专题04 排列组合常考的16大解题技巧题型（期末复习专项训练）（解析版）

2/24专题04排列组合的解题技巧题型1分类加法与分步乘法的综合题型9正难则反间接法题型2数字的排列问题题型10相同元素隔板法（难点）题型3图形的染色问题题型11完全平均分组问题题型4特殊元素/特殊位置优先法（重点）题型12部分平均分组问题（重点）题型5相邻问题捆绑法（重点）题型13先分组再分配问题（重点）题型6不相邻问题插空法（重点）题型14圆桌排列问题题型7相邻与不相邻综合（重点）题型15配套问题题型8定序问题倍缩法题型16多条件叠加综合复杂题型（难点）题型一分类加法与分布乘法的综合（共3小题）1．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为.12345【答案】7【来源】四川省仁寿第一中学校（北校区）2026届高三上学期一模考试数学试题【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】分两种情况讨论：（1）第一步，从1号或3号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽1号卡片，第二步，从3号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片，第三步，从2号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽2号卡片，第四步，从4号或5号卡片抽取一张，有2种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为2×2×2×2=16种；（2）第一步，抽5号卡片，第二步，从1、3、4号卡片抽取一张，有3种情况，比如先抽1号卡片，第三步，从3、4号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片，第四步，从2、4号卡片抽取一张，有2种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为3×2×2=12种.而从5张卡片随意抽取，不同的抽法种数为A5因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为16+12120故答案为：7302．(25-26高三上·重庆第十一中学校教育集团·)中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（

）A．3人选择的作品均不同的方法总数为24B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27C．恰有1人选《红楼梦》的概率是27D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为7【答案】ACD【来源】重庆市第十一中学校教育集团2025-2026学年高三上学期第四次质量检测数学试题【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解.【详解】首先分析总情况：3人每人选4部作品中的一部，总方法数为43对于A选项，3人选择的作品均不同的方法总数为A4对于B选项,恰有2人选同一部作品:先选重复的作品，再选这2人，最后第3人选剩下的3部之一，方法数为C4对于C选项,恰有1人选《红楼梦》：先选这一人，另外2人从剩下3部中选，方法数为C31×对于D选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有4种选择，总情况为42“至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为32所以概率为1−9故选：ACD.3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（

）A．12 B．24 C．64 D．81【答案】D【来源】第四节计数原理与排列组合【分析】根据题意结合分步乘法计数原理运算求解即可.【详解】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择，所以不同的报名方法种数是3×3×3×3=81.故选：D.题型二数字的排列问题（共3小题）4．(25-26高三上·四川成都郫都区·)【多选】用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（

）A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数【答案】ACD【来源】四川省成都市郫都区2025-2026学年高三上学期阶段性检测（一）数学试题【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可.【详解】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，可以组成无重复数字的四位数4×4×3×2=96个，A正确，B错误；对于C，若个位数为0，则有4×3×2=24个，若个位数不为0，则有2×3×3×2=36个，所以可以组成无重复数字的四位偶数24+36=60个，C正确；对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，可以组成无重复数字且大于2000的四位数3×4×3×2=72个，D正确．故选：ACD5．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·)用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数．(1)比20000大的五位偶数共有多少个；(2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？(3)能被6整除的五位数有多少个．【答案】(1)240(2)352(3)108【来源】湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期3月测试数学试题【分析】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可；（2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案；（3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可.【详解】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能，末位数字必须是0、2或4；当首位是2时，末位是4或0，有2A当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有2×3A综上，可知共有48+48+144=240种结果，即比20000大的五位偶数有240个；（2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有2A当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有4A当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为0、1时，有2A当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数，当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数；则比35214小的五位数有240+96+12+2+1=351个，故35214是第352位；（3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除，若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况，①当五个数字由1、2、3、4、5组成时，其末位数字为2、4，有2A②当五个数字由0、1、2、4、5组成时，首位数字为1或5时，末位有3种选择，共有2×3×A首位数字为2或4时，末位有2种选择，共有2×2A33则被6整除的五位数有48+60=108个．6．将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（

）．A．576种 B．720种 C．864种 D．900种【答案】C【来源】一、特殊优先，一般在后【分析】先排列1，3，5，7，再分类排6结合排列数公式列式计算求解.【详解】先排1，3，5，7，有A4再排6，根据题意，6不能排在3的两侧，则6有A3最后排2和4，这两个数不能排在6的两侧，则有A4故相邻数字互质的排法共有A4故选：C.题型三图形的染色问题（共3小题）7．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第一二二中学校·月考)如图所示，现要给固定位置的四棱锥P−ABCD的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（

）

A．360 B．420 C．480 D．660【答案】B【来源】黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷【分析】根据使用颜色种数分类，利用排列组合可得.【详解】若5种颜色全涂，有A5若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有2×若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有C5可得120+240+60=420，故不同的涂色方案共有420种.故选：B8．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（

）A．413 B．521 C．513【答案】B【来源】湖南省衡阳市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题【分析】分别求出区域1与区域3种同种花卉和不同花卉的方案种数，根据古典概率的公式求解.【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有C6当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有C6故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为150150+480故选：B.9．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【来源】江苏省南京市雨花台中学2024-2025学年高二年级下学期期中考试数学试卷【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可.【详解】区域①有n种，区域②有n−1种，区域③有n−2种，区域④有n−3种，∵n(n−1)(n−2)(n−3)=840,∴((n2−3n+30)=0故选：C.题型四特殊元素/特殊位置优先法（共3小题）10．甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种【答案】B【来源】广西柳州市2026届高三第一次模拟考试数学试题【分析】分乙站第一个位置，甲站第四个位置，和甲站第二个位置，乙站第五个位置，两类情况求解即可.【详解】从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况：乙站第一个位置，甲站第四个位置，有A3甲站第二个位置，乙站第五个位置，有A3共有6+6=12种，故选：B11．(25-26高三上·上海中学东校·)将a,b,c,d,e,f排成一列，a不在首位且b不在末位的不同排法共有种.【答案】504【来源】上海市上海中学东校2025-2026学年高三上学期暑假返校评估测试数学试卷【分析】借助排列数的性质，结合分类、分步计数原理计算可得.【详解】根据题意将a,b,c,d,e,f排成一列，有A6而a在首位，有A55=120种排法，同理b当a在首位，同时b在末位有A4则a不在首位且b不在末位的排法共有720−120−120+24=504种.故答案为：504.12．(25-26高三上·辽宁大连部分高中学校·)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100m接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（

A．8种 B．14种 C．18种 D．24种【答案】B【来源】辽宁省大连市部分高中学校2025-2026学年高三上学期适应性演练一数学试题【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解.【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有1×A②当甲不站在第二位时，甲有2个位置可选，此时乙也有2种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有2×2×A综上所述，一共有6+8=14种情况，故选：B.题型五相邻问题捆绑法（共3小题）13．(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中)有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为．【答案】240【来源】陕西省渭南市瑞泉中学2025-2026学年高二上学期第二次教学质量检测（期中）数学试题【分析】由捆绑法，结合全排列即可求解.【详解】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有A5两名医生内部有A2所以两名医生相邻，不同的排法总数为120×2=240，故答案为：24014．(25-26高三上·云南曲靖会泽县实验高级中学校·期中)若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（

）A．48 B．60 C．72 D．90【答案】A【来源】云南省曲靖市会泽县实验高级中学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题【分析】利用捆绑法，结合排列的定义进行求解即可.【详解】把甲､乙捆绑在一起，则甲､乙相邻的种数为A2故选：A15．(25-26高三上·江苏镇江·)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（用数字作答）种.【答案】144【来源】江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期初监测数学试题【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解.【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有A56名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有C2所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有240−96=144（种）.故答案为：144.题型六不相邻问题插空法（共3小题）16．(25-26高二上·上海宜川中学·期中)5人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是．【答案】72【来源】上海市宜川中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题【分析】先把除甲乙之外的其他三人全排列，三人排好后，有4个空位，将甲乙安排到空位中，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据题意，分2步进行分析：①把甲、乙之外的其他三人全排列，有A3②三人排好后，有4个空位，将甲乙安排到空位中，有A4故甲乙不相邻的安排方法有6×12=72种.故答案为：72.17．(25-26高三上·广东佛山顺德区北滘镇莘村中学·月考)现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（

）A．120种 B．144种 C．96种 D．160种【答案】A【来源】广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题【分析】分化学书在2本数学书之间，或是1本物理书在2本数学书直接，再按照分步计数原理，插空法解决问题.【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，有A43=24第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成1个元素，有3A22=6种方法，再和化学书排列有A2综上，共有48+72=120种方法.故选：A18．现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为.（结果用数字作答）.【答案】432【来源】山东省实验中学2026届高三10月一诊数学试题【分析】先确定班主任位置，再从3名女生中选2名，将“相邻”的女生与剩余1名女生排列，最后排列男生，根据分步乘法计数原理计算站法总数.【详解】班主任站中间位置，只有1种站法；从3名女生中选2名女生，有C3将“相邻”的2名女生排列，有4A22种排法，则另外一个女生有将3名男生排入剩下的3个空位种，有A3根据分步乘法计数原理，总站法数为C3故答案为：432题型七相邻与不相邻综合（共3小题）19．(25-26高三上·贵州部分学校·)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有种．【答案】144【来源】贵州省部分学校2025-2026学年高三上学期9月联考数学试题【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置，根据分步计数原理即可求解.【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列，有A3再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有A4最后将“射”和“御”交换位置，有A2根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有A3故答案为：144.20．(25-26高三上·重庆兼善中学·月考)6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是．【答案】310【来源】重庆市兼善中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题【分析】记事件A:甲与乙不相邻，记事件B:丙与丁相邻，求出nA、nAB，利用条件概率公式可求得【详解】依题意，6名同学排成一排，记事件A:甲与乙不相邻，则nA记事件B:丙与丁相邻，则nAB由条件概率公式可得PB所以在甲与乙不相邻的条件下，丙与丁相邻的概率为310故答案为：31021．(25-26高一上·北京首都师范大学附属中学·期中)某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有种.（用数字作答）【答案】144【来源】北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中练习数学试题【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步，先排甲班和丙班的同学，将甲班的2人捆绑视为一个整体，这个整体与丙班的2人（共3个元素）进行全排列，有A33种方法；甲班两人内部有A2第二步，将乙班的2人插入前后4个空位，有A4根据分步乘法计数原理，不同的站法共有12×12=144种.故答案为：144题型八定序问题倍缩法（共3小题）22．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有种插入方法（用数字作答）.【答案】3024【来源】江西省吉安市西路七校2025-2026学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题【分析】利用倍缩法解决定序问题即可.【详解】对全部的9个节目全排列，有A99种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有A5故答案为：3024.23．7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有种排法．【答案】20【来源】第2讲有序变无序排列成组合【分析】法一：利用直接法求解即可；法二：先对6名同学作全排列，再去掉两边3人的排序即可求解.【详解】解法1：甲站在中间，甲的左边和右边分别有3名同学，均按身高排列，排法只有1种．先将6名同学分成两组，再排到甲的左边和右边去，排法共有C6解法2：将除甲外的6名同学全排列，甲左边3名同学与右边3名同学顺序一定，所以排法共有A6故答案为：20.24．5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有种情况.【答案】60【来源】第3讲不重又不漏计数有方法【分析】解法1：因为甲比乙先到，所以排甲乙，再排另外3人即可.解法2：根据题意，结合定序问题，先对所有人进行排序，再消除甲乙的顺序即可.【详解】解法1：先在5个位置中选2个位置放定序元素甲、乙，有C52种；再排另外3人，有A3解法2（定序问题）：5人全排列有A55种情况，由于甲和乙的顺序确定，因此满足条件的共有故答案为：60.题型九正难则反间接法（共3小题）25．(25-26高一上·上海向明中学·期中)某小组共有10名学生，其中女生3名，现任选2名代表，则至少有一位女生当选的选法有种．【答案】24【来源】上海市向明中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷【分析】利用排除法求解即可.【详解】10名学生任选2名代表的选法为C10其中全部来自男生的选法C7故至少有一位女生当选的选法有C10故答案为：2426．(25-26高三上·内蒙古部分学校·)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（

）A．84 B．90 C．96 D．100【答案】C【来源】内蒙古部分学校2025-2026学年高三上学期8月开学教学质量检测数学试卷【分析】可用直接法或间接法求解.【详解】法1：直接法：选取的员工中可以有：1男2女，2男1女两类情况，所以不同的选法种数为：C61×C42+法2：间接法：从10人中任选3人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为C10故选：C27．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知某车库有一类车库a,b,c,d四个，二类车库e,f两个，（1）若从这6个库中挑3个不同的库，至少有1个二类库的概率是；（2）若这6个车库每个库至多可停2部车，现有4辆车需同时停在库中，有种不同停车方案（用数字作答）.【答案】45/0.8【来源】新疆乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题【分析】①可分为“恰有1个二类库”和“恰有2个二类库”或利用对立事件“没有二类库”，结合古典概型进行计算；②可分为4辆车停在2个车库、3个车库、4个车库三类求和.【详解】①方法一：“至少有1个二类库”可分为两类：“恰有1个二类库”和“恰有2个二类库”.“恰有1个二类库”有C4“恰有2个二类库”有C4故“至少有1个二类库”的所有可能情况有12+4=16种.又从这6个库中挑3个不同的库的所有可能有C6用A表示“至少有1个二类库”，则P(A)=16方法二：因为“至少有1个二类库”的对立事件是“三个都是一类库”所以“至少有1个二类库”的所有可能情况有C6又从这6个库中挑3个不同的库的所有可能有C6用A表示“至少有1个二类库”，则P(A)=16故答案为：45##0.8②将4辆车同时停在库中，可分为三类：停在2个库；停在3个库；停在4个库.若4辆车停在2个库，则有C6若4辆车停在3个库，则有C6若4辆车停在4个库，则有A6故4辆车同时停在库中，共有90+720+360=1170种不同的停车方案.【点睛】“至少”、“至多”问题一般可写成互斥事件的和或用其对立事件表示；用分类计数原理求解问题时，要确定好分类标准，做到不重不漏.题型十相同元素隔板法（共3小题）28．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（

）种不同分配方案．A．9 B．36C．84 D．120【答案】C【来源】微课题15几类排列组合问题的特殊解法【分析】利用“隔板法”进行求解．【详解】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙，要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案，所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即C9故选：C29．不定方程x1+x2+【答案】C9949【来源】微点2分组与分配问题【练】【一轮微专题】【分析】利用隔板法求解不定方程的解的组数.【详解】第一空:利用隔板法求解，不定方程x1相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆，每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外，有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有C9949组，每一堆的名额数就是x1,x第二空:设x1∵x1+x2∴不定方程x1就是不定方程y1利用隔板法求解，不定方程y1相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆，每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外，有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆，故有C14949组，每一堆的名额数就是则不定方程x1+x故答案为：C9949，30．（1）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，每班至少1人，名额分配方案共有种.（2）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，名额分配方案共有种.【答案】33050388【来源】微点2分组与分配问题【练】【一轮微专题】【分析】（1）满足条件的分配方案数与将12个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端的方法数一致，结合隔板法可得结论；（2）满足条件的分配方案数与20个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端的方法数一致，结合隔板法可得结论.【详解】（1）将12个名额（相同元素）分配给8个班，每班至少1个名额，相当于12个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，每组至少1个小球，所以任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端，由插空法可知名额分配方案共有C11（2）将12个名额（相同元素）分配给8个班，每班没有名额限制的方法，与将20个名额（相同元素）分配给8个班，每班至少一个名额，再从各班所分的名额中取走一个名额的方法相等，也就相当于20个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，因为每组至少1个小球，所以任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端，由插空法可知名额分配方案共有C19故答案为：330；50388.题型十一完全平均分组问题（共3小题）31．（广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题）某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（

）A．60种 B．120种 C．180种 D．720种【答案】B【来源】广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题【分析】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，然后由分类加法原理可求得结果.【详解】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有C4另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则C4由分类加法原理可知共有60+60=120种不同的分组方法.故选：B.32．现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法有种.【答案】60【来源】七、平均分堆，先“选”后“除”【分析】先平均分组C6【详解】登山运动员中不熟悉道路的有6人，熟悉道路的有4人，平均分为两组，有C6对所分得的两个组进行排列，有A2由乘法原理知C6故不同的分组方法有60种.故答案为：60.33．（湖南省永州市宁远县第二中学2025届高三下学期高考押题卷数学试题）将6个不同的球分给3个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为．【答案】540【来源】湖南省永州市宁远县第二中学2025届高三下学期高考押题卷数学试题【分析】对每组的球的数量进行分类讨论，按照先分组再分配原则计算出每种情况下不同的分配方法种数，综合可得结果.【详解】先给不同的6个球分成三组，不同的分组方式如下：第一种情况，一组1个、一组2个、一组3个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则，分配给不同的3个盒子，则不同的分配方法种数为C6第二种情况，一组1个、一组1个、一组4个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则，分配给不同的3个盒子，则不同的分配方法种数为C6第三种情况，一组2个、一组2个、一组2个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则，分配给不同的3个盒子，则不同的分配方法种数为C6综上所述，不同的分配方法种数为360+90×2=540种.故答案为：540.题型十二部分平均分组问题（共3小题）34．(25-26高三上·重庆巴蜀中学校·月考)某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（

）A．300种 B．90种 C．240种 D．150种【答案】D【来源】重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可.【详解】先将5名学生分成三组的分法有：C5再将这三组学生分配到三个地段共有：A3所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有1名学生的分配方案共有25×6=150（种）故选：D.35．（2025届新高考数学原创卷（5））2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．25200【答案】B【来源】2025届新高考数学原创卷（5）【分析】先分组后分配，分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计算即可.【详解】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式．若是3，1，1，1，1，则有C7若是2，2，1，1，1，则有C7所以共有4200+12600=16800种.故选：B．36．(24-25高二下·陕西咸阳永寿县中学·期末)六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为.【答案】1560【来源】陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题【分析】分为按2，2，1，1和按3，1，1，1分发，再利用排列组合数计算即可.【详解】若书本数按2，2，1，1分发，则有C6若书本数按3，1，1，1分发，则有C6故共有1560种不同的分配方法.故答案为：1560.题型十三先分组再分配问题（共3小题）37．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（

）种A．150 B．180 C．360 D．540【答案】A【来源】新疆乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解.【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，按1,1,3分配时，共有C53A33所以共有60+90=150种不同的分配方案.故选：A38．(24-25高二下·江苏启东中学·月考)某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（）A．90种 B．150种 C．300种 D．360种【答案】B【来源】江苏省启东中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解.【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为3:1:1时，先取3人看成一个整体，再进行排列，所以不同的跟岗分配方案有C5若3所学校分配1名师范生的人数为2:2:1时，注意到有2个学校均分配2名师范生，所以不同的跟岗分配方案有C5综上所述：不同的跟岗分配方案共有60+90=150种.故选：B39．(24-25高二下·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期末)4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（

）A．180 B．240 C．288 D．360【答案】B【来源】贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题【分析】5位同学，分为2,1,1,1，根据组合和排列相关公式求解.【详解】由题意得，5位同学对4种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1，故不同的总方案数为C5故选：B题型十四圆桌排列问题（共3小题）40．（辽宁省部分示范性高中2025届高三下学期4月模拟联合调研数学试题）已知甲、乙、丙以及其他9个人围坐在圆桌旁，则甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人的概率是.【答案】21【来源】辽宁省部分示范性高中2025届高三下学期4月模拟联合调研数学试题【分析】先让甲坐好，其余人随便坐，有A1111种坐法，从甲顺时针方向记其余11个位置为1,2,3,⋯,11，先安排丙的位置，再确定乙的位置，结合圆的对称性即可得有【详解】先让甲坐好，其余人随便坐，有A11从甲顺时针方向记其余11个位置为1,2,3,⋯,11，因为甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人，先安排丙的位置，若丙在1号位，则乙可以在2,3,4,8,9,10,11号位，有7种，若丙在2号位，则乙可以在1,3,4,8,9,10,11号位，有7种，若丙在3号位，则乙可以在1,2,4,8,9,10,11号位，有7种，根据圆桌的对称性，可得共有7+7+7×2所以甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人的概率是：42A故答案为：2141．（2025届高三数学信息检测原创卷（二））现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有种．【答案】21600【来源】2025届高三数学信息检测原创卷（二）【分析】由已知条件求出所有的坐法数，再求出1,2和1,3相邻的坐法数，再求出1,2相邻且1,3相邻的坐法数，结合容斥原理可得结论.【详解】由1，2，…，9这9个正整数构成的圆排列有N0任意相邻两数之积不小于4，则1，2不能相邻且1，3不能相邻．设满足1，2相邻的圆排列有N1种情况，满足1，3相邻的圆排列有N满足1，2相邻且1，3相邻的圆排列有N3则N1=N则满足要求的排列的情况有N=N故答案为：21600.42．(24-25高二下·湖北云学部分重点高中·月考)某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（

）A．A1010 B．A99 C．【答案】B【来源】湖北省云学部分重点高中2024-2025学年高二下学期5月考试数学试题【分析】先将10人排成1列，随后安排第1人就座，据此可得排法总数.【详解】将10人排成1列，有A1010种方法，安排第1人坐下，有10种可能性，但因是围着一张圆桌坐成一圈，第1人坐不同位置没有区别，则总排法数为：故选：B题型十五配套问题（共2小题）43．（山西省朔州市怀仁市第一中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题）某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（

）A．37 B．38 C．27【答案】A【来源】山西省朔州市怀仁市第一中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题【分析】求出从4双不同花色的袜子从中随机任取3只所有的取法，再求出恰有2只花色相同的取法，根据古典概型求解.【详解】从4双不同花色的袜子中，随机任取3只，共有C8其中恰有2只花色相同有C4所以概率为P=24故选：A．44．（广东省江门市2023届高三一模数学试题）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（

）A．25 B．45 C．815【答案】D【来源】广东省江门市2023届高三一模数学试题【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出P(A)，P(AB)，根据条件概率公式P(BA【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则P(A)=C又P(AB)=C41即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为89故选：D．题型十六多条件叠加综合复杂题型（共3小题）45．(25-26高三上·福建福州台江区九校·期中)来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点．他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其