函数单调性的判定及应用

Ⅰ学院本科毕业论文1题目函数单调性的判定及应用摘要函数单调性是函数的重要性质之一，是解决许多数学问题的重要工具.本论文采用文献研究法、内容分析法以及调查法，从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍了函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结了单调性在数学领域的相关应用，并将单调性应用在解决实际问题中，归纳出函数单调性所适用的条件及应用的范围.因此，不论是从理论来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要的理论意义和现实意义.关键词：函数；单调性；判定方法；应用ⅡAbstractFunctionmonotonicityisoneoftheimportantpropertiesoffunction,istheimportanttooltosolvetheproblemofmanymathematical.Thisthesisstartswiththeconceptanddefinitionoffunctionmonotonicity,mainlyintroducedthecertainpropertiesoffunctionalmonotonicityanddiscriminantmethod,thendiscussesandsummarizesthemonotonicityrelatedapplicationsinthefieldofmathematics,whichinturnandappliesmonotonicityinsolvingpracticalproblems,soastoinducefunctionmonotonicitytheapplicablecondition,thescopeofapplication,etc.Asaresult,bothfromtheory,andthepracticalapplication,thefunctionofthemonotonicityhasimportanttheoreticalsignificanceandrealisticsignificance.Keywords:Function;Monotonicity;DeterminationMethod;ApplicationⅢ目录第1章绪论 第1章绪论1.1研究背景单调性是函数的重要性质之一，是联系初等数学与高等数学的重要纽带.研究函数在无限变化中的变化趋势，从有限认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，都要用到函数的单调性.它的引入为解决相关数学问题提供了新的视野，为研究函数的性质、证明不等式、求解方程、比较大小等方面提供了有力的工具.所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有极其重要的意义.本文将对函数单调性的判定及应用进行研究1.2研究现状目前关于函数单调性的系统研究文献较少，所查到的部分文献也仅仅只是将函数单调性的一些简单的应用罗列出来，但是对于怎样思考到运用函数单调性去解决问题这一过程并没有做出详细的阐述.比如：许多文献仅仅只是给出了具体的解题方案，但没有对选择解题方案的原因做出详细的说明.李秀萍在《高中函数单调性教学研究》中对高校高一学生函数单调性定义认知情况进行了调查，结果显示：大多数学生对函数单调性定义涉及“记忆”方面的得分较高，涉及“理解”、“应用”、“分析”、“综合”等方面的试题得分较低.同时对教高三的几位数学教师进行访谈后所显示的结果表明：学生利用函数的单调性知识解决不等式、方程、含参数取值范围、零点、极值、最值等综合问题的情况较困难.对此只给出了个别教学案例，未做出其他的说明【1】.刘海武在《高中数学函数单调性在解题中的巧妙应用》中对函数的单调性的解题方法进行了系统性地研究，但依然没有具体去说明是怎样思考到某种方法的，以及这种方法比较于其他方法的优势在哪里【2】.许雷波则在《函数单调性与数列单调性整合中的几个问题》中只是就函数的单调性及数列的单调性进行了研究，略显单一化【3】.房军在《高中数学函数单调性解题方法的探讨》中认为我们可从不同方面对单调性进行求解，例如运用函数的对称性或图像以及函数的其他性质对函数的单调性这一问题进行求解.可是，既然有这么多不同的方法，为什么许多学生依然在做题时没有思路呢【4】.在国内许多文献都提到了利用函数的单调性去解决常见的题型，比如施永新的《巧用函数单调性解题例说》中谈到巧用函数单调性妙解各类数学题【5】、冯国宏的《函数单调性在解题中的应用策略》也提及了函数单调性如何在解题中发挥作用【6】，尽管如此，仍然未能很具体的去说明针对不同类型的题应采取哪种解题方法.综上所述，本文以函数的单调性的判定及其应用作为研究的课题，在前人的研究基础上对函数的单调性做出较全面的总结和归纳，并且如何应用函数单调性准确又快速的解决遇到的问题.1.3研究内容本文采用文献研究法、内容分析法、调查法.主要介绍函数的单调性及其应用，为此，将做出如下安排：第1章介绍了绪论；第2章给出了函数单调性的基本概念及判定方法；第3章较为系统地讨论了函数单调性在不同方面的应用；第4章总结了本文的主要观点，并对未来的展望.通过对函数单调性的概念，以及与之相关的一些概念、性质、定理和有用结论进行详细阐述.同时阐述了一些常见函数的单调性的判定方法，并将这些方法应用到具体的题目和实际生活中去，拟解决以下几个问题：①判断函数单调性的方法有哪些，哪些函数可以直接判断其单调性.②对于一些看似与函数单调性“无关”的题目，如何去构造单调函数.③函数单调性在理论和实际中的应用具体有哪些.第2章函数单调性的基本理论及判定方法本章主要介绍函数单调性的基本理论及判定方法，基本理论包括函数的概念、单调性的定义、单调性的几何意义及其相关性质，除此之外，本章还对单调性的判定方法做了详述，主要包括定义法、直接判断法、等价定义法、复合函数法以及导数法.2.1函数单调性的基本理论本节主要讲述函数的单调性及其性质，函数的单调性是函数的基本性质之一，因此学好单调性是学好函数的关键，所以我们就要从函数的定义，函数单调性的概念和性质入手，以及通过对应的数学符号对概念及内容加以诠释.2.1.1函数的概念本小节主要介绍函数的概念和函数的三要素.针对不同资料版本对函数的定义有所差异，本文对函数给出如下定义：设是非空数集，如果按照某种对应关系,使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数与之对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值对应的值叫做函数值，函数值得集合叫做函数的值域【7】.函数的三要素是：自变量（定义域）、因变量（值域）、对应关系.如何确定函数的定义域是解决所有函数问题的首要问题.函数的概念是函数所有性质的基础，只有掌握函数的概念才能更加深入的理解函数和学习函数的其他性质.2.1.2函数单调性的定义本小节主要介绍函数单调性的定义以及函数的单调区间和有关函数单调性应注意的问题.结合不同的材料，函数的单调性也叫做函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系.当函数的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增减或单调减少）.在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的.一般地，设这一连续函数的定义域为,则如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值且，都有，即在上具有单调性且单调增加，那么就说在这个区间上是增函数.相反地，如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量且，都有，即在上具有单调性且单调减少，那么就说在这个区间上是减函数.则增函数和减函数统称为单调函数【8】.函数的单调区间：单调区间：是指函数在某一区间内的函数值，随自变量的值增大而增大（或减小）恒成立.或函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.有关函数的单调性值得注意的问题：函数的单调性是函数在某个区间上的性质，并且只能在函数的定义域内进行讨论，用单调性来审视一个函数，一般有三种情形：1.函数在整个定义域内具有单调性.例如：在整个定义域上是增函数.2.函数在定义域内某些区间上是增函数，而在另一些区间上减函数，及单调区间是定义域的子区间.例如：在定义域上不具有单调性，但在区间上是增函数，在区间上是减函数【9】.3.函数不具有单调性，或者函数的定义域根本就不是区间.2.1.3函数单调性的几何意义本小节主要介绍函数单调性的几何意义并给出了相关的图像.函数的单调性是从高中的高一阶段进行引入的，教材中借助二次函数来说明：的图像在轴的左侧是下降的，在轴的右侧是上升的.这是为了让我们从感性上更加深入地对增减函数进行理解：对于给定区间上的函数，如果函数的图像自左向右是逐渐下降的，则称它在这个区间上是减函数；如果函数的图像自左向右是逐渐上升的，则称它在这个区间上是增函数.其实，我们只需要把握当函数的自变量发生变化时，因变量函数值也在变，辨别是同向变化还是反向变化就可以轻松理解函数的单调性.关于函数单调性的几何意义如下图2-1表示：图2-1函数单调性的几何意义2.1.4函数单调性的相关性质本小节主要介绍了关于函数单调性的相关性质.1.和在区间上的单调性相反，即若是区间上的减函数(增函数）则是区间上的增函数（减函数）.2.和在区间上的单调性相同.3.当时，和单调性相同；当时，和单调性相反.4.当在同一区间上都是增（减）函数时，也是增（减）函数，但无法判断.5.当都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则也都是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数.6.若是复合函数的单调性，可通过同增异减的法则进行运用.以上是基于函数单调性的基本理论对单调性相关性质和结论进行了总结和归纳，便于后面直接进行运用.2.2函数单调性的判定方法通过前面的描述我们已经了解到可以通过定义法来判断函数的单调性，其实除此之外函数的单调性还有许多可以进行判定的方法，本节将为定义法、直接判断法、等价定义法复合函数法以及导数法做出具体总结.2.2.1定义法在上节中，已经具体地给出了函数单调性的定义，在本小节中将只阐述用定义证明的几个步骤.利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取,且；（2）作差，；（3）变形，（通常是进行配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等）；（4）断号，（即判断差与0的大小；（5）定论，（即指出函数在给定的区间上的单调性）；用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数当时，容易得出与大小关系的函数.在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽然这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐.2.2.2函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法.通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用.对于一些常见的简单函数的单调性如下表：表3-1常见简单函数的单调性函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.二次函数当时，时，单调递减，时，单调递增；当时，时，单调递增，时单调递减反比例函数且当时，在时单调递减，在时单调递减；当时，在时单调递增，在时单调递增指数函数当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.对数函数当时，在上是增函数；当时，在上是减函数. 幂函数当时，单调递增；当时，单调递减.续表3-1正弦函数当，单调递增；当，单调递减.余弦函数当时，单调递增；当时，单调递减.函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法.2.2.3图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法.根据单调函数的图像特征，若函数的图像在区间上从左往右逐渐上升则函数在区间上是增函数；若函数图像在区间上从左往右逐渐下降则函数在区间上是减函数.用函数图象法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦.对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像.而对于不易作图的函数就不太适用了.但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像.那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的.2.2.4复合函数法定理1若函数在内单调，在内单调，且集合.（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数.（2）若是减函数是增（减）函数，则是减（增）函数.归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）.复合函数单调性的四种情形可列表如下：表3-2复合函数单调性的情形情形函数单调性第1种情形第2种情形第3种情形第4种情形内层函数外层函数复合函数显然对于大于2次的复合函数此法也成立.推论若函数是个单调函数复合而成其中有个减函数.①当时，则是减函数；②当时，则是增函数.判断复合函数的单调性的一般步骤：（1）合理地分解成两个基本初等函数，；（2）分别解出两个基本初等函数的定义域；（3）分别确定单调区间；（4）若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同时单调递减，则为增函数，若为一增一减，则为减函数（同增异减）；（5）求出相应区间的交集，即是复合函数的单调区间.以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”,“三定”，“四交”.利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题.2.2.5导数法（1）在区间内，若，则为增函数；若，则为减函数；若，则为常函数；（2）在区间内，若为增函数，则；若为减函数，则；若为常函数，则；（3）特别要注意什么时候可以等于0，什么时候不能等于0.利用导数判断证明函数单调性时需注意的问题：1.“定义域优先”原则，所以先算出函数的定义域，如果一眼能看出定义域则可以不计算.2.计算出，当时，为单调递增函数；当时，为单调递减函数；特别提醒，不管哪种情况都不能等于0.利用导数求函数的单调区间的具体步骤：①优先计算的定义域；②利用导数的计算方法，计算导数；③解和；④定义域内满足的区间为增区间，定义域内满足的区间为减区间.特别注意：定义域内区间大小的影响.本章从单调性的定义入手，总结了有关函数单调性的基本理论，以及对5种单调性的判断方法进行了讲述和分析，当我们在后面遇到有关单调性的题时，可直接进行运用，且能较容易的将具体函数的单调性判断出来.第3章函数单调性的应用在函数众多性质中，函数单调性的应用尤其广泛，其应用体现了构造思想、分类思想、转化思想等.对于一些复杂的问题，如果换种角度，从函数单调性出发，有时能使其形式明了，结构简单.本章主要介绍单调性在极值、最值、不等式、解方程、化简求值、比大小以及在实际问题中的应用.3.1单调性在极值、最值中的应用在考题中，对函数单调性的考查方式多种多样，尤其以其他内容为载体来考察单调性，本节主要介绍函数单调性在极值、最值方面中的应用.1.函数的极值极值定义一般地，若函数在点的某领域内对于一切有，则称函数在点取得极大值，是极大值点.函数在点的某领域内对一切有，则称函数在点取得极小值，是极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.例3.1.1设函数,已知是奇函数.（1）求的值.（2）求的单调区间与极值.解（1），从而.即是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（2）由（1）知从而，令，解的，由，解得或，，解的.由此可知，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，取得极大值为，在时，取得极大值为，在时，取得极小值为.评析根据题意先求出的导数，从而求出，通过奇函数的性质，最终求出的值，令求出该函数的极点值，从而能够得出函数的单调区间，根据单调区间最终求出函数的极值.2.函数的最值函数极大值和极小值概念是局部性的.如果是函数得极值点，那只就附近的一个局部范围来说，是的一个最大值；如果就的整个定义来说，不一定是最大值.关于极小值也类似.所以在求函数最值时，一般在求出各个驻点的值后还要求出边界上的值.设在上连续，那么在上一定取的最大值和最小值及相应的最大值与最小值.例3.1.2已知为实数，.若，求在上的最大值和最小值.解有原式得（3.1），所以，由得，此时有.由得或.当在变化时，的变化如下表+-0+递增极大值递减极小值递增在上的最大值为，最小值为.评析首先求出的解，即求的驻点；算出在这些点的函数值；求出.最后比较所有这些函数值，最大者为最大值，最小者为最小值..3.2单调性在不等式中的应用本节主要介绍函数单调性在证明不等式中的应用，并通过例题加以分析.设函数在定义区间上连续，在内可导，如果在定义区间内，那么函数在上单调增加，入锅在定义区间内，那么函数在上单调减少.这是函数的单调性，也是应用在函数不等式解题中最基本的性质.结论，设在区间内可导且满足以下条件：（1）时，则有；（2）时，则有.例3.2.1求证证明令，函数的定义域是.（3.2），令，解的.当时，，当时，又，当且仅当时，取得最大值，最大值是.所以，即.评析不等式问题是中学数学的很有用的内容，对于学生也是比较难解决的问题.像解决本道题这样的问题时，函数单调性是一个特别有用的工具.通过构造一些函数，并利用构造成的函数的单调性去求解未知函数，是证明不等式的常见方法.例3.2.2已知，且，求证（3.3）.证明令，则所以在上是递增函数.又，所以.评析此题如果直接从问题的正面出发不易证明，可如果能巧妙地构造一个新的函数，而且这个新函数的单调性较易证明，那这个问题的解答就简单多了.3.3单调性在解方程中的应用本节主要介绍函数单调性在方程求解中的应用.通过构造函数利用单调性的性质便可轻松解出问题.利用函数单调性解方程，关键是合理变形，其中蕴含着很多数学思想，有换元思想、构造函数思想，通过方程两边式子的结构特征观察以构造.例3.3.1求解方程解令，因为是在上的单调递增连续函数，且有，即在上只有一个根.又把代入时，即原方程只有一个根.评析合理利用函数的单调性结合图像能够直观地研究图像的交点，假若能将问题转化为两函数的交点问题，这类问题便可以轻松获解.一个关于的对数方程，不同的是两边的底数，真数是由一些根式组成的，直接来换底去求解方程是比较困难的，可以试通过换元解决这类问题，在换元的过程中，体现着换元思想和构造函数的思想，这是值得注意的.例3.3.2解方程（3.4）.解首先对此方程通过换元，设则，原式变为，即，即，构造函数：.易知在上是单调减函数.当时，当时，，所以，此时，经检验，原方程解为.评析此题通过换元，变式，构造函数，求得函数的单调性，通过单调性最终确定该方程的结果.所以遇到此类题时，合理构造函数是极其重要的【10】.3.4单调性在化简求值方面的应用本节主要介绍函数单调性在化简求值中的应用，例如求代数值的应用.对于求代数式的值，可视为相应函数的一个特殊值，再利用该函数的单调性，把函数值的相等转化为自变量的相等，有时能巧妙获解.例3.4.1设实数满足条件求的值.解设，有，因为即，即，同理可知，又，令即为单调函数且为奇函数，所以，即有.评析用一般的方法，解两个方程求解,但这样做不仅浪费时间，又麻烦.不妨我们先考虑函数的单调性.观察这两个式子，形式类同，对他们进行合理适当地变化从而设函数，判断出函数的单调性最终求得结果.3.5单调性在比大小方面的应用函数单调性用于比较大小一般性原则：在同一个函数中有，当函数在区间内是增函数时有；当函数在区间内是减函数时有.例3.5.1设且，比较.解因为，所以，即有因为，设，在上单调递增，则，所以，即.评析函数单调性运用于比较大小的一般做法，首先运用导数等方法判断函数在区间的单调性，然后利用以上性质在严格单调区间内比较大小【11】.函数的“构造法”更多地融入了创造性思维，对已知信息提炼、加工、抽象，然后进行创造性的组合，体现了思维的广阔性和灵活性，下面通过一道经典型题目进行解析说明.例3.5.2已知（3.5），比较与的大小.解要比较与的大小，即比较与的大小，令，，对有恒成立，在上递增，又，则，即，故有.评析结合题目要求，与中有变量，变形即得与的大小，细心观察易得其共同的结构特点，构造出函数，利用其单调性加以大小比较.通过以上几个方面的应用我们发现，在具体解题过程中，若能根据题目的特点构造适当的函数，通过研究函数的单调性揭示函数值的变化特征，则可使问题在函数观点下巧妙获解【12】.3.6函数单调性在实际问题中的应用本节主要介绍函数单调性在实际中的应用，主要反映在最值（极值）上，如材料优化、路径选择等.具体如何解决一些生活中的实际问题，一般步骤是：（1）把生活实际问题抽象成对应的数学问题，列出函数关系式；（2）求的导数，并解方程；（3）把的两个端点和上一步中所求的所有极点值，放在一起比较它们函数值的大小，从而得出函数的最值；（4）根据实际问题的意义给出答案.1.单调性在材料合理利用中的应用在生活中例如我们经常喝饮料的易拉罐，生产商是怎样运用最少的材料来制造出合理的易拉罐保证利润的最大化，这就要运用到函数单调性求得最小值进行解决.例3.6.1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取使所用材料最省？解设金属饮料罐高h,底面半径为R，材料最省即是表面积最小，且表面积是关于和的二元函数，则（3.6）,有常数（定值）得则(为常数).令,则得,当.所以当时，最小，此时.所以当高是底面半径的倍时，金属饮料罐所用材料最省.评析此题将实际问题转化为数学问题，把金属饮料罐的表面积构造成函数，通过函数单调性的性质，求得最小值，最终计算出在高为时表面积最小.2.单调性在优化路径中的应用随着社会的发展，为了给人们的生活带来便利，交通运输方式也变得多种多样，既经济又高效的交通工具才是人们所追求的，将实际问题转化为函数模型，利用函数单调性在最值方面的应用，便能得到最优化的路径.例3.6.2工厂到铁路线的垂直距离为,垂足为，铁路线上距离为处有一原料供应站，现要在铁路之间某处修建一个原料中转站，再由车站向工厂修一条公路，如果已知每千米铁路运费与公路运费之比为，那么应该建在何处，才能是原料供应站运货到所需运费最省？图4-1路线平面图解设之间的距离为，则有（3.7），如果公路费用为元/,那么铁路运费为,故原材料供应站途径中转站到工厂所需总费用为求导得，令，即得，解得（舍），且是函数定义域内唯一驻点，所以是函数的最小值.由此可知，车站建于之间并且与相距处时，运费最省.评析此题将实际问题转化为数学模型，把路径和路费结合起来列出函数表达式，通过求导，算出该函数的最值，最终解决了建在何处的问题.通过以上各例，解决一些生活实际问题时有一些策略：要想用单调性解决实际问题，首先得对已知条件进行整体分析、整理与抽象，并与已学习的函数模型相比较，确定合适的函数模型的种类，从而把实际问题转化为函数模型.本章总结了函数单调性在各个方面的应用，无论是解题中或实际生活中都会频繁的涉及到关于函数单调性的知识，所以通过转化思想学会合理的构造函数，利用函数的单调性去解决各类问题，许多问题就会迎刃而解.20第4章总结4.1结论本论文先通过介绍函数单调性的定义、意义，同时也对单调性的相关性质做出了归纳，其次给出了判定函数单调性的方法，对于不同方法的适用情况以及解题模式做出了具体的阐述.给学生在如何选择最合适的方法进行判断和解题提供了思路.最后对函数单调性在数学问题中的应用进行了分类总结，利用函数的单调性进行解题时，是有规律和套路可寻的，学生只需多做题多总结，运到问题时不要只从题目给的已知条件去考虑，有时还需要根据求证的问题去构造函数，从而复杂的题目也能迎刃而解.学会把做题模式转化为自己的经验.除此之外，本文也深入地列举了函数单调性在解决实际问题中的应用.例如：材料优化、路径选择等.因此，学好函数的单调性并学会合理运用是非常重要的.由于自己的专业能力欠缺以及时间方面限制，本论文仍存在很多的不足，首先对函数单调性教学现状的研究是通过前人的研究成果进行总结的，并没有进行实地考察，样本容量不够大，还不能完全反映函数单调性的教学情况，其次在应用方面探究的依然不够广泛，单调