浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前2023学年第二学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，则（）A．2 B．3 C． D．2．如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（）A． B． C．2 D．13．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和4．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则或与异面6．已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（）A． B． C． D．．7．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（）A． B．3 C． D．28．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下面的命题正确的有（）A．若，，则B．方向相反的两个非零向量一定共线C．若满足且与同向，则D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”10．在复平面内，下列说法正确的是（）A．若复数满足，则；B．若复数满足，则；C．若复数满足，则；D．若，则的最大值为．11．在中，所对的边分别为，下面命题正确的有（）A．若是锐角三角形，则不等式恒成立B．若，则C．若非零向量与满足，则为等腰三角形D．是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．向量满足，且，，则与的夹角等于______．13．已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．14．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题13分）已知复数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．16．（本小题15分）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．（1）证明：三条直线相交于同一点（2）求三棱锥的体积．17．（本小题15分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角所对的边分别是，满足______．（1）求角；（2）若，，且，求的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分18．（本小题17分）平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，（1）求的值，并说明理由；（2）若，求的最小值．19．（本小题17分）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．（1）求角；（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．

2023学年第二学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CABBDACA二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。91011BDADACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）解：（1）由题意得，因为为纯虚数，所以解得（2）复数它在复平面上对应的点在第三象限，所以，解得或所以实数的取值范围为．16．（15分）（1）证明：如图，连接，分别是的中点，，，且，∴四边形为平行四边形，，在中，分别是的中点，，，且四点共面，设，平面，平面，平面，平面，平面平面，三条直线相交于同一点（2），三棱锥的高为，点是棱的中点，，点分别是棱的中点，，，．．17．（15分）解：选①，由正弦定理得，，，即，，，，．选②，由及正弦定理，可得，可知：，则，，．选③，由及正弦定理得，可得，，；（2）因为，为中点，设，，，在中，由余弦定理得，所以的面积．18．（17分）解：（1）根据角平分线定理：，所以，（1）因为，，所以，因为