2025年CFA考试《数量方法》真题及答案

2025年CFA考试《数量方法》真题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______指示：请根据题目要求，在答题纸上填写你的答案。1.某资产的历史回报率呈右偏态分布，其均值为10%，标准差为15%。如果假设回报率服从正态分布，使用68-95-99.7法则，大约有多少比例的回报率会低于-5%？2.一项关于股票市场效率的研究收集了100只股票过去5年的年度回报率数据，并拟合一元线性回归模型。回归结果显示，截距项的估计值为1.2%，斜率项的估计值为1.5%，截距项的t统计量为1.8，斜率项的t统计量为2.7，模型的R平方为0.35。请问，根据此模型，当市场回报率为0%时，该股票的预期回报率是多少？市场回报率每增加1%，该股票的预期回报率变化多少？3.某分析师认为，一家公司的股票回报率与市场回报率之间存在线性关系。他收集了该股票过去60个月的月度回报率和市场月度回报率数据，并计算得到股票回报率对市场回报率的回归系数为1.2，标准误差为0.3。请问，在95%的置信水平下，该分析师可以多大胆地断言，当市场回报率增加1%时，该公司股票回报率会超过1.1%？4.假设一个投资组合包含两种资产，资产A的期望回报率为12%，标准差为20%，权重为60%；资产B的期望回报率为8%，标准差为12%，权重为40%。如果两种资产之间的相关系数为0.25，请问该投资组合的期望回报率和方差（或标准差）分别是多少？5.某公司正在考虑两个相互排斥的项目。项目A的成本为1000万元，预期净现值（NPV）为150万元，标准差为50万元。项目B的成本为800万元，预期NPV为120万元，标准差为30万元。请问，哪个项目具有更高的夏普比率（假设无风险利率和风险偏好参数未知，仅比较相对风险调整后的收益）？6.根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。请解释什么是中心极限定理，并说明其在统计推断中的重要性。7.假设一个二元选择模型（如二项式期权定价模型）的参数为：当前股票价格S=100元，执行价格K=110元，无风险年利率r=5%，时间步长Δt=0.25年，上行因子u=1.1，下行因子d=0.9。请问，上行概率p和下行概率(1-p)分别是多少？8.在进行假设检验时，第一类错误和第二类错误的定义是什么？请举例说明在投资回报率分析中可能发生的这两种错误。9.一个分析师对某股票的月度回报率进行了分析，发现其分布近似于正态分布，均值为1%，标准差为3%。如果该分析师想要构建一个90%的置信区间来估计该股票的平均月度回报率，请问置信区间的上下限应该是多少？10.多元线性回归模型中，调整后的R平方（AdjustedR-squared）相比R平方有什么优势？在什么情况下，一个模型的调整R平方可能会低于其R平方？11.假设你估计了一个股票的回报率与其两个宏观经济指标（GDP增长率、通货膨胀率）的多元线性回归模型。模型的R平方为0.50，调整后的R平方为0.48。请问这意味着什么？12.解释什么是最小二乘法（OrdinaryLeastSquares,OLS）。在回归分析中，OLS估计量有哪些理想特性（假设满足经典线性回归模型假设）？13.假设你估计了一个股票回报率对市场回报率的简单线性回归模型，得到的回归方程为：股票回报率=0.5+1.3*市场回报率。请问，如果市场回报率增加了2%，根据此模型，股票回报率预计会增加多少？回归系数1.3的经济含义是什么？14.什么是异方差（Heteroskedasticity）？它对回归分析的结果会产生什么影响？有哪些常用的检验方法？15.在进行假设检验时，显著性水平（α）的选择对检验结果有何影响？为什么在实际应用中，选择一个特定的显著性水平通常是必要的？16.请比较并对比二项式分布和正态分布的特点及其在金融中的应用场景。17.假设你使用二项式模型对欧式看涨期权进行定价，模型参数为：当前股票价格S=50元，执行价格K=50元，无风险年利率r=0.05，时间T=1年，每期时间步长Δt=0.5年，上行因子u=1.1，下行因子d=0.9，共有3期。请问，该看涨期权的理论价格是多少？（提示：需要计算最终节点股票价格路径及其概率，并反向迭代计算期权价值）。18.解释“大数定律”（LawofLargeNumbers）在统计学中的含义及其在金融数据分析中的作用。19.假设你估计了一个回归模型，并得到了如下输出：截距项系数=2.5，截距项t值=1.2，斜率项系数=0.8，斜率项t值=2.4，R平方=0.6。请问，你是否应该在统计上拒绝截距项系数为0的原假设？为什么？对于斜率项系数，呢？20.什么是概率分布的期望值（均值）和方差？它们分别衡量了什么的特征？试卷答案1.根据正态分布特性，均值为10%，标准差为15%。-5%低于均值，属于左侧尾部。Z=(-5-10)/15=-1。查找标准正态分布表，P(Z<-1)≈0.1587。约15.87%。2.根据回归方程Y=a+bX。当市场回报率X=0%时，预期回报率Y=1.2%+1.5%*0=1.2%。斜率项b=1.5%，表示市场回报率每增加1%，该股票的预期回报率增加1.5%。3.斜率项的t统计量=斜率估计值/标准误差=1.2/0.3=4。自由度df=n-2=60-2=58。查找t分布表，双侧检验α=0.05时，临界值t₀.025,58≈2.000。因为|t_statistic|=4>2.000，所以拒绝原假设（斜率=0）。在95%置信水平下，断言成立的可能性大于95%。注意：题目问的是“可以多大胆地断言”，即置信水平，答案为95%。4.期望回报率E(Rp)=w₁E(R₁)+w₂E(R₂)=0.6*12%+0.4*8%=7.2%+3.2%=10.4%。方差Var(Rp)=w₁²σ₁²+w₂²σ₂²+2w₁w₂ρσ₁σ₂=(0.6)²(20%)²+(0.4)²(12%)²+2(0.6)(0.4)(0.25)(20%)(12%)=0.36*0.04+0.16*0.0144+2*0.24*0.25*0.20*0.12=0.0144+0.002304+0.001152=0.01776。标准差Std(Rp)=√Var(Rp)=√0.01776≈0.1333或13.33%。5.夏普比率=(预期超额回报)/标准差。需要计算每个项目的预期超额回报。项目A超额回报E(R_A)=E(NPV_A)-Cost_A*Risk-FreeRate=150-1000*0=150。项目B超额回报E(R_B)=E(NPV_B)-Cost_B*Risk-FreeRate=120-800*0=120。项目A夏普比率=150/50=3。项目B夏普比率=120/30=4。项目B具有更高的夏普比率。6.中心极限定理指出，从任意分布的总体中抽取足够大的样本，这些样本均值的分布将趋近于正态分布，其均值等于总体均值，其标准差（标准误差）等于总体标准差除以样本量平方根。该定理的重要性在于，它使得我们可以使用正态分布的理论来推断总体均值，即使总体本身不是正态分布，只要样本量足够大（通常n>30被认为足够大）。这是许多统计推断方法（如置信区间、假设检验）的基础。7.在二项式模型中，上行概率p满足：(u-1)p+(1-d)(1-p)=rΔt。(1.1-1)p+(1-0.9)(1-p)=0.05*0.25。0.1p+0.1(1-p)=0.0125。0.1p+0.1-0.1p=0.0125。0.1=0.0125。此等式在此参数下无解，表明给定的参数（特别是利率r或步长Δt）与u和d不兼容，或者题目参数有误。若按标准二项式模型计算p，常用公式p=(e^(rΔt)-d)/(u-d)。按此公式：p=(e^(0.05*0.25)-0.9)/(1.1-0.9)=(e^0.0125-0.9)/0.2。e^0.0125≈1.01253。p≈(1.01253-0.9)/0.2=0.11253/0.2=0.56265。下行概率1-p≈1-0.56265=0.43735。8.第一类错误（TypeIError）是在原假设（H₀）为真时，错误地拒绝了原假设。在投资回报率分析中，例如，原假设是某股票的预期回报率等于市场平均水平（H₀:E(Ri)=E(Rm)），第一类错误是指我们拒绝了这一原假设，认为该股票回报率显著不同于市场平均水平，但实际上它并没有。第二类错误（TypeIIError）是在原假设（H₀）为假时，错误地未能拒绝原假设。在投资回报率分析中，例如，原假设是某股票的预期回报率等于市场平均水平（H₀:E(Ri)=E(Rm)），第二类错误是指我们未能拒绝这一原假设，认为该股票回报率与市场平均水平没有显著差异，但实际上它的预期回报率显著不同于市场平均水平。9.90%置信水平对应单侧临界值Z₀.05≈1.645。标准误差SE=σ/√n。题目未给标准差σ和样本量n，无法计算标准误差和具体置信区间。若假设标准差σ=3%，样本量n足够大（如n>30），则SE≈σ/√n。置信区间下限=均值-Z₀.05*SE，上限=均值+Z₀.05*SE。即1%-1.645*(3%/√n)到1%+1.645*(3%/√n)。10.调整后的R平方（AdjustedR-squared）考虑了模型中自变量的数量。其计算公式为：AdjustedR²=1-[(1-R²)*(n-1)/(n-k-1)]，其中n是样本量，k是自变量数量。调整R平方会随着自变量的增加而下降，除非这些新增自变量显著提高了模型的解释力。因此，调整R平方的优势在于它惩罚了不必要或统计上不显著的变量添加，更能反映模型的真实解释能力，有助于在多个候选模型中进行选择。当模型添加的自变量对模型拟合优度的提升不显著时（即这些变量的p值较大），调整R平方可能会低于R平方。11.R平方为0.50，意味着模型解释了因变量（股票回报率）变异性的50%。调整后的R平方为0.48，略低于R平方。这表明模型中包含的两个宏观经济指标共同解释了约48%的股票回报率变异。调整后的R平方下降，说明这两个指标可能并非所有对股票回报率有显著解释力的因素，或者存在其他更重要的因素未被包含在模型中，或者模型存在一定的设定误差。调整R平方略低于R平方，说明增加这两个变量对模型解释力的提升效果不是非常显著。12.最小二乘法（OLS）是估计线性回归模型参数（截距项a和斜率项b）的一种常用方法。它通过寻找一条直线，使得所有观测点到该直线的垂直距离（残差）的平方和最小。OLS估计量（即通过OLS计算得到的a和b的值）在满足经典线性回归模型假设（线性、独立、同方差、正态分布误差项、无完全多重共线性）时，具有最佳线性无偏估计（BLUE）的特性，即在这些假设下，没有其他线性无偏估计量比OLS估计量更有效（方差更小）。13.根据回归方程：股票回报率=0.5+1.3*市场回报率。当市场回报率增加2%时，股票回报率预计增加1.3*2%=2.6%。回归系数1.3的经济含义是：在控制其他因素（在此简单模型中即市场回报率）不变的情况下，市场回报率每变化1%，该股票的回报率预计平均变化1.3%。14.异方差是指回归模型中误差项（残差）的方差不是常数，而是随着自变量的变化而变化。标准OLS估计量在存在异方差时仍然是无偏的和一致的，但其标准误差估计是有偏的和非有效的，导致基于t统计量和F统计量的假设检验和置信区间构建不再可靠。检验方法包括图形方法（残差与拟合值散点图）和统计检验（如Breusch-Pagan检验、White检验）。15.显著性水平（α）是研究者愿意承担的犯第一类错误（错误拒绝原假设）的概率上限。α的选择影响检验的临界值和拒绝域。较小的α（如0.01）意味着更严格的标准来拒绝原假设，减少错误判断的可能性，但可能增加犯第二类错误（错误接受原假设）的可能性。较大的α（如0.10）意味着更宽松的标准，更容易拒绝原假设，可能增加犯第一类错误的可能性，但减少犯第二类错误的可能性。选择一个特定的显著性水平是必要的，因为它提供了一个客观、一致的标准来评估证据强度，使得研究结果具有可比性。16.二项式分布是一个离散概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数X的概率分布。其概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n是试验次数，k是成功次数，p是每次试验成功的概率。正态分布是一个连续概率分布，其形状为钟形曲线，由均值μ和标准差σ完全决定。在金融中，二项式分布常用于期权定价模型（如二项式树模型）和模拟投资组合路径。正态分布常用于描述资产回报率的分布（尤其是在中心极限定理下）、风险价值（VaR）的计算、以及假设检验中的理论分布。二项式分布是离散的、基于重复试验，而正态分布是连续的、更侧重于概率密度。17.由于题目参数设置导致二项式模型无法正常计算（如第7题解析所述，0.1≠0.0125），无法给出期权价格。若使用标准参数计算，需：a.计算最终节点股票价格：S_3^(uu)=50*1.1^2=60.5,S_3^(ud)=50*1.1*0.9=49.5,S_3^(dd)=50*0.9^2=40.5。b.计算最终节点期权价值：C_3^(uu)=max(60.5-50,0)=10.5,C_3^(ud)=max(49.5-50,0)=0,C_3^(dd)=max(40.5-50,0)=0。c.计算一步后期权价值：C_2^(u)=[p*10.5+(1-p)*0]/(1+rΔt)=p*10.5/1.0125，C_2^(d)=[p*0+(1-p)*0]/(1+rΔt)=0。d.计算初始期权价值：C_0=[p*C_2^(u)+(1-p)*C_2^(d)]/(1+rΔt)=p*(p*10.5/1.0125)/1.0125=p^2*10.5/(1.0125)^2。