专题01 直线与方程（10知识9题型分层验收）（期末复习讲义）（原卷版）

3/3专题01直线与方程（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律直线倾斜角和斜率回顾直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义，掌握数形结合思想解决倾斜角和斜率的动态变化问题基础考点，常出现在选择题，填空题直线的五种方程及相互转化回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程的推导，掌握五种直线的相互转化并能熟练运用点斜式与斜截式重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题两条直线平行与垂直回顾直线的平行、垂直与斜率、截距之间的关系，能应用两条直线平行或垂直规律解决相关问题重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题直线交点回顾直线的交点与方程组的解内在联系，能熟练运用两条直线相交的性质求待定参数。基础考点，常出现在选择题，填空题平面上的距离回顾平面内点与直线的距离，两点之间的距离，两平行线间的距离公式推导，并能解决与距离有关的平面几何问题。重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题知识点01直线倾斜角的定义定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0范围{α|0≤α<π}作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可知识点02直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为____k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)_______.知识点03斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在知识点04直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知

一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、

y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0

(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程知识点05两条直线平行与垂直1.两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.2.两条直线垂直：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零知识点06直线系方程1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为(其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.知识点07两条直线的交点坐标方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行知识点08：两点间的距离平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.知识点09点到直线的距离1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))知识点10两条平行线间的距离1．点关于点对称点关于点对称后得到点，则由中点坐标公式得.2．直线关于点对称求直线关于点对称的直线（1）法一：在所求直线上任取一点，则它关于点对称的点为，代入已知直线中，则所求直线的方程为；（2）法二：在已知直线上任取一点（一般取整数点），求它关于点对称的点，利用然后关于点对称的两直线与斜率相等，求出斜率，再用点斜式求出的方程.3．点关于直线对称求点关于直线对称的点（1）法一：直接列方程组，解出；（2）法二：先求出线段所在直线（点斜式），再求出线段的中点（两条直线的交点），利用交点关于中点对称求出点.4．直线关于直线对称求直线关于直线对称的直线（1）法一：在已知直线上任取一点，然后关于的对称点，再结合与交点联立求解；（2）法二：利用两条相交直线的到角公式求解①直线到的角（方向角），，当时，.②直线与的夹角，，当时，.题型一直线的倾斜角与斜率解｜题｜技｜巧1、我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平3、斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·江苏·月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（

）A．或 B． C． D．【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的最大值为.题型二根据直线与线段的相交关系求斜率取值范围解｜题｜技｜巧斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在【典例1】（24-25高二上·江苏·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1】已知直线l经点，若直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式2】已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．题型三求直线方程解｜题｜技｜巧①点斜式方程形式：②斜截式方程形式：③两点式方程形式：④截距式方程形式：⑤一般式：定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.【典例1】（25-26高二上·江苏·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求：(1)边所在直线的方程；(2)点的坐标．【变式1】已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（

）A． B．或C． D．或【变式2】（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【变式3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为．(1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程；(2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程．题型四直线过定点问题解｜题｜技｜巧直线系过定点问题核心解题技巧是分离参数法，同时可结合特殊值法辅助验证。1.将直线方程中含参数的项与不含参数的项分离开，整理为参数×含参代数式+不含参代数式=0的形式，即λ⋅f(x,y)+g(x,y)=0（其中λ为参数，f(x,y)、g(x,y)为关于x、y的代数式）。2.联立方程：由于参数λ可取任意实数，要使等式恒成立，需满足含参项和不含参项同时为0，即联立方程组后解方程组即可求解【典例1】已知直线：.则直线经过定点【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为.【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（

）A．恒过点 B．恒过点C．恒过点和点 D．恒过点和点题型五根据两条直线平行或垂直关系求参数解｜题｜技｜巧1、若两条直线的方程为，有(1)且;(2)与重合且;(3)与相交；(4);2、特别指出:上述给出的为斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情况下有：(1)两条直线或均不存在，直线或中一个为零，另一个不存在.3.若直线不为零)，有：(1)且;(2);(3)与相交;(4)与重合且.【典例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（）A． B．3 C．-1 D．3或-1【变式1】已知直线与，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（

）A． B． C．1 D．或1【变式3】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（

）A．在y轴上的截距为 B．恒过点C．当时 D．当时，题型六两直线的交点问题解｜题｜技｜巧直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解【典例1】直线与直线相交，则m的取值范围为．【变式1】（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是.【变式2】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（

）A． B． C． D．题型七平面中点线距离公式及其应用解｜题｜技｜巧1、平面上任意两点，间的距离公式为2、点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))3、两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【典例1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（

）A． B． C． D．【变式1】已知点P−2,−1和直线l:1+2λx+1−3λy+λ−2=0，则点P【变式2】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______.【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（

）A． B．3 C． D．4题型八平面内点与直线间的对称问题解｜题｜技｜巧1、点关于直线对称问题步骤：求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中；②整理得：2.（1）直线：：（）和：：（）相交,求关于直线的对称直线①求出与的交点②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点③根据，，两点求出直线（2）直线：：（）和：：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为．【变式1】点关于直线的对称点的坐标为．【变式2】已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为.【变式3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为．(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求第三个顶点的坐标．【变式4】直线关于直线对称的直线方程是（

）A． B． C． D．【变式5】（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，．(1)求直线的方程；(2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上．题型九直线方程与面积的综合应用解｜题｜技｜巧对于直线，令；令，则面积（1）解题时注意很容易忽略绝对值而造成错误；（2）常设计基本不等式，转化为二次函数等方法求面积最值或范围【典例1】已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．(2)当取得最小值时，求直线l的方程．【变式1】（24-25高二上·江苏·专题练习）已知直线l：．（1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．【变式2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线.(1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；(2)求证：直线恒过定点；(3)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值.期末基础通关练（测试时间：45分钟）1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（

）A．2 B． C． D．－22．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（

）A． B． C．或 D．或3．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形4．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·江苏无锡·期末）若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·江苏·期末）若点A−3,−4,B6,3到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则实数aA．79 B．C．−79或−13 7．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法错误的是（

）A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示B．方程表示的直线斜率一定存在C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．经过两点，的直线方程为8．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（

）A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则C．若，则或 D．若，则9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则．10.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是______11．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程.（2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程.12．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M．(1)若过点M，求a的值；(2)设直线过定点N，求．期