专题4.2 等差等比数列的基本公式及性质（期末复习讲义）原卷版

1/3专题4.2等差等比数列的基本公式及性质（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律等差数列基本公式掌握等差数列定义、等差中项、通项公式、求和公式基础必考点，常考小题中，或作为大题的基础知识部分。等差数列的常用性质掌握等差数列的一些常用的基本性质。高频必考点，常考小题中，或数列大题中第一问。等比数列基本公式掌握等比数列定义、等比中项、通项公式、求和公式基础必考点，常考小题中，或作为大题的基础知识部分。等比数列的常用性质掌握等比数列的一些常用的基本性质高频必考点，常考小题中，或数列大题中第一问。知识点01等差数列的概念及公式等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an−a等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=a+b通项公式a前n项和公式S知识点02等差数列的常用性质通项公式的推广a当m+n=p+q时，am特别地，若m+n=2t，则am+an=2数列中序号为等差数列的项ak，若{an}，{数列kan+bSn为等差数列前n项和，则Sn,若{an}是公差为d等差数列，则{Snn若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和为若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+若项数为奇数2n−1，则S2n－1=(2n−1)an；知识点03等差数列的判定定义法由an+1−an=d等差中项法由2an+1=an通项公式法由an=kn+b得{a4、前n项和公式由Sn=kn2+bn知识点04等差数列的函数性质由通项公式an=a1、公差d>0⇔{a2、公差d<0⇔{a3、公差d=0⇔知识点05等比数列的概念及公式等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1等比中项若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项，且有A注意：a，A，b这三项均不能为0，若给出a，通项公式a前n项和公式S知识点06等比数列{an通项公式的推广a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am数列中序号为等差数列的项ak，ak+m，{an}为等比数列，则{λan}（λ为非零常数），{a若{an}，{bn公比不为－1的等比数列{an}的前项和为Sn，则Sn，S2n{an}为等比数列，若前n项积为a若{an}知识点07等比数列的判定定义法由an+1an=q等比中项法由an+12=an通项公式法由an=kqn−1(q≠0知识点08等比数列的函数性质1、当&a1>0&q>1或2、当&a1>0&0<q<1或题型一利用等差数列概念的求项解｜题｜技｜巧直接利用等差数列的概念求首项跟公差，在用通项公式求得数列中的项。【典例1】（24-25高二上·云南大理·期末）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江苏南京·期末）在无穷等差数列中，若，且，则．【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为．【变式2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则.题型二判定是否为等差数列解｜题｜技｜巧等差数列的判定可以通过1、定义法2、等差中项3、通项公式4、求和公式注意一些细节问题，如规则是否覆盖到每一项，首项是否也满足条件。【典例1】（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（

）A． B． C． D．【变式1】（多选）（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二下·广西桂林·月考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要题型三等差中项的性质解｜题｜技｜巧通项公式的推广：当m+n=p+q时，am+an=ap+a【典例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】（24-25高二上·河南安阳·期末）设等差数列的公差为，若，，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在等差数列中，若，则的值为（

）A．30 B．40 C．50 D．60题型四构造等差数列解｜题｜技｜巧常见的有构造{1an【典例1】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式．【典例2】（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且．(1)证明：是等差数列；(2)求的通项公式．【变式1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若.(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项公式.【变式2】（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知数列满足，，，则（

）A． B． C． D．题型五等差数列的绝对值的前n项和解｜题｜技｜巧1、若{an2、求{|【典例1】（多选）（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（

）A．B．取得最大值时，C．D．【典例2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，.(1)求和；(2)求的前项和.【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.(1)求及数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【变式2】（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（

）A．108 B．28 C．62 D．80题型六两个等差数列前n项和之比解｜题｜技｜巧若{an}与{bn}为等差数列，且前n【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（

）A． B． C． D．题型七等差数列前n项和的性质解｜题｜技｜巧若{an}是公差为d等差数列，则{SnSn为等差数列前n项和，则Sn,【典例1】（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（

）A．常数列是等差数列B．若，则是等差数列C．若是等差数列，则数列为等差数列D．若是等差数列，，则【典例2】（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．14 C．16 D．18【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知数列的前项和为，是以1为公差，4为首项的等差数列，则通项公式【变式2】（多选）（2025高二上·山西临汾·专题练习）记为等差数列的前n项和，则（

）A．，，成等差数列 B．C． D．，，成等差数列题型八等差数列前n项和的单调性与最值解｜题｜技｜巧1、公差d>0⇔{an}为递增等差数列，S2、公差d<0⇔{an}为递减等差数列，S3、公差d=0⇔【典例1】（24-25高二上·海南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为．【典例2】（多选）（24-25高二上·海南·期末）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（

）A． B．的取值范围是C．的最大值为 D．的最小值为【变式1】（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A．数列是递减数列 B．C．当取得最大值时， D．【变式2】（多选）（25-26高三上·河北·期中）设是公差d不为0的等差数列，其前n项和存在最小值，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．题型九等比数列的求项解｜题｜技｜巧利用通项公式求项a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am利用等比中项求等比数列中的项。【典例1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则．【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则.【变式1】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知数列满足且，则的值为（

）A．32 B．16 C． D．【变式2】（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．18题型十判断是否为等比数列解｜题｜技｜巧等比数列的判定可以通过1、定义法2、等比中项3、通项公式注意一些细节问题，如规则是否覆盖到每一项，首项是否也满足条件。【典例1】（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（

）A．是等比数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等差数列【典例2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26高三上·全国·期中）已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【变式2】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；

②是等比数列；③是等比数列；

④是等比数列.其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型十一求等比数列的前n项和解｜题｜技｜巧根据等比数列的求和公式求n项和。S【典例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【典例2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知等比数列，，，则数列的前项和等于．【变式1】（2025高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于.【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为．(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；(2)证明：．题型十二等比数列的前n项和的性质解｜题｜技｜巧公比不为－1的等比数列{an}的前项和为Sn，则Sn，S2n等比数列有2n项，则所有的奇数项的和与所有偶数项的和的比值为公比【典例1】（24-25高二下�安徽合肥�期末）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（

）A． B．40C．30或 D．或40【典例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为．【变式1】（25-26高三上�江苏盐城�期中）设等比数列的前项和为，若公比，则.【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为，项数为．题型十三等比数列有关的单调性与最值解｜题｜技｜巧讨论单调性跟最值时，根据表达式来判断。主要根据首项跟公比的正负来决定。【典例1】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的最大项为【典例2】（多选）（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（

）A．B．C．数列中的最大项为D．【变式1】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的最大值为【变式2】（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046题型十四等差与等比数列综合解｜题｜技｜巧综合等差数列与等比数列的定义与性质【典例1】（多选）（25-26高二上�江苏苏州�月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（

）A．若数列为等比数列，且其前项的和，则B．若数列为等比数列，且，则C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为【典例2】（多选）（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（

）A．若，则数列是以2为公比的等比数列B．若，则数列是以2为公差的等差数列C．若，则数列是以1为公差的等差数列D．若，则数列是以为公差的等差数列【变式1】（多选）（24-25高二上·湖北·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）A．若数列为等比数列，且其前项的和，则B．若数列为等比数列，且，则C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12【变式2】（多选）（24-25高二上·云南昭通·期末）数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则数列的前项和最大B．若等比数列是单调递减数列，则公比满足C．已知等差数列的前项和为，若，则D．已知为等差数列，则数列也是等差数列期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)数列中有多少项在到之间.2.（24-25高二上·天津·月考）若数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)证明是等差数列.3．（24-25高二上·天津·期末）等差数列{an}中，若a34．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知在等比数列中，，则（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上�福建宁德�期中）记为等比数列的前项和，若，则（

）A．85 B．15 C． D．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，，对于且，有，若（，且，互质，则．2．（25-26高二上·河北沧州·期