专题03 圆锥曲线与方程（3知识10题型2易错）（期末复习知识清单）（原卷版）

5/5专题03圆锥曲线与方程【清单01】直线与椭圆方程直线与椭圆联立，求解步骤：第一步：代入消元，联立化简：第二步：计算判别式；可直接利用结论：（范围、最值问题）第三步：根与系数关系表达式；，第四步：利用，计算第五步：利用，计算第六步：利用，，计算弦中点第七步：利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离第八步:利用,，计算第九步：利用,计算1、弦长问题（最常用公式，使用频率最高）2、中点弦问题设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：3、圆锥曲线中的三角形的面积（1）、三角形面积问题直线方程：（2）、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数【清单02】直线与双曲线方程直线与双曲线联立，求解步骤：第一步：代入消元，联立化简：第二步：计算判别式可直接利用结论：（范围、最值问题）第三步：根与系数关系表达式，第四步：利用，计算第五步：利用，计算第六步：利用，，计算弦中点第七步：利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离，【清单03】直线与抛物线方程直线与抛物线联立，求解步骤：第一步：代入消元，联立化简：第二步：根与系数关系表达式，第三步：一些小结论点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则结论3：结论4：过焦点结论5：【题型一】圆锥曲线的定义及轨迹方程【例1】．（25-26高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆【变式1-1】．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M

(1)过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程；(2)求动点M的轨迹方程；(3)设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积．

【变式1-2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不是【题型二】直线与椭圆的位置关系【例2】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，上的点到其焦点的最大距离为．(1)求的方程；(2)设为椭圆上两点，且，求的最大值．【变式2-1】．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值.

【题型三】直线与双曲线的位置关系【例3】．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点M的轨迹方程．【变式3-1】．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4.(1)求双曲线的方程；(2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积

【题型四】直线与抛物线的位置关系【例4】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知直线l与椭圆交于两点，的中点坐标为．(1)求l的方程；(2)若l与抛物线交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）．【变式4-1】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点．(1)求抛物线的方程；(2)求的最大值．

【题型五】中点弦问题【例5】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为.(1)求双曲线的方程；(2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.【变式5-1】．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（）A． B． C． D．【变式5-2】．（25-26高二上·江西·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2

【题型六】圆锥曲线中的三角形问题【例6】．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（

）A．面积的最大值为6 B．的最小值为C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8【变式6-1】．（25-26高二上·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（

）A． B．C． D．【变式6-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（

）A．48 B．96 C．144 D．192

【题型七】求离心率的值或取值范围【例7】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式7-1】．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式7-2】．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是．【题型八】最值（或范围）问题【例8】．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．

(1)证明：直线MN过定点；(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值．

【变式8-1】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为，若.(1)求的值以及抛物线的方程；(2)过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围.【题型九】定点与定值问题【例9】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为，求的值及直线CD所经过的定点坐标．

【变式9-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程；(3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值.【题型十】开放性与探索性问题【例10】．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆过点，且离心率为．(1)求的方程．(2)设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值．(3)若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由．

【变式10-1】．（25-26高二上·广东中山·月考）已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知直线与轨迹交于两点．①求的取值范围；②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【题型一】容易直线的斜率不存在的情况致错【例1】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-1】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点A，B，证明：；(3)过点斜率为的直线，与椭圆相交于不同两点E，F，设点关于原点的对称点为，求面积的最大值.

【题型二】容易圆锥曲线方程的限制条件致错【例2】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为．【变式2-1】．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于