专题03 空间向量与立体几何（原卷版）

专题03空间向量和立体几何【清单01】空间向量的加减运算①，．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律，【清单02】空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．（2）共面向量如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（3）共面向量定理如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．【清单03】空间向量的数量积运算（1）数量积定义已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．（2）空间向量的数量积满足的运算律：，（交换律）；（分配律）．【清单04】空间向量的坐标运算及其应用（1）设，，则；；；；；．（2）设，，则．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知，，则；；；；②已知，，则，或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．（4）向量在向量上的投影为．【清单05】向量法证明平行、垂直（1）平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一个平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．第一步：写出平面内两个不平行的向；第二步：那么平面法向量，满足．（2）判定直线、平面间的位置关系=1\*GB3①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．若∥，即，则；若，即，则．=2\*GB3②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．若∥，即，则；若，即，则．（3）平面与平面的位置关系平面的法向量为，平面的法向量为．若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．【清单05】空间角的公式（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．（3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．【考点题型一】空间直角坐标系【例1】.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（

）A．点和点关于x轴对称 B．点和点关于平面对称C．点和点关于y轴对称 D．点和点关于平面对称【变式1-1】．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【变式1-2】.若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（

）A． B． C．1 D．9【变式1-3】.已知点关于轴的对称点为，则（

）A． B． C． D．【变式1-4】.（多选）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（

）

A． B．C． D．【变式1-5】．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为．【考点题型二】空间向量的基本定理【例2】.如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则（

）

A． B． C． D．【变式2-1】.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式2-2】.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（

）A． B．C． D．【变式2-3】.如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（

）A． B．C． D．【变式2-4】.在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．【变式2-5】.已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，．(1)用向量表示向量，并求的长度；(2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由．【考点题型三】空间向量的坐标运算【例3】.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（

）A． B． C． D．【变式3-1】.设，向量，且，则（

）A． B． C．2 D．8【变式3-2】.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【变式3-3】.已知，，，点在平面内，则的值为（

）A． B．1 C．10 D．11【变式3-4】.已知向量，，若，则.【变式3-5】.如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为.【变式3-6】.已知，，，，．(1)求；(2)若，求实数，的值．【考点题型四】空间向量在立体几何中的应用【例4】.如图，将边长为2的正方形沿对角线折成一个直二面角，且平面，.(1)若，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；(2)求实数的值，使得二面角的大小为60°.【变式4-1】.如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；【变式4-2】.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．(1)求证：平面ADE；(2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．【变式4-3】.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，

(1)求证：平面(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【变式4-4】.如图，在三棱锥中，分别为的中点，.

(1)证明：：(2)求平面和平面夹角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由.【变式4-5】.如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.(1)求证：平面平面；(2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值..课后检测练习1．棱长为的正四面体中，点是AD的中点，则（

）A． B． C． D．2．如图．空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A． B．C． D．3．对任意的空间向量，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．C． D．若，则4．在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（

）

A． B． C． D．25.已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．6．已知，，，若，，共面，则（

）A．0 B．1 C．2 D．－17．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（

）A．点与点关于轴对称B．点与点关于轴对称C．点与点关于平面对称D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分9．（多选）下列说法正确的有（

）A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线B．若两个非零向量与满足，则C．零向量与任何向量都共线D．两个单位向量一定是相等向量10．（多选）下列说法命题正确的是（

）A．已知，，则在上的投影向量为B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为11.已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点.(1)若，求的值；(2)求的值.12．如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，.(1)试用向量，，，表示向量；(2)若，，，求的值.13.如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.14.如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的