图像基础技术处理 6

第四章空间域图像增强数字图像处理李俊山编著.《数字图像处理（第5版）》

由于图像在成像、传输和转换等过程中受设备条件、传输信道、照明不足等客观因素的限制，所获得的图像往往存在某种程度的质量下降。

图像增强就是通过对图像的某些特征，如边缘、轮廓、对比度等，进行强调或尖锐化，使之更适合于人眼的观察或机器的处理的一种技术。

图像增强技术分为：

空间域增强方法，也即在图像平面中对图像的像素灰度值直接进行运算处理的方法。

频率域增强方法，是指在图像的频率域中对图像进行增强处理的方法(见第5章)。

空间域图像增强方法包括：

逐像素点对图像进行增强的灰度变换方法；

通过全部或局部地改变图像的对比度进行图像增强的直方图增强处理方法；

利用模板或掩模对图像的邻域像素进行处理的空间运算方法。4.1基于点运算的图像增强方法

对比度增强是一种通过增加原图像中某些灰度值间的反差和动态范围来增强图像的方法。

也即根据应用目的的不同，通过设计出不同的变换函数来进行灰度拉伸，增强原图像的对比度。4.1.1对比度增强典型的灰度拉伸变换可表示成如式(4.1)所示的线性变换函数：。

(4.1)4.1.1对比度增强fLL0gabγβαgbga图4.12552550fg45º不变均匀变亮均匀变暗

图4.2灰度拉伸的几种典型情况

(a)原图像(b)均匀变亮(c)均匀变暗4.1.1对比度拉伸β2552550gagab

图4.2灰度拉伸的几种典型情况

(a)原图像(d)[a.b]区间线性变化(e)亮区均匀变化

4.1.1对比度增强f2552550ga2552550fg45º不变均匀变亮均匀变暗β2552550gagab(a)均匀变亮、变暗(b)[a.b]区间线性变化(c)亮区均匀变化

4.1.1对比度增强f2552550ga

原图像均匀变亮均匀变暗区内线性其余0值亮区均匀变化窗切片也称为灰度切片，是一种提高图像中某个灰度级范围的亮度，使其变得比较突出的增强对比度的方法。4.1.2窗切片基本的实现方法包括两种：

◆一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰度值，而给其它部分指定一个较低的灰度值或0值。

◆另一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰度值，而其它部分的灰度值保持不变。f2552550gabf2552550gabf2552550gab图4.3窗切片的两种基本方法图示

原图像区域外低灰度值

区域外为0值区域外灰度值不变

4.1.2窗切片2552550fg45º不变均匀变亮均匀变暗β2552550gagab(a)均匀变亮、变暗(b)[a.b]区间线性变化(c)亮区均匀变化

f2552550gaf2552550gabf2552550gabf2552550gab(a)区域外低灰度值(b)区域外为0值(c)区域外灰度值不变

图4.2图4.3(a)原图像、(b)均匀变亮、(c)均匀变暗、(d)区内线性其余0值(e)亮区均匀变化、(f)区外低值、(g)区外0值、(h)区外值不变

图4.4灰度拉伸与窗切片灰度变换结果示例4.1.2窗切片4.2基于直方图的图像增强方法

4.2直方图增强处理由图3.4（d）可知：当一幅图像的像素占据了所有可能的灰度级范围并呈均匀分布时，则该图像具有比较高的对比度和多变的灰度色调。(d)4.2直方图增强处理

像的直方图增强处理方法，就是一种通过把原始图像的灰度直方图，从相对比较集中的某个灰度区间变成在全部灰度范围内的均匀分布，来进行图像增强的方法。

4.2.1直方图均衡1.

直方图均衡的基本思想

所谓直方图均衡，就是对于一幅已知灰度概率分布的灰度图像，通过扩大该图像中像素个数较多的灰度级别的分布范围，缩减其像素个数较少的灰度级别的分布范围，使该图像的直方图变换成具有均匀灰度概率分布的新图像，以此来达到增加该图像的对比度的图像增强技术和方法。1.

直方图均衡的基本思想（续1）

设r为待增强的原图像的归一化灰度值,

0≤r≤1

;s为增强后的新图像的归一化灰度值,且0≤s≤1;n(r)为原图像中灰度值为r的像素的个数，其概率分布密度为pr(r)。直方图均衡即是找一种变换，使具有任意概率分布密度的直方图的图像，变换成接近于均匀概率分布密度的直方图的图像。4.2.1直方图均衡1.

直方图均衡的基本思想（续2）

1104.2.1直方图均衡10(a)任意概率分布密度的直方图(b)均匀概率分布密度的直方图1.

直方图均衡的基本思想（续3）

基于上述思想的直方图均衡变换函数：

s=T(r)0≤r≤1（4.2）的选取应满足如下条件：

1）T(r)在区间0≤r≤1中为单值单调增加函数；

2）对于0≤r≤1，有0≤T(r)≤1，也即0≤s≤1。

4.2.1直方图均衡1.

直方图均衡的基本思想（续4）

显然，满足上述条件的变换函数存在反变换，并可把从s到r的反变换表示为：

r=T-1(s)0≤s≤1（4.3）且式（4.7）也满足上述两个条件。4.2.1直方图均衡1.

直方图均衡的基本思想（续5）

1011014.2.1直方图均衡图4.6单值单调递增的灰度级变换函数2.

变换函数的选取

在一幅图像中，可以认为灰度值是一个在[0，1]区间取值的随机变量R，其概率分布密度PR(r)是一个在[0，1]区间变化的单调增加的单值函数。由概率理论可知，任何一个其随机变量R的概率分布密度在[0，1]区间变化的单调增加单值函数，都满足变换要求的两个条件，因此取变换函数为：0≤r≤1（4.4）

4.2.1直方图均衡4.2.1直方图均衡2.

变换函数的选取

可以证明，所得新图像的灰度级分布是归一化的均匀概率密度分布。0≤r≤1（4.4）

3.

离散变换函数

由于数字图像的灰度级是离散值，所以可以用灰度级rk的频数近似替代概率值。这样，一幅图像中第k个灰度级rk出现的概率为：

K=0,1,…,L-1(4.8）4.2.1直方图均衡其中：（1）n是一幅数字图像中像素的总数，

是图像中灰度级为

的像素的个数，L为图像的灰度级数。（2）3.

离散变换函数

由此可得对应于式

的离散灰度变换函数为：；K=0,1,…,L-1

上式也即直方图均衡化公式，简化地表示为：；K=0,1,…,L-1

（4.9）

4.

直方图均衡化方法的实现步骤

假设原图像f

的灰度级为L，对原图像f

进行直方图均衡化得到的新图像为g

。图像直方图均衡化方法步骤如下：

（1）统计原图像f

中不同灰度级像素的个数（也即，统计原图像的灰度级分布）。4.2.1直方图均衡4.

直方图均衡化方法的实现步骤

（2）依据式（4.8），计算原图像f

的归一化灰度级分布概率，并画出原图像

的灰度直方图。4.2.1直方图均衡K=0,1,…,L-1(4.8）4.

直方图均衡化方法的实现步骤

（3）根据直方图均衡化公式（4.9），求各灰度级对应的变换函数值。。4.2.1直方图均衡；K=0,1,…,L-1

（4.9）

4.

直方图均衡化方法的实现步骤

（4）将原图像f

的灰度级

，映射到新图像g

的灰度级

。

已知

为由式（4.9）求得的变换函数值，则原图像f

的灰度级

（k=0，1，…，L-1）被映射到新图像g

的灰度级

（k=0，1，…，L-1）的则映射函数为：

；K=0,1,…,L-1

（4.9）

（4.10）4.

直方图均衡化方法的实现步骤

（5）求原图像f

被均衡化后得到的新图像g

中各个像素的灰度值，灰度值计算公式为4.2.1直方图均衡=0，，…，L-1（4.11）

4.

直方图均衡化方法的实现步骤

（6）统计新图像g

中不同灰度级像素的个数

（也即，统计新图像的灰度级分布）。

（7）计算新图像g

的归一化灰度级分布概率

，并画出新图像

的灰度直方图。4.2.1直方图均衡4.

直方图均衡化方法的实现步骤

【例4.1】

已知有一幅如图4.7的图像

，灰度级为8。利用直方图均衡化方法增强该图像。4.2.1直方图均衡

解：（1）统计原灰度图像中不同灰度级像素的个数（原图像的灰度级分布），结果如表4.1所示。

（2）依据式（4.8），计算原图像的归一化灰度级分布概率，并画出原图像的灰度直方图。

（2）依据式（4.8），计算原图像的归一化灰度级分布概率，并画出原图像的灰度直方图。

（3）依据式（4.9），求各灰度级对应的变换函数值。；K=0,1,…,L-1

（4.9）

（3）依据式（4.9），求各灰度级对应的变换函数值。

（4）根据式（4.10），将原图像的灰度级

，映射到新图像的灰度级

。（4.10）

（5）根据式（4.11），求原图像f

被均衡化后得到的新图像g

中各个像素的灰度值，得到的均衡化后的新图像如图4.10所示。=0，，…，L-1（4.11）

（6）统计新灰度图像中不同灰度级像素的个数（新图像的灰度级分布），结果如表4.3所示。

（7）求新图像的归一化灰度级分布概率，并画出新图像的灰度直方图，结果如表4.4所示。

均衡化后得到的新图像的直方图如图4.11所示。

【例4.2】

已知有一幅大小为64×64的图像，灰度级为8。图像中各灰度级的像素个数如表4.5所示。要求：

（1）利用直方图均衡方法对该图像进行直方图均衡化。

（2）分别画出原图像的直方图和均衡化后所得新图像的直方图。4.2.1直方图均衡

解：直方图均衡化的步骤和结果如表4.6所示。

解：直方图均衡化的步骤和结果如表4.6所示。t0=IntegerRound(7*0.19)=1t1=IntegerRound(7*0.44)=3t2=IntegerRound(7*0.65)=5t3=IntegerRound(7*0.81)=6t4=IntegerRound(7*0.89)=6t5=IntegerRound(7*0.95)=7t6=IntegerRound(7*0.98)=7t5=IntegerRound(7*1.0)=7

解：直方图均衡化的步骤和结果如表4.6所示。4.2.1直方图均衡问题：

直方图均衡化方法为什么能增强图像？

直方图均衡化处理后，原来像素值相对比较集中的一些像素，会被分配到别的灰度值上去，处理后灰度范围变大，对比度变大，清晰度变大，所以能有效增强图像。

4.2.2直方图规定化

直方图均衡方法虽然能显著地增强图像的对比度。但由于该方法总是仅产生近于似均匀分布的直方图结果，而且其增强效果不易控制，所以在某些特定的情况下，必然限制了其效能的发挥和应用。

实际应用中，有时可能需要的是具有某种特定形状的直方图的图像，以便有选择地对图像中某个特定的灰度级范围进行增强。

直方图规定化就是一种把已知直方图的图像变换成具有某种期望的直方图的图像增强方法。

1.

直方图规定化的基本思想设pr(r)表示待增强的原图像的灰度概率分布密度，pz(z)表示按指定直方图的思路增强后的新图像的灰度概率分布密度。直方图规定化即是找一种变换，使得原图像经变换后，变成了具有指定概率分布密度pz(z)的新图像。4.2.2直方图规定化1.

直方图规定化的基本思想(续1)

假设对原图像进行直方图均衡处理，即取变换：

就可得到具有归一化均匀分布概率密度ps(s)的增强后的图像。

若设：将原图像变换成指定的直方图对应的图像的处理过程，可以表示成类似于直方图均衡处理的变换形式，且（概率密度为pu(u)

）：

0≤z≤1（4.13）

4.2.2直方图规定化0≤r≤1（4.12）

1.

直方图规定化的基本思想(续2)由于两幅图像都做的是直方图均衡处理，所以其结果图像灰度的概率分布密度ps(s)和pu(u)都应具有归一化的均匀分布，也即：0≤s,u≤1（4.14）

4.2.2直方图规定化1.

直方图规定化的基本思想(续3)也就是说均匀分布的随机变量S和U有完全相同的统计特性。换句话说，在统计意义上说，它们是完全相同的。因此，对式（4.13，）的反变换：用s替代u，且注意即：4.2.2直方图规定化就可获得新图像中相应的各灰度值。

（4.15）

2.

直方图规定化的步骤2.

直方图规定化的步骤

【例4.3】

已知有一幅大小为64×64的图像，灰度级为8，图像中各灰度级的像素个数及归一化分布概率如表4.7所示，规定的直方图数据如表4.8所示。（1）对该图像进行直方图规定化。（2）画出原图像的直方图和直方图规定化结果图像的直方图。

解：（1）对原图像进行直方图均衡化处理。

由于本例图像与例4.2中的图像的像素个数相同，所以直接采用例4.2的直方图均衡化结果如表4.9所示。

解：（2）对得到的新图像进行直方图规定化，过程和结果如表4.10。

解：

原图像的直方图、规定直方图和直方图规定化所得结果图像的直方图如图4.14所示。

一个直方图规定化的实例结果如图4.15所示。4.3基于空间平滑滤波的图像增强方法

4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法0.

问题的提出及相关概念

图像在获取和传输过程中，常常会被称为“噪声”的随机信号所污染。（1）图像噪声

图像噪声是一种空间上不相联系的、离散的、孤立的像素变化现象，其灰度值与它们相邻像素的灰度值有明显不同。0.

问题的提出及相关概念（2）典型的图像噪声①椒盐噪声：把图像中随机出现的黑白亮度值称为椒盐噪声，黑点对应椒，白点对应盐。

②脉冲噪声：把图像中随机出现的白亮度值（正脉冲噪声）或黑亮度值（负脉冲噪声）称为脉冲噪声。4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法0.

问题的提出及相关概念（3）高频信号与低频信号①高频信号：把图像中变化剧烈的部分，例如边缘和噪声等，称为高频信号。

②低频信号：把图像中像素值变化平缓的部分，称为低频信号。4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法0.

问题的提出及相关概念（4）低通滤波与高通滤波①低通滤波：把保留低频信号并滤掉高频信号的处理过程，称为低通滤波。②高通滤波：把保留高频信号并滤掉低频信号的处理过程，称为高通滤波。

利用邻域平均法消除图像中噪声的方法是一种低通滤波方法，也称为平滑滤波。4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法（4.16）

1238x，y4765其中：ε是图像f(x,y)中在点(x,y)处的灰度值与其相邻的8邻域像素灰度值之和的平均值的误差门限，ε可根据容许的误差程度通过实验选取。4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法1.

邻域平均法1）邻域平均法原理设f(x,y)表示图像中位于（x,y）处的像素点的灰度值，（i=1,2,…,8）表示与f(x,y)相邻的8

邻域像素的灰度值，则邻域平均法可表示为：1238x，y47651.

邻域平均法1）邻域平均法原理

对于每一个（x,y），的计算式可理解为：g(x,y)=0for（i=0，1，3)）for（j=0，1，3）g(i,j)=g(x,y)+f(i,j)g(x,y)=(g(x,y)-f(x,y))/84.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法2.

均值滤波法1）邻域平均法原理

直接利用邻域平均法的定义式（4.16）实现图像去噪的计算方法，需要根据不同图像和噪声特征确定误差门限ε的值，通常往往需要经过多次实验，才能得到比较合理的误差门限值ε。（4.16）

4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法2.

均值滤波法2）邻域平均法实现中的相关问题及方法（1）计算结果是小于2行、2列的位于中部的图像，如(b)中部。

（2）结果图像最外行、列的像素值用原图像的最外行、列的值补充，如(b)的最外圈的像素值。

（3）以(a)中位于（2，2）处的15的像素为中心，计算值为4（=(6+4+3+2+2+3+7+5)/8），且|15-4|=11>1.5，所以(b)的结果值为4。

（4）以(a)中位于（6，2）处的4的像素为中心，计算值为3.4（=(0+4+6+3+4+3+3+4)/8），且|4-3.4|=0.6<1.5，所以(b)的结果值保留原来的灰度值4。{计算过程说明}2.

均值滤波法

简化情况下可以认为，当位于图像中（x,y）处的像素的灰度值f(x,y)与其8邻域像素灰度值的平均值大小相近时，将f(x,y)与其8邻域像素的灰度值相加所求的平均值也与f(x,y)值相接近。

基于这种思想，就得到了通过对式（4.16）改进的均值滤波法。4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法2.

均值滤波法

设有图像f(x,y)（x,y∈[0，N-1]），消除图像中位于（i,j）处的噪声的均值滤波法公式可表示为:

其中：i,j∈[0，N-2]。

计算过程是：将图像中所有可能的以（i,j）为中心的3×3窗口内的像素灰度值之和的平均值，作为去噪结果图像中（i,j）处的像素值。4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法如果把上述的邻域平均处理看作一个作用于图像f(x,y)的低通滤波器，并设低通滤波器的脉冲响应为H(s,t)，且：则：（4.18）

（4.19）

4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法

对于某一对确定的i和j来说，当k和l都为1时，式（4.19）的展开式为：（4.20）（4.19）

4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法

式（4.20）中相对应（重合）的3×3图像像素阵列和3×3模板阵列可一般地表示为：（4.20）4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法

基于式（4.19）的（模板）运算原理如下图所示：（4.19）

图4.17

4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法

典型的图像噪声消除低通滤波模板有：

需要说明的是：

在空间域中，图像平滑（低通滤波）模板的大小与图像平滑的效果密切相关，模板尺寸越大（滤波器越宽），平滑后的图像就越模糊。另外，在空间域中，是通过使用带正系数的模板来实现低通滤波（图像平滑）的。H1=H2=H3=4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法

【例】均值滤波图像去噪实验结果示例。其中图4.21（b）是给图4.21（a）叠加了噪声密度为0.03的椒盐噪声的结果图像。（a）原图像

（b）叠加噪声图像

（c）均值滤波结果图像图4.21均值滤波法图像去噪实验结果示例4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法4.

利用多幅同一场景图像进行图像噪声平滑

另一种典型的图像噪声平滑方法：

多幅同一场景图像（是指分次拍摄得到，而不是通过复制得到）的求平均值，即可得到具有图像噪声平滑功能的图像。（4.23）4.3.1线性平滑滤波图像增强方法：邻域平均法与均值滤波法4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波

中值滤波是一种基于排序统计理论的非线性滤波方法。

中值滤波也是一种邻域运算，类似于卷积，但它计算的不是加权求和，而是把数字图像中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值来代替，让其值与周围的像素值相接近，从而可以消除孤立的噪声点。4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波1.

中值滤波法的基本原理

中值滤波的基本原理是基于某种中值滤波窗口（类似于模板），对原图像中被该窗口覆盖的所有像素的灰度值进行排序，用其中间值代替结果图像中对应于滤波窗口最中间的那个像素点的灰度值。4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波1.

中值滤波法的基本原理

中值滤波通常选用的窗口有线形、十字形、方形、菱形和圆形等。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波1.

中值滤波法的基本原理

设f(x,y)表示图像中位于（x,y）点的灰度值，g(x,y)表示滤波窗口为A的中值滤波结果，则中值滤波器可定义为（4.24）4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波2.

中值滤波法的算法描述及实现

利用选定的窗口进行中值滤波的过程，与模板匹配运算中算子在图像上移动扫描的方法类似，其过程可描述为：

（1）根据选定窗口的形状，确定窗口中心位置像素在原图像上的重合方式。

（2）将窗口在图像上逐像素地移动扫描。

（3）把窗口下对应的像素按它们的灰度值大小进行排序，并找出排序结果的中间的那个值。

（4）把找到的中间值赋给结果图像中对应于窗口中心位置的那个像素。4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波

图4.23给出了一个利用3×3的中值滤波模板进行图像去噪的实验结果示例。4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波3.

均值滤波法与中值滤波法图像去噪效果比较图4.24给出了利用中值滤波方法对添加了椒盐噪声的lena图像进行噪声消除效果的示例，以及与均值滤波方法的比较。4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波(d)一字形滤波效果(e)十字形滤波效果(f)方形滤波效果●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●3.

均值滤波法与中值滤波法图像去噪效果比较4.3.2非线性平滑滤波图像增强方法——中值滤波（a）原图像(a)H1的平滑消噪效果(b)H2的平滑消噪效果

(d)一字形滤波效果(e)十字形滤波效果(f)方形滤波效果3.

均值滤波法与中值滤波法图像去噪效果比较4.4基于空间锐化滤波的图像增强方法

设想一下，如果一幅图像中的所有像素的灰度值都相同，试问这幅图像是清晰明了的吗?

比如图像：

···································

显然不是清晰明了的，其问题所在就是没有边缘！

基于空间锐化滤波的图像增强方法，就是一种通过增强和突出图像中景物被模

糊了的边缘和轮廓，来提升图像的对比度和视觉效果的方法。

基于空间锐化滤波的图像增强方法也简称为图像锐化方法。

◆图像增强的步骤

第一步，利用梯度法检测图像中的边缘。

第二步，基于梯度值的某一门限阈值（图像亮度的一个分界值），形成增强的结果图像。4.4.1基于一阶微分的图像增强方法1、利用梯度法检测和突出图像中的边缘

图像中的边缘位于其中相邻像素的灰度值发生显著变化的位置，甚至是发生剧烈变化的地方。

像素灰度值的这种变化，可以用数学上由速度问题和切线问题抽象出来的，描述变化率的导数来描述。

导数的简单定义是：

△y/△x（当△x→0时极限存在）4.4.1基于一阶微分的图像增强方法1、利用梯度法检测和突出图像中的边缘

在经典的图像理论中，将边缘定义为一阶导数值较大的像素位置。这样，在以灰度变化作为边缘检测的依据的情况下，就可以运用导数的方法提取边缘（点），将导数的输出值作为该边缘（点）的强度，然后根据某一阈值确定其是否为边缘点，将边缘点连接起来就形成了边缘。4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

对于二维的图像z=f(x,y)来说，是否有边缘是由在Z方向上的变化率来确定的呢。

4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

其结果正好就是F(x,y)在z方向上的变化率。

所以需要对F(x,y)求偏导:

正好是图像f(x,y)在点(x,y)处的梯度矢量，所以一般用梯度法表示图像中灰度的变化率。

而梯度公式：（4.25）

（1）

梯度法概念及基本原理

梯度是函数变化的一种度量。

梯度与一阶导数对应，一阶导数算子也即梯度算子。基于梯度算子的图像锐化方法称为“梯度法”。4.4.1基于一阶微分的图像增强方法4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

（1）

梯度法概念及基本原理（续1）该梯度矢量在点(x,y)处的梯度幅度和梯度方向角(即梯度矢量的幅角)分别为：

（4.26）

（4.27）

也即，在点(x,y)处沿方向角的梯度方向上，具有最大变化率，且其值等于G(x,y)。4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

（2）数字图像的梯度法表示

由于数字图像f(i,j)的数据是离散的，所以通常用差分来近似代替导数。

且由于在数字图像中，最短距离是两个相邻像素之间的距离，故在点(i,j)处沿x方向和y方向的一阶差分可表示为：（4.28）

（4.29）

●●●●4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

（2）数字图像的梯度法表示

此时，与式(4.26)：

（4.30）

对应的数字图像的梯度矢量就可以表示成式（4.30）的形式：4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

（3）水平垂直差分法

实际中，为了避免式（4.30）：中的平方和运算和开方运算，尽可能地提高运算速度，一般用两个一阶差分的绝对值之和来近似，即：(4.31)

式（4.31）称为水平垂直差分法的梯度定义式。4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

（4）罗伯特差分法另一种求梯度的方法是交叉差分法，称为罗伯特差分法，其定义式为：

（4.32）

【例】利用罗伯特差分法检测和突出图像边缘的例子。（a）原图像（b）罗伯特梯度锐化在该例中，是直接取计算的梯度（值）图像，为突出图像边缘后的结果图像，也即：

分析可知，图（b）显然不是想要的增强结果图像。

所以，下一步还需要进一步形成增强后的结果图像，主要有以下3种方法。（4.33）

4.4.1基于一阶微分的图像增强方法2.

基于一阶微分的增强结果图像形成（1）给边缘规定一个门限，即

（4.34）

其中，T是一个非负的门限值，可根据经验或通过多次

的实验结果确定。（a）原图像(c)T=30

4.4.1基于一阶微分的图像增强方法

（2）给边缘规定一个特定的灰度级