高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（三十七）直线与平面垂直的性质定理

课时跟踪检测(三十七)直线与平面垂直的性质定理(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则()A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直2．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定3．(2024·天津高考)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m与n相交4．已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行．记平面α，β的距离为d1，直线m，n的距离为d2，则()A．d1<d2 B．d1＝d2C．d1>d2 D．d1与d2大小不确定5．(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是()A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n6.已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.7．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).8．已知线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.9．(10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.10．(10分)如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).B级——重点培优11．已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝()A．2 B．1C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)12．(2022·新课标Ⅰ卷)(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1的夹角为90°B．直线BC1与CA1的夹角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°13．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，若AB＋CD＝33，且AB，CD在β内射影长分别为5和16，则α与β间距离为________.14．已知∠ACB＝90°，M为平面ABC外一点，MC＝eq\r(3)，点M到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(2)，那么M到平面ABC的距离为________.15．(16分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中：(1)求证：A1A∥平面BB1D1D；(2)若AB＝4，AD＝3，求A1A到平面BB1D1D的距离.课时跟踪检测(三十七)1．选B因为B1B⊥平面A1C1，且l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.2．选C因为l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，所以l⊥平面ABC.又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，所以m⊥平面ABC.由直线与平面垂直的性质定理知l∥m.3．选C若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故A、B错误；若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误．4．选B因为平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行，所以平面α，β的距离等于直线m，n的距离，即d1＝d2.故选B.5．选BC对于A，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以A不是真命题；对于B，是直线与平面垂直的定义的应用，所以B是真命题；对于C，是直线与平面垂直的性质定理，所以C是真命题；对于D，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以D不是真命题．故选B、C.6．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形．所以EF＝AD＝6.答案：67．解析：当BD⊥AC时，BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C.又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.答案：BD⊥AC8．解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1.四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.答案：49．证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.10．证明：∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC.∴EF∥BD.∴eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).11.选A因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(AC,BD).因为OA＝AB，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2).因为AC＝1，所以BD＝2.故选A.12.选ABD如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1.所以直线BC1与DA1的夹角为90°，故A正确．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1.又CA1⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1.所以直线BC1与CA1的夹角为90°，故B正确．连接A1C1，交B1D1于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D.连接OB，因为OB⊂平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝eq\r(2)a，OC1＝eq\f(\r(2)a,2)，所以在Rt△BOC1中，OC1＝eq\f(1,2)BC1.所以∠OBC1＝30°，故C错误．因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角．易得∠CBC1＝45°，故D正确．故选A、B、D.13．解析：如图，过点A作AE⊥β，垂足为E，过点C作CF⊥β，垂足为F，由题意可知，BE＝5，DF＝16，设AB＝x，CD＝33－x，则x2－25＝(33－x)2－256，解得x＝13，∴平面α与β间的距离AE＝eq\r(132－52)＝12.答案：1214．解析：作MD，ME分别垂直于AC，BC，MO⊥平面ABC，连接CO，则CD⊥MD，CD⊥MO，MD∩MO＝M，MD⊂平面MDO，MO⊂平面MDO，∴CD⊥平面MDO，又OD⊂平面MDO，∴CD⊥OD.又CD⊥MD，MD＝ME＝eq\r(2)，MC＝eq\r(3)，∴CD＝eq\r(3－2)＝1.同理，CE＝1.∴Rt△CDO∽Rt△CEO，则CO为∠ACB的平分线，∴∠OCD＝45°，OD＝CD＝1，OC＝eq\r(2)，又MC＝eq\r(3)，∴MO＝eq\r(3－2)＝1.答案：115．解：(1)证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∥BB1，又BB1⊂平面BB1D1D，AA1⊄平面BB1D1D，所以A1A∥平面BB1D1D.(2)由(1)知A1A∥平面BB1D1D，则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等．如图，过点A作AH⊥BD交BD于H，易知BB