2025年浙江杭州第二中学自主招生数学试卷真题（含答案详解）

第=page11页，共=sectionpages88页2025年浙江省杭州二中自主招生签约选拔数学试卷一、填空题：本题共7小题，每小题8分，共56分。1.数学中最为人熟知的常数是π，观察数列：6，2，8，2，10，18，4，…，则下一个数是

.2.学生王芳、李聪、张涛三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果如图(方框上方数字表示得票数)，则李聪在剩下的500张选票中只要再得

票，就可确保以得票最多当选该校的学生会主席.3.如图，长方形ABCD的面积为48.E，F分别在BC，CD上，并且BE=FD=2，那么△AEF的面积是

.

4.如果x−y=2+1，y−z=2−15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是

.6.已知关于x的方程xx−2−m2−x=−1的解大于1，则实数7.四面体棱长为4，7，20，22，28，t，其中t为整数，则t的最小值为

.二、计算题：本大题共1小题，共16分。8.已知：点A在射线CE上，∠C=∠D.

(1)如图1，若AC//BD，求证：AD//BC；

(2)如图2，若∠BAC=∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；

(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DF//BC交射线于点F，当∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．

三、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。9.(本小题20分)

求出所有实数x，使得x2+4x−17x2−6x−510.(本小题20分)

某次考试共有333名学生参加，共做对了1000道题.做对3道及以下为不及格，做对6道及以上为优秀，问不及格的人数和优秀的人数的大小关系？并给出理由.

答案和解析1.【答案】12

【解析】解：根据题意可知，6，2，8，2，10，18，4，…，与常数π=3.1415926……具有同样的规律，

∴下一个数=8+4=12，

故答案为：12.

根据π=3.1415926……的顺序推断即可．

本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是观察数列，发现规律．2.【答案】241

【解析】解：由王芳350张，李聪370张，得出王芳与李聪相差20，剩下500张只分给王芳、李聪两人选票，

首先使两人票数相同，从500张中先拿出20张给王芳，

若剩下的500−20=480张中，王芳、李聪各占一半，

则李聪至少需要240+1=241才能当主席．

故答案为：241.

此题运用极端考虑的方法，因为王芳、李聪两人选票最多，所以把500张票只分给王芳、李聪两人选票，进一步分析解答即可．

此题主要考查了条形统计图的知识，利用简单的极端原理，从一个出发点考虑解决问题．3.【答案】22

【解析】解：设长为x，宽为y，由题意可知△AEF的面积=S□ABCD−S△ABE−S△ECF−S△ADF，

=48−x−y−(x−2)(y−2)÷2，

=48−xy÷2−2，

∵长方形ABCD的面积为48，即xy=48，

∴△AEF的面积为48−24−2=22.

故答案为：22.

4.【答案】7

【解析】解：∵x−y=2+1①，y−z=2−1②，

∴x−z=22③，

则① 2+② 2+③ 2=(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2=(5.【答案】724【解析】解：设这4名同学的书包分别记为A，B，C，D，

由题意得，4名同学拿书包的所有可能有：(A,B,C,D)，(A,B,D,C)，(A,C,B,D)，(A,C,D,B)，(A,D,B,C)，(A,D,C,B)，(B,A,C,D)，(B,A,D,C)，(B,C,A,D)，(B,C,D,A)，(B,D,A,C)，(B,D,C,A)，(C,A,B,D)，(C,A,D,B)，(C,B,A,D)，(C,B,D,A)，(C,D,A,B)，(C,D,B,A)，(D,A,B,C)，(D,A,C,B)，(D,B,A,C)，(D,B,C,A)，(D,C,A,B)，(D,C,B,A)，共24种，

其中至少有两名同学拿对了书包的结果有：(A,B,C,D)，(A,B,D,C)，(A,C,B,D)，(A,D,C,B)，(B,A,C,D)，(C,B,A,D)，(D,B,C,A)，共7种，

∴至少有两名同学拿对了书包的概率为724.

故答案为：724.6.【答案】m<0，且m≠−2

【解析】解：方程两边乘x−2得：x+m=2−x，

移项得：2x=2−m，

系数化为1得：x=2−m2，

∵方程的解大于1，

∴2−m2>1，且2−m2≠2，解得m<0，且m≠−2.

故答案为：m<0，且m≠−2.

先解方程x7.【答案】9

【解析】解：由28−4=24>22>20>7，得长为4和28的棱不能为四面体的同一个表面三角形的边，

则长为4和28的棱必为四面体的相对棱，

又4+7=11<20<22，

则四面体与长为7的棱相对的棱长为20或22，

因此8<t<11，而t∈Z，

所以t的最小值是9.

故答案为：9.

利用三角形任意两边的和大于第三边可得长为4和28的棱必为相对棱，4，7，t为四面体的一个表面三角形三边，求出t的范围得解．

本题考查四面体的结构特征，属于中档题．8.【答案】解：(1)如图1，∵AD//BC，

∴∠DAE=∠C，

又∵∠C=∠D，

∴∠DAE=∠D，

∴AD//BC；

(2)∠EAD+2∠C=90∘.

证明：如图2，设CE与BD交点为G，

∵∠CGB是△ADG是外角，

∴∠CGB=∠D+∠DAE，

∵BD⊥BC，

∴∠CBD=90∘，

∴△BCG中，∠CGB+∠C=90∘，

∴∠D+∠DAE+∠C=90∘，

又∵∠D=∠C，

∴2∠C+∠DAE=90∘；

(3)如图3，设∠DAE=α，则∠DFE=8α，

∵∠DFE+∠AFD=180∘，

∴∠AFD=180∘−8α，

∵DF//BC，

∴∠C=∠AFD=180∘−8α，

又∵2∠C+∠DAE=90∘，

∴2(180∘【解析】(1)根据AC//BD，可得∠DAE=∠C，再根据∠C=∠D，即可得到∠DAE=∠D，则结论得证；

(2)根据∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB=∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C=90∘，即可得到∠D+∠DAE+∠C=90∘，进而得出2∠C+∠DAE=90∘；

(3)设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∠AFD=180∘−8α，根据DF//BC，即可得到∠C=∠AFD=180∘9.【答案】x=1.

【解析】解：1−x1+x=2−1−x1+x=−(1+x)+21+x=−1+21+x，

∵1−x1+x为整数，

∴21+x为整数，

∴1+x=±1或±2，

解得：x=0或−2或1或−3，

将x=0代入，

x2+4x−17x2−6x−5=15(不合题意，舍去)；

将x=−2代入，

x2+4x−17x2−6x−5

=(−2)2+4×(−2)−17×(−2)2−6×(−2)−5

=4−8−17×4+6×2−5

=4−8−128+12−5

10.【答案】不及格的人数不少于优秀的人数，

设优秀的人数为x，则优秀的人做对的题目数为600x，

所以不优秀的人做对的题目数最多为(1000−6x)道，因而及格但不优秀的人最多有(1000−6x4)人，

因此不及格的人数最少有(333−x−1000−6x4

)人，

若

优秀的人比不及格的人多，根据题意可得：x>333−x−1000−6x4，

解得：x>166，

因为6x≤1000，【解析】解：设优秀的人数为x，则优秀