专题02 圆与方程（5知识8题型1易错）（期末复习知识清单）（原卷版）

5/5专题02圆与方程【清单01】圆的方程1、圆的标准方程，其中为圆心，为半径.知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2、圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.知识点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.【清单02】点与圆的位置关系1、点与圆的位置关系(1)、若点(2)、若点(3)、若点2、点与圆的位置关系：(1)、点P在圆外；(2)、点P在圆上；(3)、点P在圆内．【清单03】直线与圆的位置关系1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：相离相切相交图形量化方程观点几何观点【清单04】圆与圆的位置关系设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：位置关系相离外切相交内切内含图形几何特征代数特征公切线条数43210【清单05】有关圆的一些常用技巧与方法1、有关弦长问题的两种求法设直线被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长公式：.若斜率为的直线与圆交于两点，则（其中），特别地，当时，；当斜率不存在时，.2、圆的切线方程常用结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为【题型一】圆的方程【例1】．（25-26高二上·贵州遵义·月考）设点，，则以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式1-1】．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是.【变式1-2】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.(3)求的外接圆方程；

【题型二】与圆有关的轨迹方程【例2】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程；（2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程.【变式2-1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【变式2-2】．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知圆经过点，，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程．

【题型三】与圆有关的最值问题【例3】．（2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围．(1)；(2)；(3)；(4)．【变式3-1】．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．12【变式3-2】．（21-22高三上·北京·月考）平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2

【题型四】直线与圆的位置关系的判断【例4】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆.(1)过点作圆的切线，求的方程；(2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.【变式4-1】．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能【变式4-2】．（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为.

【题型五】圆的弦长问题【例5】．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知圆．(1)直线，求被圆截得的弦长；(2)求过点与圆相切的直线的方程（结果化为一般式）．【变式5-1】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的半径为3，圆心和点关于直线对称，则圆被直线截得的弦长等于（

）A． B． C．4 D．【变式5-2】．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．

【题型六】圆的切线问题【例6】．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为.【变式6-1】．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则【变式6-2】．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线与圆交于，两点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．【题型七】圆与圆的位置关系【例7】．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆.(1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程；(2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程．

【变式7-1】．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【变式7-2】．（25-26高二上·陕西商洛·期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．内含 B．外切 C．内切 D．相交【题型八】直线与圆的综合应用【例8】．（25-26高二上·天津津南·月考）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．(1)求圆的方程；(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程；(3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．

【变式8-1】．（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过点，，且圆心在上，圆.(1)求圆的标准方程(2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长.

【题型一】容易忽略圆的一般方程的充要条件而致错【例1】．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（

）条