2相邻的五位数的个数，从而得到概率.【详解】由数字组成的五位数，先从千位，百位，十位，个位四个数位上选1个安排0，再对剩余4个数和4个数位进行全排列，故共有个，其中数字1和2相邻的五位数，先将1和2进行捆绑，看作一个整体a，内部可进行排列，首位安排0，再将a、3、4三个元素作全排有；将0、a、3、4四个元素作做全排有，共有个．所以取到数字1和2相邻的五位数的概率为．故选：C．20．（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（

）A．52个 B．64个 C．66个 D．70个【答案】D【分析】根据题意，分为三类，首位大于2、首位为2且第二位非0和首位为2，第二位为0，结合排列数的计算公式，即可求解.【详解】根据题意，可分为三类：当首位大于2时有种；当首位为2，第二位非0时有种；当首位为2，第二位为0时有种；综上，总共有种.故选D.题型五与排列组合数有关的运算21．（23-24高二下·新疆·期末）（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用组合数公式及阶乘运算计算即得.【详解】.故选：D22．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解.【详解】易知，.因为，，，所以原不等式可化为，所以，所以原不等式的解集为.故选：A23．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由组合数性质判断A；由阶乘的运算判断B；由排列数以及组合数公式计算CD.【详解】由组合数性质可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：B24．（23-24高二下·吉林通化·期末）若，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】根据排列数得到方程，求出答案.【详解】由，得，解得．故选：D．25．（22-23高二下·河南郑州·期末）下列各式中与不相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算可得.【详解】因为，故A、B正确；D错误；，故C正确.故选：D题型六分组分配问题26．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得．【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种，三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种，恰好取6次卡片时停止的概率为：．故选：．27．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（

）A．10种 B．12种 C．14种 D．16种【答案】B【分析】分配1名医生和2名护士到一所学校即可.【详解】解：先分配1名医生和2名护士到一所学校，另一所学校就就确定了，所以共有种分配方案，故选：B28．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（

）A．2730 B．10080 C．20160 D．40320【答案】B【分析】分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可.【详解】若没有人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法，若有一人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法，所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为.故选：.29．（23-24高二下·山东枣庄·期末）将座位号为1，2，3，4的四张电影票分给甲、乙两人，每人至少一张.若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（

）A．6 B．9 C．14 D．20【答案】A【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理即可.【详解】四张电影票分成两部分，每部分至少1张，多张票必须连号，若一部分1张，另一个部分3张的分法有：1，234和123，4两种分法；若两部分都是两张的有：12，34一种分法，再分给甲乙两个人，全部的分法有：种.故选：A30．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则不同的方案数为（

）A．52 B．60 C．72 D．360【答案】B【分析】先分人数分组，再结合要求应用排列分部门即可.【详解】5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，人数分配为,可得,若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则可得故选：B.题型七相邻与不相邻问题捆绑插孔法31．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用捆绑法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法数，除以10的全排列数可得．【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为.故选：B．32．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】利用捆绑法可求得结果.【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑，则相同科目的书相邻的排法种数为种.故选：C.33．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（

）A．24 B．36 C．40 D．48【答案】C【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可.【详解】设剩下的两人分别为丁和戊，①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素，丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站，则共有种；②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法，丁、戊排列有种排法，甲、乙之间排列也有种排法，丙有3个位置可站，则该种情况共有种，则总共有种不同安排方法.故选：C.34．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（

）A．36 B．72 C．144 D．288【答案】C【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算.【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法，由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误.故选：C.35．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（

）A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种【答案】C【分析】利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可.【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序.根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序.故选：C.题型八定序问题36．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．16种【答案】C【分析】先安排甲、乙，然后安排丙、丁，再利用分步乘法原理可求得结果.【详解】由题意可知甲、乙不在同一天参加公益活动，则有种方法，然后丙、丁的安排方法有种，所以由分步乘法原理可得共有种不同的方法.故选：C37．（23-24高二下·海南海口·期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（

）A．48种 B．54种 C．60种 D．72种【答案】B【分析】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，分甲在第五名与甲不在第五名两种情况讨论.【详解】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，①甲排在第五名，则有种排法；②甲没有排在第五名，则甲、乙有种排法，其余人全排列，故有种排法；综上可得一共有种不同的排法.故选：B38．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（

）A．24 B．48 C．360 D．720【答案】B【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得.【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法，由分步乘法计数原理得不同排法种数是.故选：B39．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（

）A．216 B．240 C．432 D．720【答案】C【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算.【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，先分别选1男1女排在左右两端，有种排法，再排中间4个位置，有种排法，所以不同的排法种数为种.故选：C.40．（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（

）A．360种 B．300种 C．180种 D．120种【答案】B【分析】从6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法数即得.【详解】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种，其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种，所以不同的安排方法共有（种）.故选：B题型九根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）41．（23-24高二下·广东广州·期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（

）A．160 B．20 C． D．