专题03 直线和圆锥曲线的位置关系 （期末复习讲义）解析版

13/120专题03直线和圆锥曲线的位置关系（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律直线与圆锥曲线位置关系的判定（基础必考点）基础目标：能熟练联立方程，准确用判别式判定椭圆、抛物线与直线的位置关系，准确率达100%.能力目标：主动考虑“直线斜率不存在”“双曲线渐近线”等特殊场景，避免漏判、误判.题型分布：选择题/填空题（1题，5分）+解答题第一问（铺垫作用，3-4分），总分值8-9分.考查频率：期末必考点，无试卷例外命题陷阱：常设“直线垂直x轴”“双曲线与渐近线平行”的干扰项，考查细节处理能力载体偏好：椭圆（基础判定）、双曲线（特殊情况）、抛物线（斜率范围求解）.弦长问题（高频解答考点）基础目标：能根据曲线类型选择弦长公式，代入数据准确计算（计算失误率≤5%）能力目标：结合三角形面积公式，解决综合计算问题.题型分布：解答题第二问（核心得分点，4-5分），少数情况出现在填空题考查频率：高频考点，90%以上试卷会涉及载体偏好：椭圆（最主要，计算量适中）、抛物线（焦点弦特例常考）得分难点：计算过程中忽略“先验证”（弦长存在的前提），导致步骤不完整扣分.中点弦问题（中频考点）基础目标：能独立用两种方法求解“已知中点求直线”“已知直线求中点”的基础问题能力目标：主动验证中点弦的存在性（如判断中点是否在椭圆内部），避免“不存在的弦”的错误结论.题型分布：选择题/填空题（1题，5分）或解答题第一问（3-4分）考查频率：中频，60%-70%试卷会考查.命题特点：常给出“中点坐标”“弦过定点”等条件，直接套用方法即可求解，难度中等.易错陷阱：双曲线中点弦中，忽略“中点与原点连线平行于渐近线时无弦”的情况.定点/定值问题（压轴高频考点）基础目标：掌握“参数分离”“特殊值验证”的核心思路，能在提示下完成证明.能力目标：独立分析含参数的表达式，规范书写“设参→化简→求解”的步骤，突破压轴问.题型分布：解答题压轴问（最后1问，5-6分）考查频率：高频，80%以上试卷以压轴形式考查载体偏好：椭圆（最主要，性质稳定易化简）、抛物线（焦点相关定值常考）难度梯度：前半步骤（设参、联立）较基础，后半步骤（化简消参）需技巧，区分度高.最值/范围问题（选考压轴考点）基础目标：能针对单一类型问题（如长度最值），选择一种方法求解能力目标：根据题目条件灵活选择最优方法（如“面积范围”优先用函数法，“距离最值”优先用几何法），规范书写范围推导过程.题型分布：仅部分试卷（约40%-50%）的解答题压轴问考查考查频率：选考，非必考点载体偏好：椭圆（最主要，几何性质易结合）、抛物线（参数范围问题常考）得分关键：明确变量的取值范围（如椭圆上点的横坐标），避免函数求最值时忽略定义域.综合应用（辅助考点）基础目标：能将向量、斜率条件转化为代数等式（如转化为）能力目标：结合弦长、中点弦等考点，解决“向量条件+长度/面积”的综合问题.题型分布：不单独出题，作为其他考点的“附加条件”考查（如“弦长问题+向量垂直”“定点问题+斜率乘积”）考查频率：辅助高频，几乎所有综合题都会涉及命题特点：通过向量、斜率条件增加题目综合性，但转化难度低，核心仍在基础考点载体偏好：椭圆（向量结合最频繁）、抛物线（斜率相关较简单）.一、考点1：位置关系的判定（基础必考点）1.基础知识点判定核心逻辑：通过“直线方程与圆锥曲线方程联立→消去一个变量（如）→得到整式方程（一元一次/一元二次）→分析方程解的个数”判断位置关系.三类整式方程处理：一元一次方程（如联立后得，）：1个解→直线与曲线相交（特殊：双曲线中可能是与渐近线平行）.一元二次方程（，）：通过判别式判断解的个数.无实数解的整式方程：直线与曲线相离.特殊场景：直线斜率不存在（垂直轴，方程为）：直接代入曲线方程，看的解是否存在及个数.双曲线（如）：直线与渐近线（）平行时，联立得一元一次方程，仅有1个交点（仍属相交，非相切）.2.核心概念与公式判别式公式（仅一元二次方程）：：2个不同实数解→直线与曲线相交.：1个实数解（重根）→直线与曲线相切.：无实数解→直线与曲线相离.双曲线渐近线方程（标准式）：的渐近线为；的渐近线为.3.易错点联立方程后未先判断整式方程类型（一元一次/二次），直接用判别式（如直线与双曲线渐近线平行时，得一元一次方程，无判别式，易误判为“无交点”或“相切”）.忽略直线斜率不存在的情况（如判断“与椭圆的位置关系”，易漏代入直接用斜率分析，导致错判）.计算判别式时符号错误（如展开时，误算为，正确应为）.4.常考结论椭圆（，）与直线相交的条件：（联立后化简结果，可直接用）.抛物线（，）与直线相切的条件：（联立后化简结果）.双曲线（）与直线有两个交点的条件：且（排除与渐近线平行的情况）.二、考点2：弦长问题（高频解答考点）1.基础知识点弦长定义：直线与曲线相交，两个交点间的线段长度.核心计算思路：方法1：先求两交点坐标、，再用距离公式（计算量大，少用）.方法2：联立方程得一元二次方程，用韦达定理和判别式简化计算（通用方法，必掌握）.焦点弦特殊情况：过圆锥曲线焦点的弦（如抛物线的焦点，椭圆的右焦点），有专属简化公式.2.核心概念与公式通用弦长公式（直线斜率为，联立后一元二次方程，）：推导依据：，.公式：.若直线斜率不存在（）：弦长（代入曲线方程得的两个解，作差取绝对值）.抛物线焦点弦公式（，）：若焦点弦端点为、，则.若焦点弦斜率为，则（垂直轴时不存在，弦长，即通径）.韦达定理公式：，（用于计算，避免求交点）.3.易错点计算弦长前未验证（弦长存在的前提是直线与曲线相交，无交点则无弦长，步骤不写会扣分）.混淆“直线斜率存在/不存在”的公式（如直线与抛物线的弦长，误代入公式，正确应为直接求）.抛物线焦点弦公式记错开口方向（如（）的焦点弦长，误用，正确应为）.根号内计算错误（如，误算为，漏乘5到）.4.常考结论椭圆（）的通径（垂直长轴的焦点弦）长度：（常考最短焦点弦）.抛物线的焦点弦性质：，（可快速计算焦点弦长或斜率）.直线过定点与椭圆相交，弦长最大值为椭圆长轴长（当直线过椭圆中心时）.三、考点3：中点弦问题（中频考点）1.基础知识点中点弦定义：过某点且以该点为中点的圆锥曲线的弦（如“以为中点的椭圆弦”）.两种核心求解方法：方法1：联立方程+韦达定理（普适性强，适用于所有曲线）步骤：设直线方程（如）→联立曲线方程→得一元二次方程→用韦达定理→解出→得直线方程.方法2：点差法（计算量小，适用于椭圆、双曲线、抛物线，需验证）步骤：设弦端点、，中点→代入曲线方程→两式相减→用，和→推导与的关系→得直线方程.关键验证：点差法求出直线后，需联立曲线方程验证（避免“不存在的弦”，如中点在椭圆外时无弦）.2.核心概念与公式点差法推导的斜率公式（核心）：椭圆：中点弦斜率（为中点，）.双曲线：中点弦斜率（）.抛物线：中点弦斜率（，为中点）.韦达定理与中点关系：，（为联立后一元二次方程二次项系数，为一次项系数）.3.易错点点差法求出直线后，未验证（如“求以为中点的椭圆的弦”，用点差法得直线，但代入椭圆无解，实际无此弦，漏验证会错答）.忽略中点在曲线内部的隐含条件：椭圆中点弦：中点需满足（在椭圆内部），否则无弦.抛物线中点弦：中点需满足（在抛物线内部）.点差法中分母为0的情况（如中点，椭圆点差法斜率公式分母，此时直线垂直轴，需单独设求解）.4.常考结论椭圆中，若中点弦过原点，则弦为椭圆直径，此时弦的斜率与端点坐标满足（为弦的一个端点坐标），且弦长最大值为（长轴）.抛物线（）的中点弦：若弦过定点，则中点满足（推导自点差法，可直接用于求中点轨迹方程）.双曲线中点弦不存在的特殊情况：当中点与原点连线的斜率（即平行于渐近线）时，无满足条件的中点弦.四、考点4：定点/定值问题（压轴高频考点）1.基础知识点定点定义：直线或曲线在参数（如斜率、截距）变化时，始终经过的固定点（坐标与参数无关）.定值定义：含变量（如交点坐标、直线斜率）的表达式，其值始终为常数（与变量无关）.核心处理思路：定点问题：设含参数的方程（如直线，其中与存在关联）→整理为“参数×+=0”的形式→令且，解方程组得定点坐标.定值问题：设变量（如直线斜率、交点横坐标）→用韦达定理或曲线方程化简目标表达式→消去变量，证明结果为常数.常用辅助技巧：特殊值法（先取2个特殊参数值，求对应直线/曲线的交点，即为疑似定点；定值可先算特殊情况的值，再证明一般情况）.2.核心概念与公式参数分离通用形式（以直线含参数为例）：若直线方程整理为，则定点满足.示例：直线可整理为，定点为.定值化简常用公式：韦达定理：，（联立后一元二次方程）.椭圆/抛物线方程代入：如椭圆上点满足，可用于替换化简.向量相关定值转化：若涉及（为原点），则，可结合韦达定理化简为定值.3.易错点参数分离不彻底（如直线，误整理为，未消去分母，正确应为，再按和分离参数）.特殊值法仅取1个特殊情况（如仅取求直线，无法确定定点，需取和，求两直线交点）.定值化简时忽略曲线方程代入（如椭圆中未用替换，导致无法消去变量）.忘记验证“一般情况”（特殊值法求出定点/定值后，需证明对任意参数/变量均成立，否则步骤不完整）.4.常考结论椭圆中，过定点的直线与椭圆交于两点，若（定点在椭圆上），则直线恒过定点（即定点本身）.抛物线（）的焦点弦：（定值，与焦点弦斜率无关）.椭圆中，若在椭圆上且（为原点），则原点到直线的距离（定值）.五、考点5：最值/范围问题（选考压轴考点）1.基础知识点常见类型：长度最值：椭圆/双曲线上一点到定直线的距离最值、过定点的直线与曲线相交的弦长最值.面积范围：以曲线弦为底、定点为顶点的三角形面积范围（如，为原点）、曲线内接四边形面积范围.参数范围：直线斜率/截距的取值范围（如直线与曲线有交点时）、曲线交点横/纵坐标的范围.核心求解方法：函数法：设变量（如点的横坐标、直线斜率）→将目标量（如距离、面积）表示为变量的函数→求函数在定义域内的最值/范围.不等式法：用基本不等式（，）或二次不等式（判别式）求范围.几何法：数形结合，利用曲线几何性质（如椭圆的范围、）或圆的半径/距离性质.2.核心概念与公式长度最值相关公式：点到直线的距离：（椭圆上点到定直线的距离最值，可设点坐标为椭圆参数形式，，转化为三角函数最值）.弦长公式：（弦长最值可结合判别式或函数单调性求解）.面积范围相关公式：三角形面积：（底为弦长，高为定点到直线的距离）.（，）面积：（避免求距离，直接用坐标计算）.函数最值公式：二次函数（）在上的最值：若对称轴，则最值在顶点或端点；若对称轴不在区间内，最值在端点.3.易错点函数法中忽略变量定义域（如椭圆上点的横坐标，求二次函数的最值时，误按全体实数求顶点最值，未结合的范围）.基本不等式应用不满足“三相等”条件（如求的最大值，误直接用，但未验证即是否在定义域内）.几何法中误解最值的几何意义（如椭圆上点到定点的距离最值，误认为是定点到椭圆中心的距离加减半径，正确应为结合椭圆参数方程或函数法求解）.面积范围计算时漏乘系数（如面积公式误写为，遗漏）.4.常考结论椭圆上一点到定直线的最短距离：（当直线与椭圆相离时，若相交则最短距离为0）.过椭圆中心的弦（直径）为底时，椭圆内接三角形面积最大值：（高最大为短半轴或长半轴，取决于底的方向）.抛物线（）上一点到定点的距离最小值：当时，最小值为；当时，最小值为.六、考点6：综合应用（辅助考点）1.基础知识点向量与圆锥曲线结合：通过向量条件（垂直、共线、数量积定值）转化为代数关系，结合弦长、中点弦等考点求解.斜率与圆锥曲线结合：利用斜率乘积/和为定值的条件，推导直线过定点或弦的性质.核心转化逻辑：将几何条件（向量、斜率）转化为代数等式→联立曲线方程→用韦达定理或基础考点方法（如弦长、中点弦）求解.2.核心概念与公式向量条件转化公式：向量垂直：.向量共线：（为实数）且.向量数量积定值：（为常数）.斜率相关转化公式：斜率乘积定值：（为常数）.斜率和定值：（为常数）.3.易错点向量垂直转化错误（如误写为，正确应为）.斜率计算忽略“分母为0”的情况（如时，不存在，需单独讨论在轴上的情况）.综合题中思路混乱（未拆解考点，如“向量垂直+弦长”问题，应先转化向量条件得，再结合韦达定理求弦长，分步求解）.代入曲线方程时符号错误（如双曲线方程，代入点坐标时误写为，导致后续计算全错）.4.常考结论椭圆中，若（为原点），则弦长的最小值为，最大值为（长轴）.抛物线（）中，若直线过定点且，则（定点为抛物线的准线与轴交点的对称点）.双曲线中，若（渐近线斜率平方），则直线恒过原点.题型一直接判定直线与曲线的位置关系（选择/填空/解答第一问，基础必考）解｜题｜技｜巧1.联立方程：设直线方程（如，若斜率可能不存在，需单独讨论）与圆锥曲线方程，消去（或）得整式方程（或）.2.判断方程类型：若为一元一次方程（二次项系数为0）：→有1个解→相交（双曲线中需注明“与渐近线平行”）.若为一元二次方程（二次项系数）：→计算判别式（为方程的系数）.3.下结论：→相交；→相切；→相离.4.特殊情况补充：若直线斜率不存在（如），直接代入曲线方程得的解，解的个数对应位置关系.【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由；【详解】（1）圆心，半径，线段的垂直平分线交半径于点点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为（2）直线过，斜率为，直线，联立，可得，即，只有一个解，直线与椭圆相切.【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.(1)若双曲线的离心率为，求的值；(2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点.【详解】（1）由题意可得，因为，解得.（2）因为直线与圆相切，所以，可得，联立得，即，则，所以方程有两个不等的实根，设这两个实根分别为、，则，因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点.【变式1】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，．(1)求的值；(2)求直线与C的公共点个数.【详解】（1）易知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，与联立得，，所以．（2）直线的斜率为，所以直线的方程为，即，与联立得，解得，所以直线与C只有1个公共点A．【变式2】（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中．(1)当时，求双曲线的离心率；(2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点；【详解】（1）由题意，，所以，，因此，双曲线的离心率.（2）由直线与圆相切，得，即，联立得，即，该一元二次方程的判别式，因此有两个不相等的实数根，且两根之积为，因此两根一正一负，即与双曲线的左右两支各有一个公共点.【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为.(1)求的方程；(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，所以，又因为椭圆的离心率为，得，∴，所以椭圆方程为.（2）如图：

由得直线的斜率为，中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，∵，∴所以直线与椭圆相切，且，即线段的垂直平分线与恰有一个公共点.题型二求直线与曲线有交点时参数（斜率/截距）的范围（解答第一问，基础必考）答｜题｜模｜板1.设参数：设直线参数（如斜率、截距），写出直线方程（斜率不存在时单独讨论）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（，否则无两个交点）.3.列不等式：由“有交点”得（相交2个点用，相切1个点用），代入整理不等式.4.求解范围：解不等式得参数范围，若有特殊情况（如双曲线需排除与渐近线平行的斜率），补充排除条件.5.综上：写出参数的最终取值范围.【典例1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线.(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围；【详解】（1）由题设，则，故椭圆；（2）联立，则，即，由直线l与椭圆C有两个公共点，则，得.【典例2】（2025高二上·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且．(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）．（i）求m的取值范围；【详解】（1）

由题意可知，因为，所以.设，则，所以，又，所以.所以双曲线C的方程为.（2）（i）由题意知直线l的方程为.联立，化简得，因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，即满足：，解得或；

【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点.(1)若离心率时，求的值；(2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值；【详解】（1）由题意可得，故.（2）当时，双曲线的方程为，由题意可知，直线的方程为，联立可得（*），当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意；当时，即当时，则，解得.综上所述，或.【变式2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.(1)求椭圆的离心率；(2)直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为.依题意可得，又，所以，则.故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率（2）（ⅰ）设，.联立，整理得.由，解得或.即的取值范围为.【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值.【详解】（1）如图：

设圆的半径为，因为圆与圆内切，与圆外切，由已知，圆心，半径为5，圆心，半径为1，所以，两式相加得：.所以点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，所以.所以圆心的轨迹方程为.（2）将代入，得：，整理得：.因为直线与C有且只有一个公共点，所以，即，即，解得或.题型三求通用弦长（直线与椭圆/双曲线/抛物线相交的弦长，解答第二问，高频）答｜题｜模｜板1.前置判定：先联立直线与曲线方程，验证（确保弦存在，步骤必写，避免扣分）.2.用韦达定理：设弦端点、，由一元二次方程得：，，计算.3.代弦长公式：若直线斜率存在：.若直线斜率不存在（）：（代入曲线方程得，作差取绝对值）.4.计算结果：代入数据化简，得弦长具体数值或含参数的表达式.【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线．(1)求曲线的方程；(2)直线与曲线交于，两点，求线段的长．【详解】（1）设点，则直线的斜率为，直线的斜率为，根据题意有：，化简得，由于时斜率不存在，故曲线的方程为.（2）设，，联立，消去并整理得，，所以，，直线斜率为1，弦长公式为，因此【典例2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：.(1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值；(2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求.【详解】（1）联立方程组，消去，得到，整理得到，当时，即时，，满足直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点；当时，即时，则，即，解得，综上可知，直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，或；（2）联立方程组，消去，得到，整理得到，直线l：与双曲线C相交于A，B两点，设，则，.【变式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线的方程；(2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求．【详解】（1）由点在抛物线上，得，由，可得，得，所以抛物线的方程；（2）当斜率不存在时，方程为：，此时，则，，不符合题意，当斜率存在时，设直线方程为：，联立抛物线方程消去可得：，设，又，则，代入，可得：代入得：化简可得：，即或，当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去，当，直线方程为，所以由弦长公式得：【变式2】（25-26高二上·上海松江·期中）已知双曲线的离心率为为上一点．(1)求的方程；(2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度.【详解】（1）由题得:，解得，所以双曲线的方程为：.（2）设，如图所示：由题得直线的方程为，联立得：，整理得：，所以，所以所以.【变式3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为.(1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度.(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长；【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，，解得：，，，则椭圆的方程为：，椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为，顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为；（2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为，由可得，设的横坐标分别为，可得，，则，所以线段的长为.题型四求抛物线焦点弦长（解答第二问，高频，结合焦点性质）答｜题｜模｜板1.确定抛物线与焦点：明确抛物线方程（如，焦点），判断直线是否过焦点.2.选公式：已知端点坐标：用（或，若抛物线开口向上/向下）.已知直线斜率：用（垂直轴时不存在，弦长）.3.补全计算：若未知或，联立焦点弦方程与抛物线方程，用韦达定理求，再代入公式.4.得结果：化简计算，写出焦点弦长.【典例1】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上的动点到直线距离的最小值为.(1)求的值；(2)过焦点的直线与交于两点，若，试说明直线与的位置关系.【详解】（1）解法一：设，∴点到的距离，即，当时，的最小值为0，不符合题意；当，即时，显然时取得最小值，为，由，得.解法二：当点到的距离最小时，点为与平行的的切线的切点，设该切线方程为，，解得或，当时，在上方，不合题意，，将中，整理得，由解得或（舍）.（2）由（1）得，抛物线.设，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意，所以直线的斜率存在且不为0，设其方程为，代入中整理得，，则，解得，即，当时，，当时，.【典例2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求的最小值．【详解】（1），，．（2）由于直线与抛物线交于A，B两点，则直线不与x轴平行，设直线：，设，，则，，所以，联立得，，则，，代入可得，所以最小值为，此时．【变式1】（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线的倾斜角为45°，求.【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线.（2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为，设，联立，,故.【变式2】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，求直线的倾斜角.【详解】（1）由题意得，由抛物线的定义得，解得，将代入抛物线，得到，且，所以(负根舍去)，故抛物线的方程为.（2）由（1）知，当直线斜率不存在时（不合题意），如图，故设，联立，化简得，则又，得，则，所以直线的倾斜角为或.题型五已知直线求弦的中点坐标（选择/填空，中频）答｜题｜模｜板1.设直线方程：已知直线斜率或截距，写出直线方程（如）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，验证.3.用韦达定理求中点横坐标：.4.求中点纵坐标：将代入直线方程，得.5.写中点：最终中点坐标为.【典例1】（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标．【详解】（1）因椭圆过点，则有，解得，所以椭圆C的标准方程为：；（2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：，显然，设，则，因此线段中点的横坐标，其纵坐标，所以线段中点的坐标为.

【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，离心率为．(1)求的方程．(2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程．【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为．（2）设点、，设点，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，可得，则，即点的轨迹方程为．【变式1】（2025高三·全国·专题练习）求直线被抛物线截得线段的中点坐标．【详解】解法一：设直线与抛物线交于，中点为，由题意得消去得，即，所以，即中点坐标为．解法二：设直线与抛物线交于，中点为，由题意得两式相减得，所以，所以，即，即中点坐标为．解法三：设中点坐标为，由结论易得：．由题目已知，，所以有，代入直线中，求得，即中点坐标为．【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程；【详解】（1）由题可得：，解得：，所以椭圆的标准方程为：；（2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，，联立，化简得，则，解得：，所以，设弦中点，则，消去，得，而，所以点的轨迹方程为.【变式3】（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为.(1)求的离心率；(2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率.解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率.（2）解法一：由（1）知的方程为.直线的斜率，设平行于的一组直线方程为，与交于点，线段的中点为.由得，即，，所以，因为，所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.解法二：由（1）知的方程为.直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点，线段的中点为.由两式相减得：，显然，所以，所以，即，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.

题型六已知中点求弦所在直线方程（解答第一问，中频）答｜题｜模｜板1.设点：设弦端点、，中点（已知条件给出）.2.代入曲线：将代入圆锥曲线方程，得两个等式：椭圆：，；抛物线：，.3.作差推导斜率：两式相减，整理得：椭圆：，代入，，，得（椭圆）；抛物线：（抛物线）.4.写直线方程：用点斜式，整理为一般式.5.验证：联立直线与曲线方程，计算，确认弦存在（若，说明无此弦）.【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数．(1)求曲线的轨迹方程；(2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．【详解】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数，则，整理可得，所以曲线的轨迹方程为.（2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0，设点、，因为为线段的中点，所以，所以直线的方程为即.【典例2】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点．(1)求双曲线的方程；(2)若的中点为，求直线的方程．【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，双曲线的方程为，设，，联立，化简得，则，且，，由为的中点，得，解得，，且满足，所以直线的方程为.【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程.【详解】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为．设抛物线的方程为，所以，所以，所以抛物线的方程为.（2）设，，则，两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是弦的中点，所以，所以，所以直线的方程为，即.

【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由.【详解】设存在被点平分的弦，且，则，两式相减，得.又点为弦的中点，∴，，.∴直线的方程为，联立方程组，消去，得，此时，所以直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线.【变式3】（2025高三·全国·专题练习）为椭圆内一定点，过点作一弦，使此弦被点平分，求此弦所在直线的方程．【详解】解法1如图，设所求直线方程为．由方程组消去，得．由题可得判别式大于0.设弦的两端点为，由韦达定理．又是弦的中点，所以，所以，解得．所以弦所在的直线方程是，即．解法2设弦的两端点为，弦所在直线的斜率为，则，两式相减整理得：.由题，则，又直线过点，则弦所在的直线方程为，即．题型七求直线斜率的取值范围答｜题｜模｜板1.设直线方程：设直线为（已知或与有关）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（）.3.列不等式：由“直线与曲线有交点”（或题目条件，如“弦长≥2”）得（或对应不等式），代入，整理为关于的不等式.4.解不等式：求解一元二次不等式（或分式不等式），得的取值范围.5.补充特殊情况：若直线斜率不存在时符合条件，需加入范围【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．(1)求椭圆E的方程．(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，O为原点，在OA，OB上分别存在异于点的点M，N，使得点O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．【详解】（1）依题意，可设概圆E的方程为．由，，∵椭圆经过点，∴，解得，则，．∴椭圆E的方程为．（2）联立方程组消去y整理，得，∵直线与椭圆E有两个交点，∴，解得．①∵原点O在以MN为直径的圆外，∴为锐角，即．而点M，N分别在OA，OB上且异于O点，即．设A，B两点坐标分别为，，则，∴，化简得，解得，②综合①②可知.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据原点O在以MN为直径的圆外，得为锐角，转化为，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.【典例2】（24-25高二上·江西·期中）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点．(1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围；(2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围．【详解】（1）由双曲线方程可知，，，，，因为，所以，解得，即实数的取值范围是；（2）由（1）可知，，解得，所以双曲线方程为，设，，过点的直线方程为，由，消去整理得，，，由，，，解得，所以该直线斜率的取值范围是．【变式1】（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，求该直线斜率的取值范围.【详解】（1）由题意双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2，可设双曲线方程为，且，则双曲线标准方程为；（2）由题意可知过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，故该直线斜率一定存在，且不和双曲线渐近线平行，故设直线方程为，联立，整理得，需满足，解得，即该直线斜率的取值范围为.【变式2】（2025·福建厦门·三模）焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、.(1)求双曲线的方程；(2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率；(3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围.【详解】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为，故，解得，所以双曲线的方程为.（2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为，设、，联立，整理得，由题意可得，解得，由韦达定理得：，，所以或，设线段的中点为，则，，即点，，，因为，所以，解得，经验证均满足题意，所以直线的斜率为.（3）点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数，由，得，所以，则，则，由，得，所以，则，又因为直线交两支两点，故直线的斜率，所以.【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知，为双曲线：的左、右焦点，在抛物线的准线上，且点在的一条渐近线上．(1)求的方程；(2)过点的直线与的右支交于，两点，若，求直线斜率的取值范围．【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，又在的渐近线上，则，即，又，解得，所以的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立，消去得，令，解得，又与的右支交于两点，则，，联立解得，故，又，所以，又，，则，整理得，将，代入，得，解得，综上可知，的取值范围是．题型八求椭圆/双曲线/抛物线上一点到定直线的距离最值（解答压轴问，选考）答｜题｜模｜板1.设参数坐标：用椭圆参数方程设点，如椭圆上一点为（为参数）.2.写距离公式：代入点到直线距离公式，得： .3.化简三角函数：将分子整理为（其中，为辅助角）.4.求最值：利用，得：最大值：；最小值：（若直线与椭圆相离，最小值为）.【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为．【详解】方法一：设，即，与椭圆C的方程联立，得．，∴，当时，点P到直线l的距离为，即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为．方法二：设，由点到直线距离公式∵，∴∴，∴．故答案为：.【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为.【详解】不妨设点，则点到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【变式1】（24-25高二下·浙江·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为．【详解】设为曲线上一点，则，则到直线的距离为，当且仅当令，取等号，所以的最小值为.故答案为：.【变式2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【详解】不妨设点，其中，则点到直线的距离为，故当时，取最小值，此时点的坐标为.故选：C.【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（

）A． B． C．2 D．【详解】椭圆，即，又为上的一动点，设，则点到直线距离，又，所以当时有最大值，即点到直线距离的最大值为．故选：D．题型九求的面积范围（解答压轴问）答｜题｜模｜板1.设直线方程：设直线为（斜率不存在时单独讨论），联立与曲线方程，验证.2.求弦长与高：弦长；原点到直线的距离.3.写面积表达式：.4.转化为单变量函数：利用联立方程中与的关系（如椭圆中），消去一个变量（如），得关于的函数.5.求范围：根据变量定义域（如），结合二次函数或基本不等式求的取值范围.【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于A、B两点，求（为原点）面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得，由椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4，得，即，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率存在时，设其方程为，，由消去得，，，，原点到直线的距离，因此的面积，当且仅当时取等号，此时，符合题意；当直线斜率不存在时，设其方程为，由，得，，因此的面积，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为1.

【典例2】（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，.(1)求的方程；(2)过点作直线的垂线，垂足为.①证明：直线过定点；②求面积的最小值.【详解】（1）由题可知，则，由轴时，，可令，代入双曲线得，解得，则所求方程为；（2）①证明：设，则，由斜率不为0，可设，联立双曲线并整理得，则，，所以，由，直线，根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，令，则，解得，因为，所以，而，所以，则，所以过定点；②，由①得，解得，令，则，因为，所以，则，当时取等号，所以的最小值为.【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.(1)求的渐近线方程：(2)求面积S的最小值：(3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.【详解】（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点，将，代入得：，解得，，的渐近线方程为；（2）设，，则，由于，则，显然，可得，且，，，当且仅当，时，等号成立，的最小值为16；（3）显然，直线，即，其中，，即，，故点到直线的距离为，存在定圆与直线相切.【变式2】（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足．(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值．【详解】（1）记点、，则，所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设双曲线的方程为，则，，可得，，所以，，因此，曲线的方程为.（2）由图可知，直线的斜率存在且不为.设、，直线的方程为，

则直线的方程为，即．因为直线与圆相切，所以，则．由消去，化简得．由题意，且（因为），，所以或，又原点到直线的距离为，所以．由或得，设，，因为，当且仅当时等号成立，且，当且仅当时等号成立，所以当时，．所以当，即时，.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【变式3】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知椭圆离心率为，过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程．【详解】（1）由题意离心率，所以，又在椭圆C上，所以，与上式联立，解得，则椭圆的方程为.（2）由（1）得，则，所以.如图：当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C的方程可得，所以，所以；当直线l不垂直x轴时，设斜率为（时，），则方程为，联立，可得，，则，所以，则，令，则，所以则，因为，所以，因为在上单调递减，所以，综上，的最大面积，此时直线l的方程为.题型十证明表达式为定值（解答压轴问，高频）答｜题｜模｜板1.设变量：设目标表达式中的变量（如直线斜率、交点坐标），写出目标表达式（如）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，用韦达定理得，.3.化简目标表达式：将、（或曲线方程）代入目标表达式，如：.4.消去变量：展开并代入韦达定理结果，化简后消去、等变量，得到常数（如）.5.下结论：说明表达式的值与变量无关，即为定值.【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和．(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值；(3)若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值．【详解】（1）设椭圆的标准方程为：过；（2）设，则，，则，两式作差可得，所以；（3）①当直线斜率不存在时，则直线的方程为，根据对称性，取直线的方程为，则，解得，即，此时；②当直线斜率不存在时，直线的方程为，同理可得；③当直线斜率存在时，设直线的方程为，，因为所以，在椭圆上，所以，即，设到直线的距离为，则，，所以.【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且.（1）求的方程.（2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为.（i）求点的坐标（用表示）；（ii）证明：为定值.【详解】（1）由题意得，，，，得，则的方程为；（2）（i），直线，联立，得，得或，则，代入中得，，故；（ii）因，则由（i）可得，，则直线的方程为，则，因，则直线，联立，得，即，则，则.【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点.(1)求双曲线的方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程；(3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值.【详解】（1）由题意可得：.所以双曲线的标准方程为：.（2）设，，则，两式相减得：，又线段的中点为，所以，所以，即直线的斜率为1.所以直线的方程为：即.直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件；（3）如图：因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率.设直线方程为：，代入双曲线方程得.整理得：（）.设，，则，.又，，所以，为定值.【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值；(3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值.【详解】（1）由，因为在双曲线上，所以有；（2）由题意可知，设，则有，所以；（3）因为，所以直线的斜率存在，因此设直线的方程为，设，，，且，，或，当时，，直线过点，不符合题意；当时，，因为，所以是直角三角形，且，当定点为斜边中点时，，即存在定点，使得为定值.【变式3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点.（i）当时，求；（ii）求点与点的纵坐标的比值.【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，

又由点在双曲线上，有,代入,有,可得,,故双曲线的标准方程为.（2）设，两点的坐标分别为,

联立方程,消去后整理为,则，即，可得,.（i）当时，有,,

可得,故.（ii）由,,可得直线的方程为,代入,可得点的纵坐标.同理可得直线的方程为,点的纵坐标为,又由,有,则.故点与点的纵坐标的比值为.题型十一证明直线/曲线过定点（解答压轴问，高频）答｜题｜模｜板1.设含参方程：设直线方程（如，其中与有关联，或设参数的直线方程）.2.联立化简：联立直线与曲线方程，利用韦达定理或曲线性质，推导与的关系（如）.3.参数分离：将直线方程整理为“参数×表达式1+表达式2=0”，如整理为.4.求定点：令两个表达式均为0，解方程组：，得定点.5.验证：取2个特殊参数值（如、），求对应直线的交点（如时直线为，时直线为，交点为），与步骤4求得的定点一致，证明直线恒过该定点.【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；(3)若，求证：直线过定点.【详解】（1）由题意得：，解得，椭圆方程为：（2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在.设直线，代入，可得，设，，则，，因为弦的中点的纵坐标为，所以，即，，O到直线MN的距离，，由，，可得，当即时，取得最大值.（3），，即，，，代入（*）式，得，即，化简得，即

，或，当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去，当时，则直线，此时直线过定点，当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，，此时，显然成立.直线过定点.【典例2】（25-26高二上·河南·期中）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点.(1)求的方程；(2)若的周长为，求直线的方程；(3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点.【详解】（1）由双曲线经过点两点，得，解得，故的方程为．（2）因为,均在的右支上，且的周长为，所以．由双曲线的定义，知，所以．由（1）知，显然直线的斜率不为0，则设直线，代入整理得．由题知，设，则．因为,均在的右支上，所以，所以，所以，解得，所以直线的方程为或．（3）由题意得直线的方程为．代入，得．设，则，所以，则，所以．同理得．当时，，所以，所以直线的方程为，即．所以直线过定点．当时，的方程为，易求．所以过定点．综上，直线过定点．

【变式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4．(1)求抛物线的方程；(2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为，（i）求证：；（ii）求证：直线过定点．【详解】（1）设直线的方程为，代入得，设点，则，而线段中点纵坐标为4，则，解得，故的方程为.（2）（i）法一：由（1），且，则所以.法二：设直线方程为，抛物线的方程可表示为，由，得，，，直线的斜率为，，.（ii）法一：如图，作出符合题意的图形，

由已知得，设直线的方程为，联立，可得，，，，整理得，即，当时，直线与直线重合，舍去，直线的方程，直线过定点.法二：由已知得，，，（舍）或，直线的方程是，直线过定点.【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由.【详解】（1）由题意可得，则，当直线平行于轴时，，联立，则，故，解得，则，即椭圆的方程为；（2）设，若直线与椭圆仅有交点，则直线与椭圆仅有交点，且平行轴，不符，故可设直线与椭圆另一交点为，由直线，关于轴对称且直线不平行轴，则，且两直线斜率存在，设，联立，消去得，，即，有、，则，由对称性可得，若直线过定点，则定点必在轴上，令，则，故直线过定点.【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧．①求直线斜率的取值范围；②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点．【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，，所以.当动圆与圆、圆都内切时，，所以，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，所以，，所以，所以曲线的方程为.（2）①由题意直线斜率存在，设为，设点，，由消去得，，则，则由题意，解得，所以直线斜率的取值范围为.②由题意，则，所以直线方程为，即，因为，因为，所以，所以直线方程为，恒过点.题型十二向量垂直（）结合弦长/面积（解答综合问，高频）答｜题｜模｜板1.转化向量条件：由得核心等式（必写推导依据：向量垂直则数量积为0）.2.联立与韦达：设直线方程为（斜率不存在时单独讨论），联立与圆锥曲线方程（如椭圆），得一元二次方程，验证（确保交点存在），由韦达定理得：，.3.代入向量等式化简：将、代入，展开整理：→，代入韦达定理结果，得到与的关系式（如，椭圆场景）.4.结合目标考点计算：若求弦长：代入通用弦长公式，将步骤3中与的关系代入，化简得弦长（可能为定值或含参数表达式）.若求面积：先求原点到直线的距离，再用面积公式，代入和的表达式，结合与的关系化简（常为定值或可求范围）.5.补充特殊情况：若直线斜率不存在（），代入曲线方程得，由得，结合曲线方程求解，验证是否符合条件，避免漏解.6.总结结果：写出弦长或面积的最终值（或范围），明确是否需舍去不符合的情况.【典例1】（2025高三·全国·专题练习）设为坐标原点，若椭圆与直线交于两点，且，圆过点．(1)求的方程及圆的半径；(2)若点在上，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．【详解】（1）设，联立，得，，则，即，解得，故的方程为．设圆的方程为，又圆过点，代入可得，故圆的半径为2．（2）

直线的斜率不存在时，设直线的方程为，联立，不妨令，由，得，解得，此时圆心到直线的距离为，故直线与圆相交．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，则，由得，即，即，故，解得，设圆心到直线的距离为，则，故直线与圆相交．综上，直线与圆相交．【典例2】（24-25高二上·辽宁·月考）“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线.(1)求双曲线的焦点坐标；(2)将双曲线绕着坐标原点O顺时针旋转，使焦点落到x轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，当时，求直线l的方程.【详解】（1）设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，（倾斜角为）与（倾斜角为）为渐近线，故直线（倾斜角为）为双曲线的一条对称轴，设直线与函数图象交于，两点，联立可得，，则，即，又，所以，，设双曲线的焦点分别为，，则

.（2）由（1）可得双曲线的方程为，右焦点，设直线l的方程为，与的方程联立可得，设，，易知，，则①，②，，化简可得，解得，此时均满足此时直线l的方程为或.【变式1】（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程(2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【详解】（1）由实轴长为2可得，即；再由离心率为可得，即，所以，可得双曲线的标准方程为；（2）如下图所示：联立，整理可得，显然，且，解得且；设，可得，所以，即，解得，不满足且，不合题意；因此不存在满足.【变式2】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.(1)求椭圆的方程；(2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积.【详解】（1）由题可知原点到直线距离.因为椭圆的离心率为，所以，所以.所以椭圆C的方程为：.（2）过定点斜率为的直线方程为：.设.由，得.所以.因为，所以，所以，整理得：，所以.所以.所以，所以的面积.【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点．(1)求的标准方程；(2)若的斜率为，且，求的值；【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为，即，又椭圆的离心率，则，所以，故椭圆方程为；（2）由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为，设，，联立直线与椭圆，得，则，即，且，，则，则，解得；题型十三斜率乘积/和为定值结合定点（解答压轴综合问，中频）答｜题｜模｜板1.明确斜率条件：设题目给出的斜率定值（如，为常数，椭圆中常为），转化为代数等式：→.2.设直线方程：设直线的方程为（或斜截式，避免讨论斜率不存在），联立与曲线方程得一元二次方程（或），验证，得韦达定理结果.3.代入斜率等式化简：将、（或、）代入，展开后代入韦达定理，整理得参数关系（如，为常数）.4.分析定点/定值：若证直线过定点：将参数关系代入直线方程，整理为“参数×表达式1+表达式2=0”（如），令表达式1和2为0，解得定点（如）.若证其他定值：结合步骤3的参数关系，代入目标表达式（如、，为定点），化简得常数.5.验证特殊情况：当直线斜率为0（或垂直x轴）时，代入验证是否符合结论，确保通用性.6.下结论：明确直线过定点或表达式为定值，完整书写解题结果.【典例1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点．(1)求椭圆C的离心率；(2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，半焦距，所以离心率.（2）如图：

设，，由直线l与椭圆C交于异于P的两点、，得，由，得，则，，即，整理得，而，于是，此时直线，过定点，所以直线过定点.【典例2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上．(1)求C的方程．(2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，．（ⅰ）证明：为定值．（ii）证明：直线恒过定点．【详解】（1）因为，所以，则双曲线，又点在C上，所以，解得，所以C的方程为．（2）（ⅰ）易知，，设，，则，，即，而，所以，又，所以，故，为定值．（ii）设直线的方程为，，，，由，得，所以．由（ⅰ）可知，，即，即，化简得，解得，所以直线的方程为，因此直线经过定点．【变式1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点.(1)求C的方程；(2)设直线AM，BN的斜率分别为，，若，求证：直线MN恒过定点.【详解】（1）由题意得，解得，所以C的方程为.（2）（方法一）由题意得，MN的斜率不为0，

设MN的方程为，，.由，消去，可得，由可得，由可得.由韦达定理，，.因为，，，所以.又，即，则有，因为，，，故有，整理得，所以，化简得，解得或2.当时，MN的方程为，此时MN过点，不合题意，当时，MN的方程为，此时MN过点，符合题意，所以MN恒过定点.（方法二）①若MN的斜率不存在，设MN为（），，.因为，，，所以，由对称性知，，则，解得，所以MN的方程为，此时MN过点.②若MN的斜率存在，设MN的方程为，，.由，得，所以，且，.因为，，，所以.又，即，所以，即，整理得，所以，化简得，解得或.当时，MN为，此时MN过点，不合题意，当时，MN为，此时MN过点，符合题意.综上，MN恒过定点（方法三）因为，，AM，BN的斜率分别为，，所以AM，BN的方程分别为，.由，得，所以，又，所以，所以，即.由，得，所以，又，所以，又，即，所以，所以，即.①若MN的斜率不存在，则，即，解得，则，所以MN为，此时MN过点.②若MN的斜率存在，则，所以MN的方程为，即，化简得，即，此时MN过点.综上，MN恒过定点.【变式2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的轨迹方程；(2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标．【详解】（1）设，则中点，以为直径的圆半径为：，因为以为直径的圆与轴相切，所以，化简可得：，即曲线的轨迹方程是；（2）设点,,直线的方程为：,联立,得,所以,所以因为,即,即所以,所以或当时,直线的方程：过定点,舍去；当时,直线的方程：过定点,所以直线过定点．【变式3】（25-26高三上·湖北·期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点.(1)设直线、的斜率分别为、，求的值；(2)求证：直线过定点；(3)设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率.【详解】（1）因为，则，故点的轨迹方程为，设点，则，易知点、，因为，，所以，所以.（2）设点、，设直线的方程为，设直线的方程为，则，则直线的方程为，则，易知，则，由得，可得，即①，联立得，由韦达定理可得，，代入①式得，即，解得（舍去）或，即直线的方程为，故直线过定点.（3）易知直线、的斜率都存在，设线段的中点为，设直线的方程为，设直线的方程为，联立得，由韦达定理可得，，则，同理可得，因为为线段的中垂线，且，记，在中，，所以，所以四点、、、共圆，且，则，化简得，又因为，故.期末基础通关练（测试时间：45分钟）一、解答题1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为实轴长和离心率均为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解；（2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解.【详解】（1）由离心率，又，则，又实轴长，所以，所以，故双曲线的标准方程为；（2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，∴的方程为，设，由，消去，得，∴，∴．2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.(1)求椭圆的离心率；(2)直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解；（2）设，，（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，由判别式大于0即可求解；（ⅱ）由，借助于韦达定理代入计算即得.【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为.依题意可得，又，所以，则.故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率（2）（ⅰ）设，.联立，整理得.由，解得或.即的取值范围为.（ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）则.因为，所以，则得，将（*）代入，可得.解得，满足.所以的值为.3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用抛物线的定义计算即可；（2）利用点差法结合点斜式计算即可.【详解】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2，则有，根据距离公式得，化简得，即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设，则两式相减得，整理可得.因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.4．（25-26高二上·安徽·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点.(1)求的方程；(2)设直线与的斜率分别为，，.①证明：直线的斜率为定值；②若的面积为6，求所在直线方程.【答案】(1)(2)（i）证明见解析（ii），或，或【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）①根据直线斜率公式进行运算证明即可；②根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，所以抛物线的方程为；（2）①设，，，，所以，同理可得因为，所以，因为，所以直线的斜率为定值；②因为直线的斜率为定值，故设所在直线方程为，联立方程消掉得，设，，所以，，，点的直线的距离，所以，得，故，，所以直线的方程为，或，或.

5．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程；（2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解.【详解】（1）依题意，所以，则，所以椭圆的方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，整理得到，由，解得，设，，则，，所以的面积，平方化简得，解得，所以，所以l的方程为或，即直线l的方程为或．6．（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为.(1)求C的方程；(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解.【详解】（1）由题意，得，解得，则椭圆C的方程为.（2）设，联立，得，则，解得，且，所以，点到直线的距离为，

则，解得或，满足，则或.7．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程；（2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直.【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同，所以可设：，又双曲线过，所以，则，即，所以双曲线的方程为.（2）证明：设，又，所以左焦点，则，，，，则，所以.8．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.(1)求的标准方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程；(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.【答案】(1)(2).(3)证明见解析【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程；（2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；（3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点；【详解】（1）因为，，所以，故的标准方程为·（2）设，，根据题意易得.因为是上的两点，所以两式相减得，即因为，所以所以直线的方程为经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.（3）证明：依题意可设直线的方程为.由，得则，，，由（2）知，因为，所以即即即，得，解得或.当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去；当时，直线，满足，则直线过定点故直线过定点期末重难突破练（测试时间：120分钟）一、解答题1．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得.(1)求抛物线C的方程；(2)已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设点，根据，联立方程组，求得的值，代入抛物线的方程，求得，即可求解；（2）设直线，联立方程组，得到，利用的面积为，列出方程求得，进而确定圆的圆心和半径，即可求解.【详解】（1）解：设点，且，由，可得，解得，代入抛物线，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：由抛物线，可得其焦点，设直线，联立方程组，整理得，可得，则的面积为，即，解得，设的中点为，可得，则，所以中点坐标，半径，所以所求圆方程为.

2．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）依题意可得、的值，从而求出，即可得到椭圆方程与离心率；（2）根据截距式设得直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据相切判别式得，，再联立直线与的方程得坐标，即可根据面积比例关系求解.【详解】（1）依题意可得，所以，则，所以椭圆的方程为，离心率；（2）如图所示：由题可知，直线的斜率存在且为负数，设直线：.则有，，所以直线的方程为，将与椭圆方程联立，消去并整理得，，由题意直线与椭圆相切于点，则，即，所以，，即点的坐标为，所以直线的方程为，将其与直线的方程联立，解得，，即点的坐标为，由题意得，整理得.又，且，解得，，即满足题意的直线的方程为.3．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标【答案】(1)椭圆的方程为；(2)直线恒过定点，该定点为点.【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出即可得解；（2）先由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求出韦达定理，接着利用点D写出直线AD的方程为，令，求出x为定值即可得解.【详解】（1）由题得，所以椭圆的方程为；（2）证明：由题可得直线的斜率存在，设，联立，则，设，则，，则直线AD斜率为，所以直线AD的方程为，令，则，所以直线恒过定点，该定点为点.4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆上的动点，求的取值范围;(3)若点在椭圆上，点在直线上，且(O为坐标原点)，判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.【答案】(1)(2)(3)直线与圆相切，证明见解析【分析】（1）根据已知条件求出，再根据的关系及椭圆的标准方程求解即可；（2）将取值范围问题转化为直线与椭圆有公共点问题，联立方程，结合判别式求的取值范围即可；（3）设点到直线的距离为，则，根据点在椭圆上化简前者可得，故直线与圆相切.【详解】（1）由题可得，，所以椭圆的方程为.（2）令，则直线与椭圆有公共点，由，得，则，解得，所以的取值范围为.（3）设，若，则，此时即为轴，此时不在直线上，舍；若，则，此时，故，，设到的距离为，则，故，此时直线与圆相切.若，则直线，故，故直线，故，故，，故，而，故，故故即，故直线与圆相切.

5．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且．(1)求E的方程；(2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式；（2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标.【详解】（1）设E的半焦距为c（）．由题意知P在E的右支上，，∴，∵，∴，∴，∴E的方程为．（2）依题意，设直线l的方程为，，．联立直线与双曲线的方程，得消去x并整理，得，∴，且，解得，且．∴，．由题意知