专题09 概率-期末真题（考题猜想易错必刷7大题型）（解析版）

专题09概率（考题猜想，易错必刷7大题型）【题型一】条件概率【题型二】全概率与贝叶斯公式【题型三】离散型随机变量的均值与方差【题型四】独立事件的乘法公式【题型五】二项分布【题型六】超几何分布【题型七】正态分布【题型一】条件概率一、单选题1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为.故选：B.2．（23-24高二下·天津西青·期末）从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机曲取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件概率公式计算可求得结果.【详解】记“第一次抽到K牌”为事件，“第二次抽到K牌”为事件；根据题意可得；因此所求概率为.故选：D3．（23-24高二下·贵州毕节·期末）一个盒子中装有4个黑球和6个白球，每个球编有不同的号码，现从中任取2个球，已知一个球是白球，则另一个球也是白球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用条件概率公式求解即可.【详解】任取两个球，设其中有一个球是白球为事件A,另一个球也是白球为事件B,则，，所以已知一个球是白球,则另一个球也是白球的概率为，故选：B.4．（23-24高二下·新疆·期末）不透明的袋子中有8个除颜色外其余完全相同的小球，其中4个红色小球，4个蓝色小球，从袋子中随机摸出4个小球，在摸出红色小球的条件下，摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意知从袋中随机摸出4球情况有种，摸出红球的情况是摸出4球的情况减去摸出4个球都蓝球的情况，即，摸出红色小球个数大于蓝色小球个数是红色球摸3个蓝色摸1个再加4个都是红色小球情况，即，代入条件概率公式即可得.【详解】设事件A为摸出红色小球，事件B为摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数，则PA=C故选：A5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出，再求出，最后由条件概率公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以.故选：D【题型二】全概率与贝叶斯公式一、单选题1．（23-24高二下·山东烟台·期末）某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合全概率公式、对立事件概率公式即可求解.【详解】由全概率公式可知，抽到二等品的概率为，故所求概率为.故选：C.2．（23-24高二下·辽宁大连·期末）小明每天从骑自行车､坐公交车两种方式中选择一种去上学.已知他选择骑自行车的概率为0.6，在他骑自行车的条件下，7：20之前到达学校的概率为0.95.若小明7：20之前到达学校的概率为0.93，则在他坐公交车的条件下，7：20之前到达学校的概率为（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】A【分析】根据已知条件及全概率公式即可求解.【详解】设“小明骑自行车去上学”为事件,“小明坐公交车去上学”为事件,“小明7：20之前到达学校”为事件，则,由全概率公式可得,即，解得，所以在他坐公交车的条件下，7：20之前到达学校的概率为.故选：A.3．（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的.如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解.【详解】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件,“取到次品”为事件，故,,由全概率公式可得：,由贝叶斯公式：,故选:B.4．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案.【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，，，则.故选：C5．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解.【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，，依题意，，，，则，由有：，因为，所以，所以.故选：B.二、解答题6．（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据全概率公式即可得解；（2）根据条件概率公式可得解.【详解】（1）设事件“从第箱中取一个零件”，事件“取出的零件是次品”，则，且互斥，则，，所以，，所以，所以取出的零件是次品的概率为；（2）取出的是次品是从第一箱取出的概率，所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为.7．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在一个牌堆中有6张牌，分别标有数字0，1，2，3，5，7．(1)规定每次随机翻出一张牌，若数字为奇数，则放回这张牌，若数字为偶数，则不放回这张牌，求第二次翻出的数字是偶数的概率．(2)规定每次随机翻出一张牌，然后放回，若数字为奇数，则得1分，若数字为偶数，则得2分，翻牌次数不限，直到总得分达到或超过5分，游戏结束．设游戏结束时翻牌的总次数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）第二次翻出的数字是偶数的概率受第一次翻出的数字是奇数还是偶数的影响，可以根据第一次翻出的数字的情况，将样本空间表示为“第一次翻出的数字是奇数”和“第一次翻出的数字是偶数”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解；（2）根据题意求出随机变量X的每一个取值，再根据每个取值的含义求出其概率，列表即可得分布列，再用期望公式计算期望即可.【详解】（1）设事件A:第一次翻出的数字是奇数，事件B:第一次翻出的数字是偶数，事件C:第二次翻出的数字是偶数，则，且与互斥，由题意得：，，，，由全概率公式得：，所以第二次翻出的数字是偶数的概率为.（2）随机变量的可能取值为3，4，5．当时，若前两次都翻到偶数牌，则翻牌的总次数为3的概率为，若前两次都只翻到一张偶数牌，则翻牌的总次数为3的概率为，则，，，所以随机变量的分布列如下：345．8．（22-23高二下·甘肃白银·期末）某同学正在研究投掷骰子的概率问题，在连续3次得到6点朝上的结果时，他产生了一个疑问：在连续多少次6点朝上时，是否该合理怀疑骰子不是均匀的?带着这个疑问，他研究了以下问题：有两个骰子，一个是正常的、均匀的1号骰子，另一个是不均匀的2号骰子.经测1试，投掷2号骰子得到6点朝上的概率为.(1)若等可能地选择其中一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是2号骰子的概率.(2)若每次都等可能地选择其中一个骰子，投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了2号骰子的概率为，试问当取何值时最大?并求的最大值.【答案】(1)(2)当时最大，且最大值为【分析】（1）利用条件概型概率计算公式求得所求的概率.（2）利用条件概型概率计算公式求得，利用商比较法求得的最大值.【详解】（1）设事件{3次6点朝上}，事件{选择了2号骰子}，则，，所以所求概率为.（2）设事件{10次有次用了2号骰子}，则.设事件{10次6点朝上}，则.，.令，，则.当时，，即；当时，，即.因为，所以的最大值是，因为，所以的最大值是，所以当时最大，且最大值为.【题型三】离散型随机变量的均值与方差一、单选题1．（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求.【详解】依题意，的可能取值有0，1，2.则，，，则.故选:A.2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下:01设，则的数学期望的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案.【详解】，所以.故选：B.3．（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（

）02A． B．C． D．【答案】A【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可.【详解】由分布列的性质可知，，故A正确；因为Y的期望值为1，所以，所以C错.若，不满足分布列性质，B错，由上，有，显然D错.故选：A4．（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解.【详解】由题意知，，解得，所以.故选：D5．（23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为2m140.30.60.1（

）A．5 B．6 C．9.8 D．10.8【答案】D【分析】先求的值，再求的期望与方差.【详解】∵，∴，∴，∴故选：D6．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知离散型随机变量X的分布列为X01P且，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可.【详解】由X的分布列得，，因为，则故选：D.【题型四】独立事件的乘法公式一、单选题1．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（

）A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.86【答案】C【分析】直接由全概率公式进行计算即可求解.【详解】由全概率公式可知，所求准确率为.故选：C.2．（23-24高二下·河南漯河·期末）甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，再由条件概率公式计算可得.【详解】记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，甲乙同时击中目标为事件，由题意，得，，所以，，所以，所以在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为.故选：A.3．（23-24高二下·江苏南京·期末）连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9”，则下列说法不正确的是（

）A．与不是互斥事件 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立【答案】B【分析】先利用古典概型概率公式分别求出事件的概率，再按照选项要求，利用事件的交事件是否为空集，确定是否互斥；两事件交事件的概率是否等于两事件概率的乘积，判断两时间是否独立即得.【详解】依题意，试验的样本空间为，，显然，则；，；，；，.对于A，因,故与不是互斥事件，A正确；对于B，因，，而,故与不独立，即B错误；对于C，因，,故与相互独立，即C正确；对于D，因，，故与相互独立，即D正确.故选：B.二、解答题4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；(2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出样本空间基本事件总数，由古典概型概率计算公式即可求解.（2）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解.【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有11种：，其中正确选项只有一个，样本空间,共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为.（2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件：乙得10分，丙得5分，则；事件：乙得7分，丙得2分，则；事件：乙得5分，丙得0分，则；所以乙比丙总分刚好多得5分的概率.5．（23-24高二下·广西南宁·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立.(1)分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率；(2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率．【答案】(1)小王、小红解出概率分别为，(2)【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得；（2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得.【详解】（1）设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件A，B，C，根据题意，则有，则，又，所以，即，又，则．即小王、小红成功解出这道题的概率分别为，；（2）设三人中至少有两人成功解出这道题为事件D，则有，所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为．6．（23-24高二上·广东茂名·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．【答案】(1)(2)10【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可；（2）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出n的值.【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，由题意得，，，且事件A、B相互独立，则，所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；（2）设“丙猜对灯谜”为事件D，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，则由题意，，解得．【题型五】二项分布一、解答题1．（23-24高二下·安徽·期末）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为.(1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？(2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设甲工厂有件，乙工厂有件，得到，，根据题意，列出方程，求得，即可求解；（2）由（1）知所以，且的可能取值为，取得相应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解.【详解】（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，则，，，解得，即.（2）解：由（1）知所以，随机变量的可能取值为，且，可得，，，，，所以随机变量的分布列为：01234所以期望为.2．（23-24高二下·广东佛山·期末）某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，.(1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率；(2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用对立事件求概率即可；（2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.【详解】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，则，，，设E表示第一次烧制后至少有一件合格，，所以即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为.（2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则，，，，，所以，，，．所以的分布列如下：0123P于是期望3．（23-24高二下·天津西青·期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作．(1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率；(2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率；(3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)(3)分布列见解析；期望为【分析】（1）运用独立事件概率乘法公式求解即可；（2）运用二项分布概率公式求解即可；（3）运用二项分布概率公式求解概率分布列，进而求出数学期望即可.【详解】（1）由题意得；（2）该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B；（3）随机变量X的取值为由题意可知：随机变量X的分布列为X0123P或者．4．（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由.【答案】(1)11.5(2)平均值为9，方差为(3)，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出再计算高一学生阅读时间的上四分位数；（2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果；（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据最大不等式节出的值；【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得频率分布直方图中，第一个小长方形面积为第二个小长方形面积为第三、四个小长方形面积为第五个小长方形面积为第六个小长方形面积为前六个长方形面积和为0.8，所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得（2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人设这一组的平均值，方差所以总体方差是，解得（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，由频率分布直方图可知内的概率是，由得解得所以当最大时，5．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖.(1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；(2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.【答案】(1)分布列见解析，(2)2枚【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求出各种情况概率，列出的分布列，并求；（2）运用二项分布的概率公式，假设最大，则，解不等式组即可.【详解】（1）由题意得，可取0，1，2，3，4.，，，，…，则的分布列为：01234（2）每一轮获得纪念章的概率为，每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，设10轮答题获得纪念章的数量为，则，，.由，得，解得，又，得，则获得2枚纪念章的概率最大.【题型六】超几何分布一、解答题1．（23-24高二下·重庆长寿·期末）已知6名学生中，有4名男生，2名女生.现从这6名学生中任意抽取3名学生去参加一个趣味活动.(1)求抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率；(2)求抽出的3名学生中女生人数的分布列.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）转化为求抽到1名女生，2名男生的概率；（2）首先确定，再根据随机变量的意义，求概率，再列出分布列.【详解】（1）抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率，即抽出的3名学生是2名男生和1名女生的概率为：；（2）设抽出的3名学生中女生人数为，则可能取值为0，1，2.

的分布列如下0122．（23-24高二下·北京怀柔·期末）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：满意度性别满意不满意弃权男生803010女生502010(1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；(2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．【答案】(1).(2)分布列见解析；期望为.【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的的频率即可.（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.【详解】（1）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．在200人中对饭菜质量满意的有130人，.（2）分层抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2

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-X012P随机变量X的数学期望.3．（23-24高二下·重庆·期末）喝酒不开车，开车不喝酒．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上认定为醉酒驾车．某地统计近年来查处的醉酒驾车共200人，这200人血液酒精浓度检测结果按，，⋯⋯，分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求这200人血液酒精浓度的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）；(2)求这200人中血液酒精浓度在的人数；(3)按比例分配分层随机抽样的方法，在酒精浓度为和人员中随机抽取16人集中学习．现从这16人中抽取4人检查学习效果，求抽到的人员恰有3人酒精浓度为的概率．【答案】(1)116mg/100mL(2)50人(3)【分析】（1）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可;（2）根据频率=,计算所求的频数即可;（3）借助组合数公式和古典概型的计算公式求解.【详解】（1）设第一组纵坐标为a，则，则，这200人血液酒精浓度的平均值约为.（2）这200人中血液酒精浓度在的人数为人.（3）在酒精浓度为和人员中分别有人，人.设从这16人中抽取4人检查学习效果，抽到的人员恰有3人酒精浓度为为事件A，.4．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图：活跃客户非活跃客户总计男20女60总计(1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？(2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)40；80；有关(2)分布列见解析，1933【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望.【详解】（1）消费金额不低于800元的人数为：人，则活跃客户共有60人，所以，，列联表如下活跃客户非活跃客户总计男2080100女4060100总计60140200计算，因此有的把握与性别有关．（2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人，从中抽取2人免单总金额的取值有：，则，，，所以的分布列为：即.5．（23-24高二下·北京房山·期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.(1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；(2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；(3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）有古典概型计算可得结果；（2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）；（3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得.【详解】（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则（2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，所以的所有可能取值为，

所以的分布列为：

（或则）（3）由（2）可得；由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得.因此.【题型七】正态分布一、单选题1．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（

）（参考数据：）A．120 B．90 C．80 D．60【答案】B【分析】根据题意分析可知，结合正态分布的对称性分析求解即可.【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，，由于等级的概率之和为，所以，又因为，即，故为A等级，为等级，为等级，为等级，结合选项可知：该同学的考试成绩可能为90.故选：B.2．（23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（

）参考数据：若，则，，．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意，所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为.故选：A.3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】，即或，根据正态分布的性质可求及的概率，再结合条件概率公式即可求解.【详解】因为随机变量，且，，，，即或，，.故选：.二、解答题4．（23-24高二下·青