专题05 二项式定理（考点清单9个考点清单+9类题型解读）（原卷版）

专题05二项式定理（9个考点清单+9类题型解读）知识点01：.二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，知识点02：二项式的展开式的特点①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）．知识点03：两个常用的二项展开式：①（）②知识点04：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．知识点05：二项式系数的性质=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．知识点06：系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．知识点07：赋值法常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【常用结论】奇数项的系数和与偶数项的系数和①5当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）②当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．题型一：二项式定理展开及其逆运用 4题型二：二项展开式第k项 4题型三：二项式系数（和） 5题型四：指定项系数（有理项） 5题型五：各项系数和 6题型六：系数最大（小项） 7题型七：三项展开式系数问题 7题型八：两个二项式相乘展开系数问题 8题型九：杨辉三角 9【题型一：二项式定理展开及其逆应用】一、解答题1．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式：(1)化简：；(2)写出的展开式并化简.2．（23-24高二上·全国·课后作业）当为偶数时，求证：．3．（23-24高二下·江苏·课前预习）（1）求的展开式.（2）化简：.【题型二：二项展开式第k项】一、单选题1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（

）A．15 B．20 C． D．12152．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（）A．第项 B．第项 C．第项 D．第项3．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（

）A．3 B．2 C．6 D．45．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【题型三：二项式系数（和）】一、单选题1．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式的第3项的二项式系数为15，则（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第2项系数的绝对值等于第3项系数的绝对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为（

）A．和 B．和C．和 D．和5．（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（

）A． B． C． D．【题型四：指定项系数（有理项）】一、单选题1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的展开式中，常数项为（

）A． B． C．120 D．602．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为15，则（

）A．2 B．3 C．6 D．93．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中的整式项系数和是（）A．192 B． C．32 D．5．（2024高三·全国·专题练习）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（）A．43 B． C．27 D．【题型五：各项系数和】一、单选题1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（

）A．-1 B．1 C．64 D．2．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（

）A．80 B．40 C． D．3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·全国·课后作业）设，则（

）A． B． C． D．5．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（

）A．120 B． C．40 D．【题型六：系数最大（小）项】一、单选题1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项2．（2023·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项3．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（

）A．第1项和第3项 B．第2项和第4项C．第3项和第1项 D．第4项和第2项4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（

）项A．2 B．3 C．4 D．56．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（

）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【题型七：三项展开式系数问题】一、单选题1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（

）A．243 B．240 C．237 D．2342．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（

）A．120 B．80 C．60 D．403．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·江苏徐州·期中）的展开式中所有不含的项的系数之和为（

）A． B． C．1 D．2435．（23-24高二下·河南郑州·期中）的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为（

）A． B．299 C． D．301【题型八：两个二项式相乘展开系数问题】一、单选题1．（22-23高三上·江苏扬州·期末）的展开式中的系数为（

）A．20 B． C．28 D．2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（

）A．1 B．2 C． D．3．（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（

）A．147 B． C．63 D．4．（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知的展开式中，常数项为，则（

）A．−2 B．2 C． D．15．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（

）A．31 B．30 C．29 D．28【题型九：杨辉三角】一、单选题1．（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（

）A．14 B．15 C．16 D．172．（23-24高二下·湖北·期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（

）A．66 B．120 C．165 D．2203．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

若在的展开式中，的