第3章 数据的集中趋势和离散程度期末复习（知识清单） （学生版）-苏科版(2024)九上

第三章数据的集中趋势和离散程度知识点梳理01：平均数（1）算术平均数：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.【要点提示】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）加权平均数：平均数的大小与均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.【要点提示】（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就.数据的权能够反映.（2）加权平均数实际上是的另一种表现形式，.知识点梳理02：中位数与众数（1）中位数：将一组数据按照的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称为这组数据的中位数.【要点提示】（1）一组数据的中位数是的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据.（2）众数：的数据称为这组数据的众数.【要点提示】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.（2）众数是而不是数据出现的次数.（3）平均数、中位数与众数的联系与区别：联系：平均数、众数、中位数都是用来，其中以最为重要.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用或则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究，当时，可用众数来描述.知识点梳理03：方差（1）极差：用一组数据中的来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝.【要点提示】极差是，它受的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越.（2）方差：方差的计算公式是：。它是反映的特征的量.（3）标准差：方差的，【要点提示】（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动；方差越小，数据的波动.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）极差、方差和标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示．区别：极差表示的大小，它受的影响较大；方差反映了的大小．方差越大，稳定性也；反之，则稳定性．所以一般情况下用极差，在考虑到这组数据的时用方差.易错点1：加权平均数与算术平均数混淆错误：忽略权重差异，直接求算术平均。

注意：算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.加权平均数：若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.【典例精讲1】设一组数据x1，x2，...，xn(1)x1+3，x2+3，(2)2x1，2x2，【变式训练1】某校八年级学生数学科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：完成作业单元检测期末考试小张709080小王6075(1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩；(2)若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：易错点2：中位数计算未排序或忽略偶数项均值错误：直接定位中间数，未先排序；偶数项时未取平均值。

注意：奇数个数据：第n+12偶数个数据：第n2和n2【典例精讲2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数x后，这列数的中位数仍不变，则x的值不可能为．【变式训练2】（2025·山西·三模）第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕．大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理．数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：班级平均数/分中位数/分众数/分合格率优秀率九年级一班76b9030九年级二班7.3a8c20根据上述信息回答下列问题：(1)填空：a=，b=，c(2)在所抽取同学的成绩中，每班成绩前50%的同学可以得到“阅读小能手”的称号．被抽到的小张同学的成绩是7(3)请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价．（写出两条即可）易错点3：众数遗漏多解或误判唯一性错误：认为众数唯一，忽略频数相同的数据。

注意：出现次数最多的数据（可能多个或无众数）。【典例精讲2】（2025·上海浦东新·二模）小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（06:00~22:00）和谷时段（22:00~次日6:00）分别计费．为了解2025年4月新居的平时段用电量，小明连续8天，每天22:00记录了电表平时段的读数，如下表：星期日一二三四五六日平时段的读数（单位：千瓦时）109121133149156173201221根据表格提供的信息，解答下列问题：(1)小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是________千瓦时；(2)计算小明家4月份平时段用电总量约是多少千瓦时？(3)小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是16千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由．【变式训练3】（24-25九年级上·全国·期末）一组数据：1、3、4、5、x、8的众数是5，在这组数据的中位数是；易错点4：方差与标准差混淆单位或步骤错误：方差结果未开方误当标准差混淆单位（方差为原单位平方，标准差同原单位）

注意：方差s标准差s=【典例精讲4】（2023·北京·一模）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为x甲，x乙，方差分别为s甲2，s乙2，则x甲【变式训练4】（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）日期队员2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成绩的平均数分别是x甲=85,x信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）年份20202021202220232024获奖分数线9089908990试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？一、选择题1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是S甲2=0.13，S乙2=0.69，S丙A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（

）A．-3.5 B．3 C．0.5 D．3．（24-25八年级下·山西朔州·期末）某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩（各项成绩均按百分计）如下表所示：项目书面测试实际操作宣传展示成绩/分959795若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%A．94分 B．95分 C．96分 D．97分4．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）某校足球队队员年龄的平均数为13岁，方差为2岁2．若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员前后年龄的说法，正确的是（

）A．平均数不变，方差改变 B．平均数不变，方差不变C．平均数改变，方差不变 D．平均数改变，方差改变5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）《聊城市初中毕业生体育考试实施方案》中指出初中毕业生体育考试成绩由运动参与、运动技能测试、体质健康测试和统一体能测试四部分得分合成，其中体质健康测试在八年级下学期集中测试，满分30分．某学校体育老师对八年级（7）班全体学生进行了一次体质健康测试，成绩如下：成绩/分24252627282930人数5101215521根据表中信息判断，下列结论中错误的是（

）A．该班一共有50名同学 B．该班学生这次测试成绩的众数是27分C．该班学生这次测试成绩的中位数是27分 D．该班学生这次测试成绩的平均数是26.3分6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的PH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次PH检测值为7.4，第二次PH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测合格，则第三次PH检测值x的范围是（

）A．7.2≤x≤C．7.2≤x≤7．（2025·湖北十堰·模拟预测）一次校园文化艺术节独唱比赛中，小丁对九位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：平均数众数中位数方差9.29.29.10.23如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（

）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差二、填空题8．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.8（单位：环）及方差分别是1.6和1.8（单位：环2）要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）当五个整数从小到大排列后，这组数据的中位数是4，如果其唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是．10．（2025·福建漳州·二模）4月23日是世界读书日，某校举行以“书与远方”为主题的演讲比赛．小吴同学的“演讲内容”得96分，“语言表达”得85分，“仪表形象”得90分．若按照图中所示的百分比计算，则她的最后得分是分．11．（2025·福建·一模）我省某茶文化研究院招聘一名茶文化推广专员，对三位应聘者进行茶艺展示和茶文化知识考核，他们三人成绩（百分制）如下表所示，总评成绩按茶艺展示占70%，茶文化知识考核占30%计算，则该研究院应该录用应聘者茶艺展示成绩茶文化知识考核成绩甲8590乙9290丙888512．（2025·福建泉州·二模）课标明确规定把学生学会炒菜纳入了劳动教育课程．若九（1）班第一小组5名学生会炒菜的种数依次为：3，2，6，4，3，则这组数据的中位数是．13．（24-25九年级上·北京·期中）已知x1，x2，x3，⋯，x10的平均数是5，则x1+1，x214．（2024·山东青岛·中考真题）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s2甲，s2乙，则s2甲s215．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）某校老师承担了对甲、乙两名学生每周“送教上门”的任务甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）如下：甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．从接受“送教上门”的时间波动大小来看，学生每周接受送教的时间更稳定（填“甲”或“乙”）．三、解答题16．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）某中学为了解八年级学生平均每天的睡眠时间（均保留整数），随机调查了该年级若干个学生，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据图中的信息解答下列问题：

(1)请补全条形统计图；(2)这组数据的众数是；中位数是；(3)根据调查统计结果，估计该校八年级学生平均每天的睡眠时间．17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示：众数中位数平均数方差八年级竞赛成绩7bc1.88九年级竞赛成绩a88m根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：表中的a=______，b=______，c(2)该校九年级学生共有900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？(3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？18．（2025·安徽·中考真题）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下：组别ABCDE分组4555657585人数3315a10请根据以上信息，完成下列问题：(1)a=________(2)这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组；(3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由．19．（2025·安徽阜阳·二模）某中学准备从七年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表．平均数中位数方差甲8.8a0.56乙b9c根据以上信息，解决下列问题：(1)表格中的a=_____，b=_____，c(2)你认为选谁更合适？请说明理由；(3)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由．20．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）根据国家教委的要求，我县各中小学已全面推行学校课后延时服务．某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据．调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告【设计调查方式】在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分（满分10分）．【收集、整理、描述数据】家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）：

数据分析：平均数中位数众数方差七年级a8c1.2八年级8b71.8请根据以上调查报告，解答下列问题：(1)上述表格中：a=______，b=______，c(2)在两个年级中，如果某个年级评分的10个数